2.3.1 平面向量基本定理题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（Word版含解析）

1、第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理基础过关练题组一基底的概念与判定1.下面三种说法,其中正确的是()一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面内所有向量的基底;一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面内所有向量的基底;零向量不可以作为基底向量.A.B.C.D.2.已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中,不能作为一组基底的是()A.e1,e1+e2B.e1-2e2,e2-2e1 C.e1-2e2,4e2-2e1D.e1+e2,e1-e23.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+e2,若a,b能作为平面内的

2、一组基底,则实数的取值范围为. 题组二用基底表示向量4.(黑龙江哈尔滨三中高三期中)如图所示,在正方形ABCD中,E为BC的中点,F为AE的中点,则DF=()A.-12AB+34ADB.12AB+23AD C.13AB-12ADD.12AB-34AD5.(山东枣庄八中高三月考)在ABC中,D为AB的中点,点E满足EB=4EC,则ED=()A.56AB-43ACB.43AB-56AC C.56AB+43ACD.43AB+56AC6.在梯形ABCD中,ABCD,M,N分别是DA,BC的中点,且DCAB=k.设AD=e1,AB=e2,以e1,e2为基底表示向量DC,BC,MN.题组三平面向

3、量的夹角7.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为. 8.已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,设a+b与a的夹角为,a-b与a的夹角是,求+.题组四平面向量基本定理的应用9.(安徽高一期末)在ABC中,N是AC边上一点,且AN=12NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+29AC,则实数m的值为()A.19B.13C.1D.310.(辽宁辽阳高一上期末)在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,满足BE=4EA,AF=3FD,连接EF交AC于点M,若AM=2AB-3AC

4、,则5-192=()A.-32B.1C.12D.-311.设e1,e2是平面内的一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,若向量e1+e2可以表示为以a,b为基向量的线性组合,请求出e1+e2.12.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;(3)若4e1-3e2=a+b,求,的值.能力提升练一、选择题1.()以下说法中正确的是() A.若a与b共线,则存在实数,使得a=b B.设e1和e2为一组基底,a=1e1+2e2,若a=0,则1=2=0C.a的长度为|a| D.

5、若两个向量的方向恰好相反,则这两个向量是相反向量2.()在ABC中,BD=DC,AP=2PD,BP=AB+AC,则+= ()A.-13B.13C.-12D.123.(广东珠海高一上期末,)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,EF与AC交于点G.若AB=a,AD=b,则DG=()A.14a-34b B.-14a+34b C.-14a-34bD.14a+34b4.(2018福建闽侯四中高三上期末,)在ABC中,点D满足BD=34BC,当E点在线段AD上移动时,若AE=AB+AC,则t=(-1)2+2的最小值是()A.31010B.824C.910D.418二、填空题5.(河北

6、高一期中,)已知O是ABC内一点,且OA+OB+OC=0,点M在OBC内(不含边界),若AM=AB+AC,则+2的取值范围是. 6.(浙江高一期中,)已知点M是ABC所在平面内的一点,且满足6AM-AB-2AC=0,若SABC=SABM,则实数的值是. 7.(四川成都高三调研,)在平面向量中有如下定理:设点O、P、Q、R为同一平面内的点,则P、Q、R三点共线的充要条件是存在实数t,使OP=(1-t)·OQ+tOR(OQ与OR不共线).试利用该定理解答下列问题:如图,在ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设AM=xAE+y

7、AF,则x+y=. 三、解答题8.(河南高一月考,)如图,在ABC中,点O在BC边上,且BO=2OC,过点O的直线与直线AB,AC分别交于M,N两点(M,N不与点B,C重合),若AM=mAB,AN=nAC,求mn2m+n的值.9.()如图所示,在ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE与AD相交于点M.(1)用AB,AC表示AD,BE;(2)若AM=23AB+29AC,证明:B,M,E三点共线.答案全解全析第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理基础过关练1.B一个平面内只要是不共线的一对向量就可以作为该平面的基底,故说法错误;显然正确.故选B.2

8、.C因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),所以e1-2e2与4e2-2e1共线,不能作为一组基底.3.答案(-,4)(4,+)解析若a,b能作为平面内的一组基底,则a与b不共线,即akb(kR),又a=e1+2e2,b=2e1+e2,4.实数的取值范围为(-,4)(4,+).4.D利用向量的三角形法则,可得DF=AF-AD,AE=AB+BE.E为BC的中点,F为AE的中点,AF=12AE,BE=12BC,DF=AF-AD=12AE-AD=12(AB+BE)-AD=12AB+14BC-AD.又BC=AD,DF=12AB-34AD.故选D.5.AD为AB的中点,点E满足EB=4EC,BD=-1

9、2AB,EB=43CB,ED=EB+BD=43CB-12AB=43(AB-AC)-12AB=56AB-43AC.故选A.6.解析解法一:如图所示,AB=e2,且DCAB=k,ABCD,DC=kAB=ke2.又AB+BC+CD+DA=0,BC=-AB-CD-DA=-AB+DC+AD=e1+(k-1)e2.又MN+NB+BA+AM=0,且NB=-12BC,AM=12AD,MN=-AM-BA-NB=-12AD+AB+12BC=k+12e2.解法二:如图所示,过C作CEDA,交AB于点E,交MN于点F.同解法一可得DC=ke2,则BC=BE+EC=-(AB-DC)+AD=e1+(k-1)e2,MN=M

