量子力学主要知识点复习资料

1、大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分1 能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下， 谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 e的整数倍 ,2 ,3,4 , n对频率为 n 的谐振子 ,最小能量 e 为 :h 2. 波粒二象性波粒二象性（ wave-particle duality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中， 研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦

2、提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924 年，德布罗意提出“物质波”假说， 认为和光一样， 一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。德布罗意公式 Emc2h pmvh3. 波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程2i( r , t) 2V (r ) (r ,t ) 02mt粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅应该表示粒子出现在点表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。 所以，(x,y,z)附件的概率大小的一个量

3、。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。自由粒子的波函数kA expi(prEt )波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设 C 是一个常数， 则和c对粒子在点 (x,y,z)( x, y, z)(x, y, z)附件出现概率的描述是相同的。相位不定性如果常数C ei ，则( x, y, z)和 ei( x, y, z)对粒子在点 (x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。|( x, y, z) |2表示粒子出现在点 (x,y,z) 附近的概率。|( x, y, z) |2x yz 表示点 (x,y,z)处的体积元xyz中找到粒子的概

4、率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1必然有以下归一化条件2| (x, y, z) | dxdydz 15. 力学量的平均值既然22表示 粒子出现在点 r( x, y, z)附件的概率， 那么粒子| (r ) | (x, y, z) |_x|( r ) |2 xd 3r* (r ) x ( r ) d 3r ,坐标的平均值，例如 x 的平均值 x，由概率论，有又如，势能 V 是 r 的函数： V (r ) ，其平均值由概率论，d 3rdxdydz可表示为 V* (r )V (r )(r )d 3 r V* (r )V( r )( r ) d3 r再如，动量的平均值为

5、：p* ( r )p( r )( r )d 3 r为什么不能写成p* ( p) p ( p) d 3 p,因为 x 完全确定时p 完全不确定， x 点处的动量没有意义。能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？_*(r) ?(r)3r可以，但需要表示为ppd其中 ?为动量p 的算符pi6. 算符量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算如动量算符 p?i能量算符 Ei?tE动能算符 T?22*( r )T?3动能平均值 T( rr2m)d角动量算符 l?r?*?3p角动量平均值l(r)()rlr d薛定谔方程 i( r ,t)22V( r , t ) ( r ,t )t2m算符 ?2

6、2，被称为哈密顿算符，V (r )H2m7. 定态数学中，形如?af的方程，称为本征方程。其中2Af?算符, f本征函数, a本征值2?方程AV (r ) E (r ) E E (r )HE (r )称为能量本征方程，2mE E (r )E ( r ) 被称为能量本征函数，E 被称为能量本征值。当 E 为确定值，( r ,t ) =E( r ) exp(iEt ) 拨函数所描述的状态称为定态，处于定态下的粒子有以下特征：粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含 t 的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。8. 量子态叠加原理但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一

7、本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即( x )cn n( x )，n| c n |2表示在态( x )中发现粒子处于态n( x ), 具有 能量 E 的概率n9. 宇称若势函数V（ x）=V（ -x ），若( x ) 是能量本征方程对于能量本征值E 的解， 则(x )也是能量本征方程对于能量本征值E 的解定义空间反演算符为: P ( x)( x)P如果 P( x)(x)(x)或P(x)( x)，( x)称 (x)具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称P cos(x)cos( x)cos(x)奇宇称P sin(x)sin( x)sin(x)注意

8、：一般的函数没有确定的宇称设 ( x)是能量本征方程对应于能量本征值 E的解，如果V ( x)V (x), 若( x)无简并，则( x)具有确定的宇称。10. 束缚态通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态11. 一维谐振子的能量本征值EEn(n1/ 2),n0,1,2,.12. 隧穿效应量子隧穿效应为一种量子特性， 是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点， 无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒

9、，只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应， 只能说反应概率较大。 而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子 ( 代表点 ) 穿越势垒 ( 也称势垒穿透 barrier penetration) ，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。13. 算符对易式一般说来， 算符之积不满足交换律，即?，由此导致量子力学中的一个基? ?ABBA本问题：对易关系A和 B,设 A, B AB BA对易式，通常? ?0A,B坐标对易关系 , p? i,x , y , zi,0,

10、角动量的对易式 l?x , x 0, l ?x , y i z , l ?x , z i y , l?y , x i z , l?y , y 0, l?y , z i x , l?z , x i y , l?z , y i x , l ?y , z 0, l?x , p?x 0, l?x , p?y i p?z , l ?x , p?z i p?y ,l?, ? ? , l?, ? 0, l?, ? ? ,yp xi p zyp yyp zi p x l?, p? i p? , l?, p? i p? , l?, p? 0,zxyzyxyz l?x , l?x 0, l ?y , l ?y 0

11、, l?z , l?z 0, l?x , l?y i l ?z , l?y , l?z i l?x , l?z , l?x i l?y令 l?2l?x2l?y2l?z2 , 有 l?2 ,l?x0, l?2 , l?y 0, l?2 , l?z 014. 厄密算符平均值的性质?*?*A, 则A的共轭转置算符 A称为 A的厄密共轭算符 , 记为 A ,即 A A 。先转置，再共轭。? *d* ?Ad A体系的任何状态下， 其厄密算符的平均值必为实数， 在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。15. 量子力学关于

