华师固体物理期末试卷及答案

1、18 倒格子倒格子3自原点引晶面族自原点引晶面族ABC的的法线法线ON，在法线上截取一段，在法线上截取一段OP= ，使使 d=2 ，d是晶面族是晶面族ABC的面的面间距。间距。对于每一族晶面都有一点对于每一族晶面都有一点P，以以OP为该方向的周期，把为该方向的周期，把P平移，平移，得出一个新的点阵。这个新格子得出一个新的点阵。这个新格子称为原来的晶格的称为原来的晶格的倒格子倒格子，而把，而把原来的晶格称为原来的晶格称为正格子正格子。(1) 倒格子与晶格的几何关系倒格子与晶格的几何关系倒格点的选取倒格点的选取图图2-1倒格子基矢与正格子基矢的关系倒格子基矢与正格子基矢的关系 设正格子的基矢为设正

2、格子的基矢为a1, a2,和和a3；正格子的坐标面；正格子的坐标面a1a2, a2a3, a3a1各有其对应的晶各有其对应的晶面族，它们的面间距分别面族，它们的面间距分别为为d3, d1, d2。作。作OPa1a2面，在面，在OP上截取一段上截取一段OP=b3，使，使b3=2 /d3， 同同样，对样，对a2a3面得出面得出b1=2 /d1，对，对a3a1面面b2=2 /d2，矢量矢量b1, b2,和和b3就是就是倒格子倒格子的基矢的基矢。图图2-2(2) 倒格子基矢倒格子基矢 根据图根据图2-2，我们容易得到，我们容易得到3212aab1322aab2132aab 是正格子原胞的体积是正格子原

3、胞的体积 正格子和倒格子的线度关系除正格子和倒格子的线度关系除2 因子外，互为倒数；正格子线度因子外，互为倒数；正格子线度的量纲为的量纲为米米 ，倒格子线度的量纲为，倒格子线度的量纲为米米-1 ，这一点也很重要。，这一点也很重要。(3) 倒格子与正格子间的关系倒格子与正格子间的关系ijjiba2容易验证：倒格子容易验证：倒格子基矢基矢bj =(j=1,2,3)与正格子与正格子基矢基矢ai (j=1,2,3)之间符合下面的关系之间符合下面的关系2ji0jii = jij(1)晶体中任一处晶体中任一处 r 的物理量的物理量 (r)，具有周期性，因此，具有周期性，因此 (r)= (r+Rl)其中其中

4、Rl 代表晶体中的代表晶体中的平移矢量平移矢量（正格矢），将（正格矢），将 (r) 展成展成傅里叶级数傅里叶级数hhhriKKr)exp()()(其中矢量其中矢量Kh的意义将在下面说明的意义将在下面说明, h 代表三个整数代表三个整数(h1,h2,h3)(2)(3) )(exp)()(hlhhlRriKKRr1)(explhRKi(6)2lhRK(4)将（将（3）和（）和（4）代入（）代入（2），可得到），可得到(5)比较比较(1) 和和(6) ，我们知道，我们知道Rl是正格矢，是正格矢，Kh=h1b1+h2b2+h3b3 是倒格矢。是倒格矢。即即 (3)式表示同一物理量在正格子中的表述式表示

5、同一物理量在正格子中的表述 (r)和在倒格中和在倒格中的表述的表述 (Kh) 之间遵守傅里叶变换关系。之间遵守傅里叶变换关系。（为整数）为整数） 倒格子与正格子间的三个重要关系倒格子与正格子间的三个重要关系正格子原胞体积正格子原胞体积 和和倒格子原胞体倒格子原胞体 * 互为倒数互为倒数)2(21133233321*aaaaaabbb应用应用CBABCACBA)()()(我们能得到我们能得到3*)2(7)正格子中一族晶面族（正格子中一族晶面族（h1h2h3）和倒格矢）和倒格矢Kh=h1b1+ h2b2+ h3b3正交正交从图，我们知道，矢量从图，我们知道，矢量CA=OA-OC=a1/h1-a3/

6、h3CB=OB-OC=a2/h2-a3/h3都在都在ABC面上，因此，如果能证明面上，因此，如果能证明则则Kh必与晶面族（必与晶面族（h1h2h3）正交。）正交。KhCA=0KhCB=0倒格矢倒格矢Kh的长度正比子晶面族（的长度正比子晶面族（h1h2h3）面间距的到数）面间距的到数ABC面就是晶面族（面就是晶面族（h1h2h3）中最靠近原点的晶面中最靠近原点的晶面 hhhhhhhKKhbhbhbhaKKhad2)(1332211111321(8)晶格的周期特征，因此晶格可以作为晶格的周期特征，因此晶格可以作为波的衍射光栅波的衍射光栅。晶体中原子间距的数量级是晶体中原子间距的数量级是10-10米

