巧用圆锥曲线定义解有关最值问题

1、百度文库1巧用圆锥曲线定义解有关最值问题广东石油化工学院高州师范学院 309 数学（4）班 李国晓【摘要】 圆锥曲线涉及到两大定义，圆锥曲线的第一定义和圆锥曲线的第 二定义。巧用圆锥曲线的定义，通过具体实例说明求最值的一些方法，如果能很 好地理解和掌握圆锥曲线的定义，也能用它来解决很多代数问题。【关键词】圆锥曲线最值目标函数圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，它处于代 数与几何的交汇处。 如果能很好地 理解和掌握圆锥曲线的定义，也能用它来解决很多代数问题。圆锥曲线作 为高考必考内容，当一道题目涉及到线段距离、圆锥曲线位置关系等等，而且又与焦点有关 时，我们通常可考虑利用定义来求解。利用圆锥曲线

2、定义求解的基本特点是解题思路比较简 单，规律性较强。而圆锥曲线的定义是由曲线上的点到焦点的距离来刻画的，由此可对一些距离进行有效的转化，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到利用定义 进行求解,这样会有事半功倍之效。 下面谈谈如何巧用圆锥曲线的定义来求最值问题。一、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）第一定义在最值问题中的巧用圆锥曲线的第一定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要 方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求百度文库2解。圆锥曲线中涉及到很多最值问题，如果方法不当，求解过程就很复杂。有些与焦点和准 线有关的问题

3、，从第一定义入手，就很容易解决问题，下面举例说明圆锥曲线中常见的最值 问题。圆锥曲线第一定义在求最值的一般形式：|PA |PF 的最值。其中，在曲线C（椭圆、双 曲线、抛物线）内一定点（异于焦点），P 是曲线C上的一个动点，F是曲线C的一个焦点。1.椭圆第一定义在最值问题中的巧用椭圆第一定义： 平面内到两定点 F,、 F2的距离之和等于常数2a的动点M的轨迹叫椭圆，即 MFMF22a。1 上一点 P 到两个焦点距离之积为 m，求 m 的最大值，并求出当 m 取259得最大值时 P 点的坐标。分析：此题求 P 点到两焦点之积，由不等式性质和椭圆第一定义，可转化为两距离之和来求解。此题是动点到两焦

4、点距离之积，从而联系了第一定义：动点到两定点距离之和等于定值 再结合不等式性质，把目标函数转化为容易求解的函数，从而问题得解。2 2例 2：已知椭圆 仝 1 内有一点A（2, 1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点,2516解：设椭圆2x251 的左右焦点分别为 F,、F2, PF,PF210,PF,PF2PF,PF2225,当且仅当 PF1PF2时取等号，此时点 P 为短轴的端点。所以 P 的坐标为（0，3）或（0,-3）时，m 的最大值为 25。当圆锥曲线中的最值问题涉及到圆锥曲线的焦点时， 可以考虑应用圆锥曲线的定义解题。2a。求 PA PF 的最大值与最小值。分析：目标函数 PA PF

5、,考虑用普通方法比较难解，则我们可作适当转化，利用椭圆第一定义，把PF转化为与另一焦点有关的线段，即PF2a PF ,再结合平面内三点共线百度文库3时有最值，而点 P 在线段延长线的不同侧时，会使目标函数取得最大值或最小值。解：如图 1,设椭圆的右焦点为F，可知其坐标为F（3，0）,由椭圆的第一定义得：PF|PF|io ，则|PA|PF IO|PA PF|，可知，当P为AF的延长线与椭圆的交点 /时，PA |PF I 最大，最大值为，AF I 2，当 P 为 FA 的延长线与椭圆的交点时，| PA | PF 最小，最小值为 AF |42。故 PA PF 的最大值为1042，最小值为10 v 2

