灰色关联分析法与TOPSIS评价法

1、灰色关联度评价法一、一、 灰色关联分析灰色关联分析(GRA)(GRA)方法方法 灰色关联分析是一种多因素统计分析方法灰色关联分析是一种多因素统计分析方法, ,它是以它是以各因素的样本数据为依据用灰色联度来描述因素间各因素的样本数据为依据用灰色联度来描述因素间关系的强弱、大小和次序的关系的强弱、大小和次序的. . 如果样本数据列反映出两因素变化的态势如果样本数据列反映出两因素变化的态势( (方向、方向、大小、速度等大小、速度等) )基本一致基本一致, ,则它们之间的关联度较大；则它们之间的关联度较大；反之关联度较小反之关联度较小. . 与其他传统的多因素分析方法相比与其他传统的多因素分析方法相比

2、, ,灰色关联分析对数据要求较低且计算量小灰色关联分析对数据要求较低且计算量小, ,便于广泛便于广泛应用应用. . GRA GRA分析的核心是计算关联度分析的核心是计算关联度, ,下面通过一个例下面通过一个例子来说明计算关联度的思路和方法子来说明计算关联度的思路和方法. 下表是某地区下表是某地区2000-20052000-2005年国内生产总值的统计资料年国内生产总值的统计资料. .现在提出这样的问题：该地区产业中现在提出这样的问题：该地区产业中, ,哪一产业的变哪一产业的变化与该地区国内生产总值化与该地区国内生产总值(GDP)(GDP)的变化态势更一致？的变化态势更一致？也就是哪一产业与也就

3、是哪一产业与GDPGDP的关联度最大呢？的关联度最大呢？年份 国内生产总值 第一产业 第二产业 第三产业200019883868397632001206140884680820022335422960953200327504821258101020043356511157712682005380656118931352表表 某地区国内生产总值统计资料某地区国内生产总值统计资料(百万元百万元) 一个自然的想法就是分别将三次产业产值的时间序列一个自然的想法就是分别将三次产业产值的时间序列与与GDPGDP的时间序列进行比较的时间序列进行比较, ,为了能够比较为了能够比较, ,先对各序列进先对各序列进

4、行无量纲化行无量纲化, ,这里采用均值化法这里采用均值化法. .各序列的均值分别为：各序列的均值分别为：2716,461.5,1228.83,1025.67,2716,461.5,1228.83,1025.67,上表中每列数据除以其均值可上表中每列数据除以其均值可得均值化序列得均值化序列( (如表所示如表所示) )年份t GDP x0(t) 一产业 x1(t) 二产业 x2(t) 三产业 x3(t)20000.73200.83640.68280.744020010.75880.88190.68850.787820020.85970.91440.78120.929120031.01251.044

5、41.02370.984720041.23561.10731.28331.236320051.40131.21561.54051.3182 两序列变化的态势是表现在其对应点的间距上两序列变化的态势是表现在其对应点的间距上. .如果如果各对应点间距均较小各对应点间距均较小, ,则两序列变化态势的一致性强则两序列变化态势的一致性强, ,否否则则, ,一致性弱一致性弱. .分别计算各产业产值与分别计算各产业产值与GDPGDP在对应期的间在对应期的间距距( (绝对差值绝对差值), ),结果见表所示结果见表所示. .年份t20000.10440.04920.011920010.12310.07040.0

6、28920020.05470.07850.069420030.03190.01120.027820040.12840.04770.000620050.18570.13920.083201( ) t01( )( )x tx t02( ) t02( )( )x tx t03( ) t03( )( )x tx t接下来应该是三个绝对值序列分别求平均再进行比较接下来应该是三个绝对值序列分别求平均再进行比较, ,就可以解决问题了就可以解决问题了. .但仔细观察表中的数据会发现绝对但仔细观察表中的数据会发现绝对差值数据序列的数据间存在着较大的数量级差异差值数据序列的数据间存在着较大的数量级差异( (最大最

7、大为为0.1857,0.1857,最小的为最小的为0.0006,0.0006,相差相差300300多倍多倍), ),不能直接进行综不能直接进行综合合, ,还需要对其进行一次规范化还需要对其进行一次规范化. .设 和 分别表示表中绝对值 的最大数和最小数，则(max)(min)0( )it00(min)( )(max)it 0( )(min)01(max)(max)it因而由于在一般情况下, 可能为零(即某个 为零)故将上式改进为(min)0( )it00(min)/(max)( )( )/(max)iitt0(min)/(max)( )/(max)it显然 越大,说明两序列(xi和x0)的变化

8、态势一致性弱,反之,一致性强,因此可考虑将 取倒反向,为了规范化后数据在0,1内,可考虑 0( )(max)it0( )(max)it在0和1之间取值.上式可变形为00(min)(max)( )(6.1)( )(max)iitt 1,2,3;2000,2005it 称为序列称为序列xi和序列和序列x0在第在第t期的灰色关联系期的灰色关联系数数(或简称为关联系数或简称为关联系数).0( )it(max)由(6.1)式可以看出, 取值的大小可以控制对数据转化的影响, 取较小的值,可以提高关联系数间差异的显著性,因而 称为分辨系数分辨系数. 利用(6.1)对表6-3中绝对差值 进行规范化,取 结果见

