蒙特卡罗方法在定积分计算上的应用（课程论文）

1、蒙特卡罗方法在定积分计算上的应用摘要：本文将对蒙特卡罗方法做一个简单的介绍，并重点叙述了蒙特卡罗方法在定积分计算中的应用，是为蒙特卡罗方法在计算中的应用之一此外，将对该法在重积分和反常积分上的应用做一个简单介绍最后，根据蒙特卡罗方法的算法思想，做了一个实际的例子来验证。关键词：蒙特卡罗方法 积分计算 蒙特卡罗方法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称为统计模拟法或统计试验法。蒙特卡罗法作为一种计算方法，是由S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼在20世纪40年代中叶为研制核武器的需要而首

2、先提出来的。在此之前，该方法的基本思想实际上早已被统计学家所采用了。例如，早在17世纪，人们就知道了依频数来决定概率的方法。20世纪40年代中叶，出现了电子计算机，使得用数学方法模拟大量的试验成为可能。另外，随着科学技术的不断发展，出现了越来越多的复杂而困难的问题，用通常的解析方法或数值方法都很难加以解决。蒙特卡罗法就是在这些情况下，作为一种可行的而且是不可缺少的计算方法被提出和迅速发展起来的。一、基本思想：先看两个例子：例1. 蒲丰氏问题为了求得圆周率值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关

3、系式：求出值其中为投针的次数，n为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。例2. 射击问题（打靶游戏）设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，(r)表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。该运动员的射击成绩为 用概率语言来说，g是随机变量的数学期望，即现假设该运动员进行了次射击，每次射击的弹着点依次为，则次得分的算术平均值为：代表了该运动员的成绩。换言之，为积分g的估计值，或近似值。在该例中，用次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望g的估计值（积分近似值）。 由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或者

4、是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。 当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随机变量（仅取值为1或0）的数学期望。 蒙特卡罗法解题的一般过程是，首先构成一个概率空间；然后在该概率空间中确定一个随机变量g(x)，其数学期望正好等于所要求的值G，其中F(x)为x的分布函数；最后，以所确定的随机变量的简单子样的算术平均值作为G 的近似估计。由于其他原因，如确定数学期望为G 的随机变量g(x)有

5、困难，或为其他目的，蒙特卡罗法有时也用G 的渐近无偏估计代替一般过程中的无偏估计作为G 的近似估计。随着电子计算的出现和发展，近年来用概率模型作近似计算的方法得到了很大的发展，即蒙特卡罗（Monte-Carlo）方法蒙特卡罗法已被广泛地运用到各个领域中，如金融工程学、宏观经济学、计算物理学等一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或根本没有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法它解决问题时的基本思想是：首先建立与描述该问题有相似性的概率模型（如随机向量、随机过程等），使该模型的若干数字特征（

6、如数学期望）恰好重合于所要计算的量；然后对该模型进行随机模拟或统计抽样，再利用所得的结果求出这些特征的统计估计值作为原来问题的近似解本文将对蒙特卡罗方法在定积分计算的应用做一个介绍，是可作为概率论在计算方法中的应用之一此外，也将对该法在重积分和反常积分上的应用做一个简单介绍二、理论基础定理1. 设是随机变量，是一元波雷尔函数，则 =.定理2.（柯尔莫哥洛夫强大数定律） 设是定义在概率空间上的独立同分布随机变量序，.记=，则 定理3.（林德贝格-勒维定理） 设是一列独立同分布随机变量，记=，=,=,则中心极限定理成立，即.三、在定积分计算上的应用设是有限区间上的连续函数，我们来计算定积分的值，以

7、下采用了两种方法。1. 随机投点算法我们可以通过简单的线性变换，将相应变为，故不妨设=，01，于是G就等于图1中的面积A.现在向矩形，中均匀分布地随机投点=，=1,2,n,落于A中的点数设为，则由于每次成功（即落于A中）的概率为G，故由强大数定理，有 .2. 平均值法 先不假设=，01任取一列独立同分布的随机变量，在中均匀分布，则也是一列独立同分布的随机变量，且 E=故由强大数定理， 有 = 3. 两种方法的精确度和运算次数比较由于我们是以统计量作为近似值，我们当然希望估值的方差越小越好此外，我们还希望计算速度越快越好，这就要求运算次数越少越好下面我们就对以上两种方法做一个比较在随机投点法中：

8、所谓的均匀分布地随机投点即是独立的均匀随机数，而第次成功等价于 .又是次伯努利实验中的成功总次数，故，方差为=，因此=，而=.那么，应该取多大，才能使的概率不小于D，其中为精确度，取很小的正数，D为接近1的正数根据中心极限定理，因此,= D，其中为正态分布函数我们把，G，D看成已知量，就可以解除满足上式的最小的实际上，查表，对任何D（），可以找到>0，使得D如当D=99.7%，95.5%，68.3%时，分别为3,2,1故我们可以得到=，由此得n这里矛盾出现了，是待求的数，我们用值估计一般地，我们可以先试算若干次，以求出的一个粗略估值，再用这个粗略的估值来估计在平均值方法中：取=作为的点估

9、值，有=若在中平方可积，则方差 = =类似上面的讨论，可得现举一例具体来看：试计算积分要求以99.7%的概率，精确到小数点后第三位利用随机投点法，则可以计算得，；利用平均值法，则可以计算得=，比较两者可知，平均值法的估值方差较小、计算次数较少4. 算法实例在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S中占的比例K=S1/S就立即能得到S1，从而得到Pi的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会

10、相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m与所投点的总数n的比m/n作为k的近似值。P落在扇形内的充要条件是 。已知：K=，K，s=1，s1=，求Pi。解：由，知s1=，而s1=，则Pi=程序：/* 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率Pi*/ /*程序使用：VC+6.0 */ #include<stdio.h> #include<math.h> #include<stdlib.h> #define COUNT 800 /*循环取样次数，每次取样范围依次变大*/ void main() double x,y; int num=0; int i; for(i

11、=0;i<COUNT;i+) x=rand()*1.0/RAND_MAX;/*RAND_MAX=32767，包含在<stdio.h>中*/y=rand()*1.0/RAND_MAX;if(x*x+y*y)<=1)num+; /*统计落在四分之一圆之内的点数*/ printf("Pi值等于：%fn",num*4.0/COUNT); printf("RAND_MAX=%dn",RAND_MAX);结果：测试6次的结果显示：循环取样次数求得的Pi值8003.08500080003.110000800003.1352008000003.1

12、3915080000003.141393800000003.141321可以看出:随着点数的增加，求得的Pi值渐渐接近真实值。四、在重积分计算和广义积分计算上的应用重积分计算：蒙特卡罗方法计算积分针对的是不易直接积分求解的情形，因而用蒙特卡罗方法计算重积分具有很大的优越性上述方法原则上也适用于多重积分在此不多做叙述广义积分计算：1) 瑕积分.计算瑕积分，这里不妨设b是瑕点若瑕积分收敛，则由瑕积分收敛定义和强大数定理有 =若瑕积分发散，则随着的不同，用上式右边计算所得的值将不收敛换句话说，我们可以用蒙特卡罗方法逼近，来判断瑕积分的敛散性，并且，若收敛，则可求出其积分值2) 无穷积分.计算.我们可通过定积分的性质和变量替换化为，选取服从指数分布的随机变量