6、o本题中巧用第一定义解题：动点到两定点距离之和等于定值2a，两定点为焦点，a 为长半轴，利用这定义，把所要求的目标函数中的一个焦半径转化为另一焦半径，考虑在什么情 况下所百度文库4求函数值最大，把目标函数转化为容易求解的函数。 在把 PA PF 转化 10 |PA |PF百度文库5时，即转化为A、F、P三点共线进行讨论，当P点在AF延长线时，所求函数有最大值, 当 P 点在FA 的延长线时，所求函数有最小值。注意在这类问题中，“和”与“差”中一个 不可求，就用定义转化为另一个。正确地画出图形，利用平面几何知识，一般都可以解决问 题。2.双曲线的第一定义在最值问题中的巧用双曲线第一定义：平面内点

7、M与一定点F的距离和它到一定直线的距离的比是常数ec，这个点M的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是a双曲线的离心率。1 内有一点B 6,2,Fi、F2分别为双曲线左右焦点，P 是双曲线右支上的动点，求PF?|PB的最小值PB，从一般方法来解比较困难，则我们可以从定义入手，利用曲线第一定义，把|PF2转化为|PFj8,而|PB PF,为平面内三点距离之和，当B,P, F,点 共线时有最小值。解：如图 2，由题意得F,( 5,0)、F25,0，有双曲线的第一定义得PF,PF2|8 所以当 p 点在如图 2 位置时有最小值，当 P 点在如图 2 位置时有最抛物线第一定义

8、：平面内与一个定点 戸和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点2 2例 3:已知双曲线壬169分析：目标函数为PF2PF2I|PB |PF2|PF,| 8，小值，即PFJ|PB|BF,(6此题巧用双曲线的第一定义把而冋题得解。PF2转化为 PF,8，再结合平面几何知识进行分析，从3.抛物线的第一定义在最值中的巧用PF|PB 的最小值为 55 8。百度文库6夕叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点 F 不在定直线上。它与椭圆、双曲 线的第二定义相仿，仅比值（离心率 e）不同，当 e= 1 时为抛物线例 4:设 P 是 y24x 上的一个动点，求P点到 A 1,1 的距离与 p 点到直

9、线I:x 1的 距离d之和的最小值。分析：此题中的I:x1刚好是抛物线的准线，而点A在准线I上，由抛物线第一定义可把P到直线的距离转化为P到焦点F 1,0距离，即所求距离转化为|PAPF ,而 PA |PF 刚 好是三点距离之和，而在平面中，当三点共线即A、P、F三点共线时它们所得距离之和最 小。图3解：如图 3,由抛物线第一定义得 PA d |PA |PF ,在平面中|PA |PF/AF|，又AF|A/5,当A、P、F三点共线时取等号，即所求最小值为 75。/把动点到焦点的距离转化为动点到定直线的距离，从平面三点共线性质考虑得出最小值。二、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）第二定义在最值问题中

10、的巧用圆锥曲线的第二定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要 方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求 解。圆锥曲线中涉及到很多最值问题，如果方法不当，求解过程就很复杂。有些与焦点和准 线有关的问题，从第二定义入手，就很容易解决问题。百度文库7圆锥曲线第二定义在求最值的形式一般是：PAPF的最小值。其中，在曲线C（椭e圆，双曲线或抛物线）内一定点（异于焦点），P是曲线C上的一个动点，F是曲线C的一个焦点，e是曲线C的离心率。1.椭圆第二定义在最值问题中的巧用椭圆第二定义：平面内动点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比为常

11、数ce - e 1时，这个动点的轨迹是椭圆aAM 2MF 的最小值，并求出此时点2例 5:已知点 A 2,. 3 ,设F为椭圆乞162仝1的右焦的坐标百度文库811分析：椭圆离心率e丄，而目标函数中的21,再结合椭圆第二定义，把目标函数中 2MF2e转化为点到右准线的距离，而M点为动点，在平面内当三点共线时有最值，即 AM 的延长线垂直有准线，此时确定的M点就是能使|AM| 2MF 达最小值。图 4解：设右准线为L,过A作右准线的垂线，垂足为N,与椭圆交于M。依题意得离心率e丄,2由椭圆第二定义得 2MF MN，所以 AM 2MF AM| MN ,如图 4M点位置所示，百度文库9AM MN 达