12、算符的基本假设1、微观粒子的状态由波函数(r,t)描写。2、波函数的模方| (r ,t ) |2表示 t时刻粒子出现在空间点(x,y,z) 的概率。3、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程2?i(r ,t ) (2V ) (r , t)(r ,t ),2mHt?22V (r , t ) 哈密顿算符H2m16. 算符的本征方程，本征值与本征函数?数学中，形如Afaf 的方程，称为本征方程。其中?算符, f本征函数, a本征值A满足?的和 不止一组,AAA可能有 组，因此?A nAn nn此式称为 的本征方程，An称为 ?的AA?一个本征值，n称为 A的一个本征态。?n 和An 是算符

13、 A的本征态与本征值，如果An , 都是不简并的，则n能构成一组正交归一完备态矢，系统的任何状态均可展开如下：( x )ann , 其中， ann*dr3n17. 不确定度关系的严格表达18. 两个算符有共同本征态的条件两个算符对易，即? ?A,B 019. 力学量完全集若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由的本征值不能确定体系状态，必再加上的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符，它们只有一组共同完备本征函

14、数集，记为，可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称为体系的一组力学量完全集。20. 力学量完全集共同本征态的性质若能级简并21.守恒量对于 Hamilton量 H 不含时的量子体系，如果力学量A 与 H 对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态） ，A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A 称为量子体系的一个守恒量。22. 狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用把希尔伯特空间一分为二， 互为对偶的空间， 就是狄拉克符号的优点。 用右矢 | >表示态矢，左矢 < | 表示其共厄矢量， < | >是内积， < |

15、 >大于等于 0，称为模方。 | >< | 是外积。|右矢代表量子态；*|左矢量子态的共轭态若是力学量完全集F的本征态，则| k, 如球谐函数 Y 是( l?2, l? )kklmz的共同本征函数， | Ylm| lm采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。| kk |I 或PkI , Pk| kk | 为投影算符kk算符向左作用23. 角动量平方和角动量z 分量的共同本征函数这样， l?2 和 l?z的共同本征函数为m2l1 ( lm)!mimYlm (, )(1)4( lm)!Pl (cos)e其中 ml , l1, l1,l , l0,1

16、,2,Ylm 称为球谐函数，它们满 足l?2Ylml ( l1)2Ylm注意量纲l?Ym Yz lmlmml , l1, l1,l ,l0,1,2,注意，推导过程计算题有可能要考24. 氢原子的能量本征值与能级简并度EEne 41e 2 1,n 1,2,3, ,22n 22a n 2氢原子的能级是 n2 简并的25.正常 Zeeman效应原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。26. 电子自旋电子的基本性质之一。电子内

17、禀运动或电子内禀运动量子数的简称自旋不是机械的自转27 关于电子自旋的Stern-GerlachStern-Gerlachexperiment实验首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由O. 斯特恩和W.革拉赫在1921 年完成的。实验装置如图斯特恩革拉赫实验装置示意图示。使银原子在电炉O 内蒸发 , 通过狭缝形成细束，经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域 （磁场垂直于束方向）, 最后到达照相底片P 上。在显像后的底片上现了两条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。实验上高温炉中的 Ag 原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数为零，似乎不该偏转，因此原子除了轨道

18、磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。28 碱金属原子光谱双线结构对钠原子，3p3s的跃迁产生一条黄线589. 3nm,用高分辨率的光谱仪进行观测，发现它实际上是由两条谱线构成：1589. 6nm， 2589. 0nm。与 Zeeman效应不同，此现象并非 外界因素作用的结果，而是原子的故有特 性。其根源正是电子的 自旋。29. 量子跃迁与选择定则在外电场的激发下，谐振子从基态 | 0只能跃迁到第一激发态| 1。P ()q 2222220,e102Pn 0()0, n1以上结果表明， 01可以发生，02，03，0n不能发生，表明允许谐振子n1的跃迁发生，这称为跃迁的选择定则。即谐振子只能跃迁到相邻

19、能级30. 禁戒跃迁已知Ck k (t )k ki1 tei k kt Hk kdt0令 P(t )| C(t ) |2, 则 P(t )代表系统从初态k kk kk k跃迁到末态 k 的概率。当 kk时，有1tik k t2Pk k(t )Hk kdt |2 | e0( 12)k(13)若存在这样的末态 k ，使得 Hk k，P，0k k0表明从 k到k 的跃迁是不可能的，或 者说，从 k到 k 的跃迁是禁戒的。在外电场的激发下，谐 振子从基态 | 0不能跃迁到激发态 | n, 其中 n1。或者说，02，03， ，0n的跃迁为禁戒跃迁。31. 微扰论的思想解薛定谔方程的一种常用的近似方法。一个量子体系，如果总哈密顿量的各部分具有不同的数量级， 又对于它精确求解薛定谔方程有困难， 但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解 , 便可先略去次要部分 , 对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问