九年级数学第三册第十二章第4节一元二次方程的根与系数的关系人教版

1、、21用心爱心 专心1九年级数学第三册第十二章第 4 节一元二次方程的根与系数的关系人教版【本讲教育信息】教学内容：一元二次方程的根与系数的关系学习目标1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）；2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣, 及树立勇于探索规律的精神。二.重点、难点：1. 教学重点：

2、一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。2. 教学难点：正确理解根与系数的关系， 掌握配方思想， 把某些代数式配成两根和与积的形式才能将 系数代入。【典型例题】21例 1.已知方程2x2bx-30的一个根是，求它的另一个根及 b 的值。2分析：含字母系数的一元二次方程中， 若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根， 并确定字母系数的值。x1，则由方程的根与系数关系得：f11:X1+-2f1X1 2（方法二）由题意:解：（万法一）设万程的另一根为用心爱心 专心2解得：b = -5根据韦达定理设另一根为x，则1、3门X1

3、 -_,. r X = 3、2) 2，” = 3, b 5点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。例 2.已知方程3x22x-30的两根为x1、x2，求下列代数式的值:1 1(2)； ( 3)X1- X2X2X1x2-4-1 i=44 =理99点拨：体会配方思想，将代数式配成含有X1X2、X1X2的形式，再代系数即可。2 2(1)X1X2Xi分析：若方程ax2 .bxc= 0(a =0)两根x1、x2，则不解方程，可求出关于x1x2的对称式的值，只须将其配成含有x1x2、x1x2的形式。解：由已知，根据韦达定理x1x2二3 ， X1X2二-13(1)X12X；= ：XX2-2X1X2

4、 -2 -1 =249(2)(3)X1x2XX2& -X22Xi2X2-4XM2x13 丿21 0=-X2二用心爱心 专心3例 3.已知：x1、x2是两个不相等的实数，且满足xf32 =0，x| 322- = 0,那么求x1-1 x2-1的值。分析：由两个条件可得出X1、X2为方程x2 3x-2二0的两不等实根，再对所求代数式配方变形。用心爱心 专心4解：由题意，Xi、X2为x2 3x 2 = 0的两个不等实根因而有Xr X2- -3, x1x - -2又xr-1 xx -1 i；Hr x2- xrx21 - -2 - -31 =2.Xi-1 X2-1= 2点拨：善于转化未见过的题，充

5、分挖掘已知条件。2 2例 4.已知关于 x 的一元二次方程x - 4x= 0与2x - 3xk求 k 的值。2 2解:（解法一）设方程x -4x - k = 0两根 a、B ,方程2x -3x则有：-4：1:-k: 2 -:=:3 2创=kV 2：1 一 ： 3 : 一一 -5 5 -2由：:：2 ：4 :二:6当-0时，代入:2:k = 0当壽?0 时，由：6: =2代入:5 -:=2则=5代入:1:-1把：=5, - -1 代入 中，k = -5k= 0或k - -522（解法二）将x - 4xk=0与2x - 3xk = 0相减得：x2x二0=0有一个相同的根，二0的两根：用心爱心 专心

6、5此时方程根为 0 或 T,即题中两方程相同根为0 或-1(1) 若是 0 则k =0；(2) 若是-1,则k 5；.k= 0或k - -5点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程f(x) =0与gx )=0有公共根，则公共根必满足方程f()x -g()x =0”的结论。2例 5.已知方程x23x 0(1) 若方程两根之差为 5,求 k。(2) 若方程一根是另一根 2 倍，求这两根之积。分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。解：(1)设方程两根X,与x,5，由韦达定理知：xx,5 = -3x, - -4又x,5 = -4 5

7、 = 1.k = -41 = -4(2)设方程两根X,、2x,，由根系关系知：x,2x,- -3x, = -1k二xx2,二2x=2点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。例 6.已知方程x2ax0两根之比为 1: 3，判别式值为 16，求 a、b 的值。分析：必用判别式厶=a2- 4b =16，又韦达定理知a =-4m，b = 3m2，显然可求 a、b。解：设已知方程的两根为 m，3m由韦达定理知：m 3m二-a,m3m = b2用心爱心 专心6即a - -4mb二3m二 =a2_4b = (-4m f _ 4工3m1 = m2= 6用心爱心 专心72把m = 2代入a = -4