7、，因此波的波长应该米，因此波的波长应该在在10-10米量级。米量级。1.9 晶体衍射晶体衍射高能电子打击高能电子打击“靶靶”能产生能产生X射线，射线，X射线的最短波长限射线的最短波长限(1) X射线衍射射线衍射VeVch12000minV 以伏为单位，波长以埃为单位以伏为单位，波长以埃为单位x极小V =10000伏伏, min 1埃埃(9)电子与靶中的弱束缚电子相互作用，被减慢、发射一电子与靶中的弱束缚电子相互作用，被减慢、发射一个连续个连续X光谱，称光谱，称 Bremsstrahlung辐射。辐射。 Bremsstrahlung 辐射辐射高能电子会激发和高能电子会激发和电离靶原子的内壳电离靶

8、原子的内壳层电子，形成一个层电子，形成一个电子空穴。当一个电子空穴。当一个自由电子填充电子自由电子填充电子空穴时，靶会发射空穴时，靶会发射一个标识的一个标识的X光子。光子。 标识的标识的X光光FeK 线，线，高能电子电离靶原子的高能电子电离靶原子的K K内壳层电子，内壳层电子，L L壳层壳层电子填充电子填充K K空位。空位。FeK 线，线，高能电子电离靶原子的高能电子电离靶原子的K K内壳层电子，内壳层电子，L L壳层壳层电子填充电子填充K K空位。空位。FeK 线和线和FeK 线线 X射线与晶体相互作用，是由于原子中射线与晶体相互作用，是由于原子中电子电子的的散射散射。对于一个原子所有电子的

9、散射总和。可归结为这个原子的对于一个原子所有电子的散射总和。可归结为这个原子的一个散射中心的散射。一个散射中心的散射。 对于一定波长，对于一定波长，散射的强度散射的强度决定于原子中电子数目和决定于原子中电子数目和电子的分布，不同的原子具有不同的散射能力。电子的分布，不同的原子具有不同的散射能力。 由于原子间距和由于原子间距和X射线波长具有相同的量级，所以各射线波长具有相同的量级，所以各个原子的散射又个原子的散射又互相干涉互相干涉，在一定的方向构成衍射极大。，在一定的方向构成衍射极大。这种衍射图形（照片上的斑点或条纹）在一定程度上反映这种衍射图形（照片上的斑点或条纹）在一定程度上反映了晶格中原子

10、排列的情况。了晶格中原子排列的情况。 对于晶体结构分析，对于晶体结构分析，X射线是最常用的方法。射线是最常用的方法。热发射产生的电子被电压热发射产生的电子被电压V加速后的波长加速后的波长（2）电子衍射）电子衍射21150V150伏的加速电压能产生波长为伏的加速电压能产生波长为1埃的电子波埃的电子波(10) 电子波与晶格的作用由于晶格中的电场，即电子电子波与晶格的作用由于晶格中的电场，即电子波不仅受到电子的散射，并且也受到原子核的散射，所波不仅受到电子的散射，并且也受到原子核的散射，所以以散射很大散射很大，透射力很弱。，透射力很弱。 低能电子衍射研究单晶表面结构。低能电子衍射研究单晶表面结构。

11、在透射电子显微镜中研究在透射电子显微镜中研究薄晶体薄晶体试样。试样。 中子质量约为电子质量的中子质量约为电子质量的2000倍，所以对于中子，只倍，所以对于中子，只需需0.1个电子伏特的中子，就可产生个电子伏特的中子，就可产生1埃的波。埃的波。 中子主要是受到原子核的散射，轻原子（比如氢、碳）中子主要是受到原子核的散射，轻原子（比如氢、碳）对于中子的散射也很强。对于中子的散射也很强。 中子衍射技术常用来决定氢、碳在晶体中的位置。中子衍射技术常用来决定氢、碳在晶体中的位置。（3）中子衍射）中子衍射31.10X射线衍射方程、反射公式、反射球射线衍射方程、反射公式、反射球4设设S0和和S为入射线和衍射