12、最小值，所以|AM| 2MF 的最小值即为|AN的长，而 AN| 2 810，即百度文库10AM| 2MF 的最小值为10;此时把点y、3代入椭圆方程即可求得M2 3, 3此题利用建立目标函数来求 AM 2MF 的最小值，其函数表达式复杂，用常规方法求解较繁。但我们考虑|AM 2MF 中的2，看它是否有其特殊含义，椭圆中是否有与 2 有关的性解：设F为椭圆的右焦点，如图 5,作AA l于A，BB l于B， MM l 于 M，的纵坐标质。由题中得离心率为1 1e-，即2：,再由椭圆第二定义可知 2MF 就是M点到右准线的距离，问题即可解决。例 6：定长为d d2 2竺的线段 AB 的两个端点分别

13、在椭圆$aa2詁-ab0上移动,求 AB 的中点M到椭圆右准线l的最短距离。百度文库511AA BB1AFBF1-!- AF BF22 ee2e时等号成立）。故M到椭圆右准线的最短距离为-2e题中若是求中点到与准线平行的直线的距离的最小值也可以转化为这类问题。2. 双曲线的第二定义在最值问题中的巧用双曲线的第二定义：平面内点M与一定点F的距离和它到一定直线的距离的比是常数eC，这个点M的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是a双曲线的离心率。2 2例 7:已知双曲线c: 匕 1 内有一点A 7,3，F是双曲线C的左焦点，P为双曲线9163C上的动点，求PA - PF的

14、最小值。5图 6/分析：注意到式中的数值“-”恰为1，则可由双曲线的第二定义知-|PF等于双曲线上5巳/5-则MMAB d玉新当且仅当AB过焦点F空是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值,a空 是 AB 能过焦点的充要条件。a百度文库512的点 P 到左准线的距离 PM，从而|PA -PF| PA | PM。百度文库13解：设双曲线左准线为丨，过平点P作准线l的垂线交于点M，根据双曲线第二定义得53PM-|PF ,所以PA-|PF PA |PM ，由图 6 知，当A、P、M三点共线时，PA PM359 ”443、44取得最小值，其大小为|AM 7 -,即PA -|PF的最小值为-。55551题

15、中丄|PF d（d为P到焦点 F 对应的准线的距离），从而将所求转化为定点到准线的e距离。3. 抛物线的第二定义在最值中的巧用抛物线的第二定义：平面内与一个定点 F 和一条直线？的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛物线的准线，定点 F 不在定直线上。它与椭圆、 双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率 e）不同，当 e= 1 时为抛物线。例&设P是 y24x 上的一个动点，若有点B 3,2，求 PB PF 的最小值。图7分析：此题是求PA Z|PF的最小值”问题，由抛物线的离心率e 1，则可把PF转化e为P点到准线的距离，再结合几何知识从而问题得解。解：

16、作抛物线的准线为L,过P点作准线L的垂线交点为 Q 由抛物线定义得PB PF PB PQ BQ 4如图 7，当P为过点B的丨的垂线与抛物线的交点时取等号，即所求最小值为6。题中 ed PF，将所求折线转化为直线，结合图形利用平面几何知识很容易解决问题。百度文库14三、总结1. 巧用圆锥曲线定义解最值问题，能使问题简单化，从上面的类型可以得出，求解圆锥 曲线最值问题可分分为以下两种：（1）圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）第一定义在最值问题中的巧用；（2）圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）第二定义在最值问题中的巧用。2. 从上述例题可以看出，圆锥曲线定义是解决一些最值问题的有效而又快捷的方法。如果一道解答题题目涉及到对圆锥曲线定义的与圆锥曲线的位置关系、轨迹与最值等等，常常考虑通过圆锥曲线定义来求解，它的基本特点是解题思路比较简单，规律性较强。圆锥曲线的定义是由曲线上的点到焦点的距离来刻画的，由此可对