8、mb = 3m得：a 8,b = 12点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。例 7.已知、x2是关于 x 的一元二次方程x22m xm21 =0的两个实数根。（1）用含 m 的代数式表示x1xf；2 2（2） 当x1x2=15时，求 m 的值。2 2 2分析：应注意x-j x2= x1x2-2x1x2，即可用根系关系。解：（1 ）由题意：x1x - 2m - 1X1X2= m 1xx；二x1x22x2-I- 2m 1 J2-2 m21二2m24m -12（2）由（1）得：2m 4m-1 =15解得：m1- -4, m2=2检验：当m = -4时，原方程无实根。舍去m - -4当m

9、 = 2时，原方程有实根。-m 2点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。2一 1例 8.已知方程2x2-6x 30的两根为x1、x2，求一个一元二次方程，使它两根为 X11和。X2用心爱心 专心8即可，转化成例 2 类型了。解：设所求一元二次方程为2 =0,X2只要求出2 2，X1X212 2X1X2的值2分析：所求方程y用心爱心 专心9由韦达定理x1x2=3, x1x22即：9X-24y4 =0-:xd# =0，当:- ，为分数时，往往化成整系数方程。总结扩展1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关

10、系， 是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记,为进一步使用打下基础。2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导， 向学生展示认识事物的一般规律， 提 倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培 养了学生逻辑思维能力。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一.选择题。1. 已知x - -3是关于X的一元二次方程k -

11、1 x22kx 3 = 0的一个根，则 k 与另根分别为（）A. 2 , -1B. -1 , 2C. -2, 1D. 1 , -22已知方程3X2m 4 xm 1 =0的两根互为相反数，则 m 的值是（）点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根 -,那么方程为X1X2X1X2为方程2X2-6x 30的两根X1X22X1x2-2X1X232一 2 -X1X2X1X2X1X22X12X2XX2、2I所求.次方程为用心爱心 专心103.若方程X2 X k=0 有两负根，则 k 的取值范围是（）11A. k . 0B. k : 0C. kD. 0：k -444.若方程x2 px q = 0的两根中

12、，只有一个是0,那么（）A.p=q=0B.p=0,q=0C.p =0,q = 0D.不能确定2P2-1、5.方程X2- px0的大根与小根之差等于（）4A._1B.2p2-1C. 1D. 2p2- 1_15_1 _ 56.以一5,5为根的，且二次项系数为1 的一元二次方程是(2 22B.X X- 1= 02D.X一X 1= 0.填空题。2 27.关于 x 的一元二次方程x +2(m + 1)x + m =0的两根互为倒数，则 m =_28.已知一元二次方程ax +bx+c = 0两根比 2: 3，贝 U a, b, c 之间的关系是 _。219.已知方程x-mx4M的两根X1、X2，且X-2

13、X-2=9，则 X10.已知 八是方程：x2-5x-20的两根，不解方程可得： -211.已知2+也=13,(1囂卩)=2，则以a、B为根的一元二次方程是 _A. 4B. -4C. 1D. -1A.X2X 1 = 02C.X x 1= 0用心爱心 专心11三.解答题。212. 已知方程二x3xm = 0的两个实根中，其中一个是另一个的2 倍，求 m 的值。13. 已知方程3x2- 7x 30的两根x1、x2(x1x2)不解方程，求x1 . x2和X； -x2的值。14. 已知方程2x2-3x - 70的两根、1,求作以二2爲厂:为两根的方程。15. 设x1、x2是方程x2一2m 1 x m2=

14、0的两个实根，且两实根的倒数和等于 3,试求 m 的值。用心爱心 专心12【试题答案】选择题。1. A2. B3. D4.填空题。, 221| 2 m 1 , 4m 丄 0 m 亠7.2=2m=1m = 18. 设X1= 2t, X2= 3t,贝V捲+ x2= m19. x1x = m(m + 4 )JX1-2x2-2)=91m m 4 -2m = 5- 2=m - 2m -150=m= 5 或m - -3m =5时，原方程 0,故舍去，m口5a + P =-10.2: -1a2+P2=fa+ B, _2 沙=?+ 24=25ac13 s 1B5. C6. B-3334用心爱心 专心13a昇)2 4邛=13 + 4：2=13(a + 0 f = a2+ B2+2GB= 13 + 2a0(a 0一1 f = a2B2一2a B + 1= :-2一4二：12二0-：-6或：二-2： ：=5八3:-=6 或:-2LL所求方程X2-5x0或X2 3x - 2 =0三解答题。12解：设方程的一个根为 x，另一根 2xc mx 2X= 2解得：1Jx =-一丨2m 1：2：2=13：2-2=1311. S1 -：=21-八卩I-=2由根系关系:1:2x1X2=13解：由题设条件13X1X2 =1用心爱心 专心14即产-2、r：；2-3：-.护川22：1=2 ：