12、线单位矢量，取为入射线和衍射线单位矢量，取格点格点O为原点，晶为原点，晶体中任一体中任一格点格点A位矢为位矢为 Rl=l1a1+l2a2+l3a3(1) 衍射方程衍射方程 光程差为光程差为 CD+OD, CD = - Rl S0 OD=Rl S 当光程差是波长的整数时产生衍射极大为当光程差是波长的整数时产生衍射极大为整数。整数。CD+OD=Rl ( S - S0) = 为整数为整数 (11)这个方程称为这个方程称为劳厄劳厄(Laue)方程。方程。The Nobel Prize in Physics 1914for his discovery of the diffraction of X-ra

13、ys by crystalsMax von Laue Germany 把劳厄方程用把劳厄方程用波矢波矢表示，因为波矢表示，因为波矢 02okS2kSRl 是正格矢，因此是正格矢，因此矢量矢量(k-k0)相当于倒格矢相当于倒格矢。令。令2)(olkkR(k-k0)=nKhn为整数，这个式子称为为整数，这个式子称为倒格子空间的衍射方程倒格子空间的衍射方程。这个。这个方程表明当衍射波矢和入射波矢上差一个或几个倒格方程表明当衍射波矢和入射波矢上差一个或几个倒格矢时，满足衍射加强条件。矢时，满足衍射加强条件。(12)(13)n=1时，时，(13)式中的式中的k0 k Kh围成一个等腰三角形，虚线代围成一

14、个等腰三角形，虚线代表表晶面晶面（h1h2h3）的迹。因此，）的迹。因此，(13)式将衍射加强条件形象式将衍射加强条件形象地表达为：地表达为：k为认为是为认为是k0经过晶面（经过晶面（h1h2h3）的反射而成，）的反射而成，衍射极大的方向恰是晶面族的反射方向。衍射极大的方向恰是晶面族的反射方向。（2）反射公式）反射公式S0, S表示入射线和衍射线的表示入射线和衍射线的单位矢量单位矢量。2sins转化为正格子转化为正格子4 sin22oossskk把图化到正格把图化到正格子，得到子，得到32102hhdhnnKkkh并且并且 2 sindn布拉格方程布拉格方程 (14)The Nobel Pri

15、ze in Physics 1915for their services in the analysis of crystal structure by means of X-raysSir William Henry Bragg William Lawrence Bragg United Kingdom United Kingdom 单色单色X光以光以 入射到原子平入射到原子平面上，反射的面上，反射的X光以光以 角离角离开原子平面。大部分开原子平面。大部分X光不光不是被第一层原子散射，而是是被第一层原子散射，而是穿入更深被下面的原子平面穿入更深被下面的原子平面反射。第一原子平面反射的反射。第

16、一原子平面反射的波和第二原子平面反射的波波和第二原子平面反射的波的干涉。光程差是的干涉。光程差是 2dsin 当当 2dsin =n , n 是衍射级数，是衍射级数， 是散射角，两个反射的波建设是散射角，两个反射的波建设性地干涉，衍射峰出现。布拉格定理表明性地干涉，衍射峰出现。布拉格定理表明X光衍射图中的峰直光衍射图中的峰直接由原子平面间的距离决定。接由原子平面间的距离决定。 从上面的图，我们看到原子作为散射中心。从上面的图，我们看到原子作为散射中心。布拉格定律布拉格定律点阵平面和布拉格定律点阵平面和布拉格定律 对一级反射对一级反射(n=1) ， k - ko= Kh, 而而Kh的两端都是倒格

17、点的两端都是倒格点。因为因为lkl=lkol=2 / ，在在Kh的两端的两端的倒格点，自然就落在以的倒格点，自然就落在以k和和ko的交点的交点C(不一定是倒格点不一定是倒格点)为中为中心，心， 2 / 为半径的球面上，如为半径的球面上，如图所示。图所示。 反过来说，落在球面上的倒反过来说，落在球面上的倒格点满足格点满足倒格子空间的衍射方倒格子空间的衍射方程程(13)式。这些球面上的倒格式。这些球面上的倒格点所对应的晶面族将产生反射，点所对应的晶面族将产生反射，所以这样的球称为所以这样的球称为反射球反射球。(3) 反射球反射球 设入射线沿设入射线沿CO方向，取线段方向，取线段 C=2 / ， 是

18、所用单色是所用单色X射线的射线的波长。再以波长。再以C为心，以为心，以OC=2 / 为半径所作的球就是反射球。为半径所作的球就是反射球。 若若P是球面上的一个倒格点，则是球面上的一个倒格点，则CP就是以就是以OP为倒格矢的一族晶为倒格矢的一族晶面面(h1h2h3)的反射方向，如图所示，图中虚线示晶面族的反射方向，如图所示，图中虚线示晶面族(h1h2h3)之之迹。同样，设想球面上另有一倒格点迹。同样，设想球面上另有一倒格点 Q (图中未曾画出图中未曾画出)，则，则CQ代表以代表以OQ为倒格矢的另一族晶面的反射方向。为倒格矢的另一族晶面的反射方向。反射球的作法反射球的作法 作反射球时要注意，晶体作