10、F+FN=DC+12EB=DC+12(AB-DC)=k+12e2.解法三:如图所示,连接MB,MC.同解法一可得DC=ke2,BC=e1+(k-1)e2.由MN=12(MB+MC),得MN=12(MA+AB+MD+DC)=12(AB+DC)=k+12e2.7.答案90°解析由题意可画出图形,如图所示.在OAB中,易知OAB=60°,又|b|=2|a|,所以ABO=30°,OAOB,即向量a与c的夹角为90°.8.解析如图,作OA=a,OB=b,且AOB=60°,以OA,OB为邻边作OACB,则OC=a+b,BA=OA-OB=a-b,BC=OA=

11、a.因为|a|=|b|=2,AOB=60°,所以OAB为正三角形,所以OAB=60°=ABC,即a-b与a的夹角=60°.因为|a|=|b|,所以平行四边形OACB为菱形,所以OCAB,所以COA=90°-60°=30°,即a+b与a的夹角=30°,所以+=90°.9.B设NP=NB ,AP=AN+NP=13AC+NB=13AC+(NA+AB) =13-13AC+AB,所以13-13=29, 解得=13,故m=13.故选B.10.C因为AC=AB+AD,所以AM=2AB-3AC=2AB-3(AB+AD)=(2-3)

12、AB-3AD.因为BE=4EA,AF=3FD,所以AM=5(2-3)AE-4AF,因为E,F,M三点共线,所以5(2-3)-4=1,10-19=1,所以5-192=12.11.解析设e1+e2=ma+nb(m,nR).a=e1+2e2,b=-e1+e2,e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.e1与e2不共线,m-n=1,2m+n=1,解得m=23,n=-13,e1+e2=23a-13b.12.解析(1)证明:若a,b共线,则存在R,使a=b,则e1-2e2=(e1+3e2).由e1,e2不共线,得=1,3=-2,解得=1,=-23,不存在,故a与

13、b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=ma+nb(m,nR),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.e1,e2不共线,m+n=3,-2m+3n=-1,解得m=2,n=1,c=2a+b.(3)由4e1-3e2=a+b,得4e1-3e2=(e1-2e2)+(e1+3e2)=(+)e1+(-2+3)e2.e1,e2不共线,+=4,-2+3=-3,解得=3,=1.故所求,的值分别为3,1.能力提升练一、选择题1.BA不正确,a0,b=0时,不存在;C不正确,当<0时不成立;D不正确,相反向量是方向相反模相等的向量.故选B.2.A因为BD=

14、DC,AP=2PD,所以AD=12AB+12AC,所以32AP=12AB+12AC,所以AP=13AB+13AC,所以BP=AP-AB=-23AB+13AC,因为BP=AB+AC,所以=-23,=13,所以+=-13.故选A.3.A平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,EF与AC交于点G,AG=14AC,AB=a,AD=b,AG=14AC=14(a+b),DG=DA+AG=-b+14(a+b)=14a-34b.4.C如图,由题意可得,存在实数m使得AE=mAD(0m1),又因为AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC-AB)=14AB+34AC,所以AE=m14AB+3

15、4AC=m4AB+3m4AC,所以=m4,=3m4,所以t=(-1)2+2=m4-12+3m42=58m2-m2+1=58m-252+910(0m1),当m=25时,t取得最小值,最小值为910.故选C.二、填空题5.答案(1,2)解析因为O是ABC内一点,且OA+OB+OC=0,所以O为ABC的重心.又点M在OBC内,所以当点M与点O重合时,+2最小,此时AM=AB+AC=23×12(AB+AC)=13AB+13AC ,所以=13,=13,即+2=1.当M与C重合时,+2最大,此时AM=AC ,所以=0,=1,即+2=2,因为M在OBC内且不含边界,所以取开区间,即+2(1,2).

16、6.答案3解析记2AM=AN,由题意得AN-AB+2AN-2AC=0,BN=2NC,SABC=32SABN. 又SABM=12SABN,SABC=3SABM,从而有=3.7.答案75 解析B,M,F三点共线,存在实数t,使得AM=(1-t)AB+tAF,又AB=2AE,AF=13AC,AM=2(1-t)AE+13tAC.又E,M,C三点共线,2(1-t)+13t=1,解得t=35.AM=2(1-t)AE+tAF=45AE+35AF,x=45,y=35,x+y=75.三、解答题8.解析由BO=2OC得AO-AB=2(AC-AO),即AO=13AB+23AC.又M,O,N三点共线,所以存在实数,使MO=ON,即AO-AM=(AN-AO),整理得(+1)AO=AM+AN=mAB+nAC,AO=m+1AB+n+1AC,m+1=13,n+1=23,13m+23n=1+1+1=1.则1m+2n=