五年高考真题数学理105二项分布与正态分布

1、第五节二项分布与正态分布考点一条件概率与相互独立事件的概率1(2015新课标全国，4)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648B0.432C0.36D0.312解析该同学通过测试的概率为 p0.60.6C120.40.620.648.答案A2(2014新课标全国，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8B0.75C0.6D0.45解析由条

2、件概率可得所求概率为0.60.750.8，故选 A.答案A3.(2011湖南，15)如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)_.(2)P(B|A)_.解析圆的半径为 1，正方形的边长为 2，圆的面积为，正方形面积为 2，扇形面积为4.故 P(A)2，P(B|A)P（AB）P（A）12214.答案(1)2(2)144(2014陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具

3、有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；(2)若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于2 000 元的概率解(1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg” ，B 表示事件“作物市场价格为6 元/kg” ，由题设知 P(A)0.5，P(B)0.4，因为利润产量市场价格成本，所以 X 所有可能的取值为500101 0004 000，50061 0002 000，300101 0002 000，300

4、61 000800.P(X4 000)P(A)P(B)(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P(A)P(B)P(A)P(B)(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以 X 的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设 Ci表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i1，2，3)，由题意知 C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1，2，3)，3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)

5、0.830.512；3 季中有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)30.820.20.384，所以， 这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.5120.3840.896.5(2013辽宁，19)现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答(1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立用 X表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望

6、解(1)设事件A“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”， 则有 A“张同学所取的 3 道题都是甲类题”因为 P(A)C36C31016，所以 P(A)1P(A)56.(2)X 所有的可能取值为 0，1，2，3.P(X0)C02350252154125；P(X1)C1235125115C023502524528125；P(X2)C2235225015C123512514557125；P(X3)C223522504536125.所以 X 的分布列为：X0123P4125281255712536125所以 E(X)041251281252571253361252.6(2012山东，19)现有

7、甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E(X)解(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件 A， “该射手射击甲靶命中”为事件 B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件 C， “该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D， 由题意知 P(B)34， P(C)P(D)23， 由于 ABCDBCDBCD，根据事件的独立性和互斥性得 P(A)P(BC

8、DBCDBCD)P(BCD)P(BCD)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P(C)P(D)P(B)P(C)P(D)34123 123 134 23123 134 123 23736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5.根据事件的独立性和互斥性得P(X0)P(BCD)1P(B)1P(C)1P(D)(134)123 123 136，P(X1)P(BCD)P(B)P(C)P(D)34123 123 112，P(X2)P(B C DB C D)P(BCD)P(BCD)134 23123 134 123 2319，P(X3)P(BCDBCD)P(BCD)P(BCD)3

9、423123 34123 2313，P(X4)P(BCD)134 232319，P(X5)P(BCD)34232313.故 X 的分布列为X012345P13611219131913所以 E(X)013611122193134195134112.7 (2011大纲全国， 18)根据以往统计资料， 某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2)X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求 X 的期望解设 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲

10、种保险；B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种；D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买(1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2)DC，P(D)1P(C)10.80.2，XB(100，0.2)，即 X 服从二项分布，所以期望 E(X)1000.220.考点二正态分布1(2015湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若 XN(，2)

11、，则 P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A2 386B2 718C3 413D4 772解析由 XN(0，1)知，P(1X1)0.682 6，P(0X1)120.682 60.341 3，故 S0.341 3.落在阴影部分中点的个数 x 估计值为x10 000S1(古典概型)，x10 0000.341 33 413，故选 C.答案C2(2015山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布 N(，2)，则 P()68.26%，P(22)95.44%.)A4.56

12、%B13.59%C27.18%D31.74%解析由题意，知 P(36)P（66）P（33）295.44%68.26%213.59%.答案B3(2014新课标全国，18)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(，2)，其中近似为样本平均数 x，2近似为样本方差 s2.()利用该正态分布，求 P(187.8Z212.2)；()某用户从该企业购买了 100

13、件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数利用()的结果，求 E(X)附： 15012.2.若 ZN(，2)，则 P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2分别为x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)()由(1)知，ZN(200，150)，从而P(187.8Z212.2)P(2

14、0012.2Z20012.2)0.682 6.()由()知， 一件产品的质量指标值位于区间(187.8， 212.2)的概率为 0.682 6，依题意知 XB(100，0.682 6)，所以 E(X)1000.682 668.26.4(2013湖北，20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800，502) 的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0.(1)求 p0的值；(参考数据：若 XN(，2)，有 P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.)(2)某客运公司用 A，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的

15、长途客运业务，每车每天往返一次， A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆，若每天要以不小于 p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆？解(1)由于随机变量 X 服从正态分布N(800，502)，故有800，50，P(700X900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0P(X900)P(X800)P(800X900)1212P(700X900)0.977 2.(2)设A 型、 B型车辆的数量分别为 x， y 辆， 则相应的营运成本为1 600 x2 400y.依题意，x，y 还需满足：xy21，yx7，P(X36x60y)p0.由(1)知，p0P(X900)，故 P(X36x60y)p