系统微分方程的

1、主要内容物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n n阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法一物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。线性常系数微分方程来描述。二微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑对于电路系统，主

2、要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL,KVL.三n阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间之间的关系，可以用下列形式的微分

3、方程式来描述的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为均为常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方程。分析系统的方法：列写方程，求解方程。 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求

4、解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求零零输输入入应应零零输输入入相相应应和和零零状状态态相相经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程: :,:求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：齐次解就是：齐次解+特解。特解。 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为0，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 0t齐次解：由特征方程齐次解：由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式 nktkkeA1注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含

5、待定系解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。1122d)0(d,d)0(d,d)0(d, )0( nntrtrtrr 初始条件的确定初始条件的确定是此课程要解决的问题。是此课程要解决的问题。经典法kA全全 解：齐次解解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解特解，由初始条件定出齐次解 。几种典型激励函数相应的特解 te激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常常数数E)(常常数数Bpt1121 ppppBtBtBtBte tBe t cos t sin tBtB sincos21

6、 tettp sin tettp cos teDtDtDtDteBtBtBtBtpppptpppp sincos11211121 例2-2-1 tisRRiLLiCciab tv电感电感电阻电阻 tvRtiR1 d1 tLvLti电容电容 ttvCtiCdd 根据根据KCL titititiSCLR 代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 ttitvLttvRttvCSdd1dd1dd22 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 tv tis这是一个代

7、表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。可以用高阶微分方程表示。 例2-2-2msFf机械位移系统，其质量为机械位移系统，其质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧 tv牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为擦力为 ，外加牵引力为，外加牵引力为 ，其外加牵引力，其外加牵引力 与与刚体运动速度刚体运动

8、速度 间的关系可以推导出为间的关系可以推导出为 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmSdddddd22 k例2-2-3 .12dd16dd7dd2233的的齐齐次次解解求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt 系统的特征方程为系统的特征方程为 01216723 0322 3 , 221 重重根根 ttheAeAtAtr33221 特征根：特征根：因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为例2-2-4 如果已知：如果已知： 分别求两种情况下此分别求两种情况下此方程的特解。方程的特解。 tettetrttrttr dd3dd2dd22 , 2 ; 12tetette 给定微分方程式给定微

9、分方程式 3221BtBtBtrp 为使等式两端为使等式两端 ,2 , 122tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端将将平衡，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 将此式代入方程得到将此式代入方程得到 为待定系数。为待定系数。这里这里321, , BBB ttBBBtBBtB232234323212121 等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 032223413321211BBBBBB联解得到联解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解为所以，特解为 271092312 tttrp 这里，这里，B是待定系数。是待定系数。 代入方程后有：代

10、入方程后有： 。可可选选很很明明显显时时当当ttBetrete , ,ttttteeBeBeBe 3231 B.31,te特解为特解为于是于是 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解上上面面求求出出的的齐齐次次解解trtrph treAtrpnitii 1 (2)例2-2-5 建立建立 电流的微分方程并求电流的微分方程并求 给定如图所示电路，给定如图所示电路， 的位置而且已经达的位置而且已经达到稳态；到稳态；10处处于于开开关关St . 210转转向向由由时时当当St ti 时时的的变变化化。在在解解 0tti21S ti V4 te V2 teFC1 11R tiC tiLHL

11、41 232R根据电路形式，列回路方程：根据电路形式，列回路方程： tetvtiRc 1 2ddRtititLtvLLC 列结点电压方程列结点电压方程 titvtCtiLC dd ,tvC先消去变量先消去变量 :,把把电电路路参参数数代代入入整整理理的的再再消消去去变变量量tiL tetettettitittit4dd6dd10dd7dd2222 (1)（1）列写电路的微分方程(2)求系统的完全响应系统的特征方程：系统的特征方程：01072 052 特征根：特征根：5, 221 齐次解：齐次解： 0 5221teAeAtitth Vtet4 0 时时由于由于 , , 44Btip 因因此此令令特特解解4410 B581016 B方程右端自由项为方程右端自由项为代入式代入式(1)(1)要求系统的完全响应为要求系统的完全响应为 0 585221teAeAtitt特解：特解：(3) 0dd0iti和和确确定定换换路路后后的的 ARRiiL5420021 00dd it VVvC5623540 换路前换路前21S ti V4 te V2 teFC1 11R tiC tiLHL41 232R A514A5641100101 CveRi sA20dd0dd10dd1 CvtetRit因而有因而有: : :0dd0 iti和和换换路路后后的的由于电容两端电压和电感中