19、反射球时要注意，晶体并不在球心并不在球心C，而是在，而是在倒格点倒格点O处，处，C不一定是倒格点。不一定是倒格点。 这里所考虑的是一级反射，则自这里所考虑的是一级反射，则自O点和球面上一倒格点和球面上一倒格点间的联线点间的联线OP间不含倒格点。如果反射是二级的，则当间不含倒格点。如果反射是二级的，则当中还含有一个倒格点。中还含有一个倒格点。 波长一定时，反射球大小一定。倒易格子参数越小波长一定时，反射球大小一定。倒易格子参数越小 (晶晶胞越大胞越大)，倒易格子点越密集，所产生衍射的数目也越多。，倒易格子点越密集，所产生衍射的数目也越多。 当晶体相对入射线有当晶体相对入射线有一种取向一种取向，即

20、，即倒易格子分布一定倒易格子分布一定时即有一定数量的倒易格子点落到球面上，产生相应数目时即有一定数量的倒易格子点落到球面上，产生相应数目的衍射。的衍射。 当改变晶体取向，即倒易格子与反射球做相对运动的当改变晶体取向，即倒易格子与反射球做相对运动的过程，将有另一些倒易格子点落到反射球面上。过程，将有另一些倒易格子点落到反射球面上。 因此晶体因此晶体 (倒易格子倒易格子) 和反射球之间不同形式的相对运和反射球之间不同形式的相对运动对应于晶体的动对应于晶体的X射线衍射的各种实验。射线衍射的各种实验。 (4) 实验方法实验方法单晶试样单晶试样多晶试样多晶试样多晶样品对多晶样品对“单色单色”平行平行X射

21、线束的衍射射线束的衍射 1.11 原子散射因子原子散射因子 晶格对晶格对X射线的衍射，可以射线的衍射，可以归结为晶体内每个原子对归结为晶体内每个原子对X射射线的散射，而原子的散射又是线的散射，而原子的散射又是原子内每个电子对原子内每个电子对X射线的散射线的散射，由于原子的线度和被散射射，由于原子的线度和被散射的的X射线的波长具有相同的数射线的波长具有相同的数量级，因此，量级，因此，原子内部各部分原子内部各部分电子云对电子云对X射线的散射波之间射线的散射波之间存着相位差。存着相位差。在求原子的散射在求原子的散射振幅时，应考虑到各部分电子振幅时，应考虑到各部分电子云对云对X射线的散射波之间的相射线

22、的散射波之间的相互干涉。互干涉。 设设 r 为原子中某一点为原子中某一点P 的位矢，的位矢，So，S分别是入射方向和衍射分别是入射方向和衍射方向的单位矢量，则由方向的单位矢量，则由P点的散射波相由原子中心的散射波之间点的散射波相由原子中心的散射波之间的位相差是的位相差是原子散射因子的计算方法原子散射因子的计算方法rsrkkrSS2)(200设设 (r)d 是电子在是电子在P点附近体积元点附近体积元d 内的几率，原子散射因子为内的几率，原子散射因子为drsirsf)2exp()()(15) 在一般情况下，为了计算原子散射因子的值，还须知道电子在一般情况下，为了计算原子散射因子的值，还须知道电子的

23、分布函数的分布函数 (r) 。 许多原子的电子分布函数在量子力学中已经由哈特里自洽场许多原子的电子分布函数在量子力学中已经由哈特里自洽场的方法计算出来了代入的方法计算出来了代入(15)式可以计算了式可以计算了f (s)，因此由量子力，因此由量子力学的计算，可以预知学的计算，可以预知 f (s) 。 同时，由实验所测定的同时，由实验所测定的 f (s) 也可也可以用来检验理论是否正确以用来检验理论是否正确41.12 结构因子结构因子 ( F )5 结构因子结构因子F(hkl) 是一个晶胞对散射是一个晶胞对散射X射线振幅的贡献。射线振幅的贡献。令令s0和和s 向量分别代表入射方向和衍射方向的单位向量。在向量分别代表入射方向和衍射方向的单位向量。在a、b、c所所规定的规定的晶胞中晶胞中包含有包