9、表6-4,以 计算为例：01(2000)0( )it0.4,同样可计算出表6-4中其余关联系数.010.00060.4 0.1857(2000)0.41910.10440.4 0.1857(min)0.0006, (max)0.1857年份t20000.41910.60670.868720010.37960.51780.725720020.58080.49030.521320030.70550.87610.733820040.36960.61411.00020050.28810.35100.475801( ) t02( ) t03( ) t表表6-4最后分别对各产业与最后分别对各产业与GDP的

10、关联系数序列求算术的关联系数序列求算术平均可得平均可得011(0.4191 0.37960.58080.705560.36960.2881)0.4571r 021(0.60670.51780.49030.876160.6141 0.3510)0.5760r031(0.86870.72570.52130.733861.0000.4758)0.7209r r0i称为序列称为序列x0和和xi(i=1,2,3)的灰色关联度的灰色关联度.由于 因而第三产业产值与GDP的关联度最大,其次是第二产业、第一产业.030201,rrr可以看出,灰色关联分析需要经过以下几个步骤：1.确定分析序列确定分析序列(1,

11、2, ),iX in0X在对研究问题定性分析的基础上,确定一个因变量因素和多个自变量因素.设因变量数据构成参考序列 ,各自变量数据构成比较序列n+1个数据序列成成如下矩阵：( (1),(2),() ,0,1,2,TiiiiXxxx Nin其中01010101(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(,)(6.2)()()()nnnnNnxxxxxxXXXx Nx NxN N为变量序列的长度.一般情况下,原始变量序列具有不同的量纲或数量级,为了保证分析结果的可靠性,需要对变量序列进行无量纲化.无量纲化后各因素序列形成如下矩阵：2.对变量序列进行无量纲化对变量序列进行无量纲化01010101(1

12、)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(,)(6.3)()()()nnnnNnxxxxxxXXXx Nx Nx N计算(6.3)中第一列(参考序列)与其余各列(比较序列)对应期的绝对差值,形成如下绝对差值矩阵：3.求差序列、最大差和最小差求差序列、最大差和最小差其中010200102001020(1)(1)(1)(2)(2)(2)()()()nnnN nNNN00( )( )( )(6.6)iikx kx k0,1, ;1,2,in kN绝对差值阵中最大数和最小数即为最大差和最小差：对绝对差值阵中数据作如下变换：011max( )(max)(6.7)ii nk Nk 00(min)(max)(

13、 )(6.9)( )(max)iikk 011min( )(min)(6.8)ii nk Nk 4.计算关联系数计算关联系数得到关联系数矩阵：010200102001020(1)(1)(1)(2)(2)(2)(6.10)()()()nnnN nNNN式中分辨系数 在(0,1)内取值,一般情况下依据(6.10)中数据情况多在0.1至0.5取值, 越小越能提高关联系数间的差异.关联系数 是不超过1的正数, 越小, 越大,它反映第i个比较序列Xi与参考序列X0在第k个期关联程度.0( )ik0( )ik0( )ik比较序列Xi与参考序列X0的关联程度是通过N个关联系数(即(6.10)中第i列)来反映

14、的,求平均就可得到Xi与X0的关联度5.计算关联度计算关联度0011( )(6.11)NiikrkN6.依关联度排序依关联度排序 对各比较序列与参考序列的关联度从大到小排序，关联度越大，说明比较序列与参考序列变化的态势越一致灰色关联度综合评价法灰色关联度综合评价法 n利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：n1根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。n2确定参考数据列 n参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值记作 mxxxX0000,2,)1(n3对指标数据进行无量纲化 n无量纲化后的数据序列形成如下矩阵： mxm

15、xmxxxxxxxXXXnnnn10101010222111,n4逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值 n即 （ , 为被评价对象的个数）n5确定 与)()(0kxkximk, 1ni, 1n)()(minmin011kxkximkni)()(maxmax011kxkximknin6计算关联系数 n由（125）式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数0000minmin( )( )maxmax( )( )( )125)( )( )maxmax( )( )iiikikiiiikxkx kx kx kkx kx kx kx k（mk, 10.5式中 为

16、分辨系数，在（0，1）内取值，若 越小，关联系数间差异越大，区分能力越强。通常 取n7计算关联序 n对各评价对象（比较序列）分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联序，记为：00 ( )( ) ( )( )x kkx kkii如果为最优值数据列，越大，越好；如果为最劣值数据列，越大，越不好。011( )miikrkmn8如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值即 n 9依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果011( ),mikikkrWkmmW （k=1,）式中为各指标权重。2.2.灰色关联分析的应用举例灰色

17、关联分析的应用举例 n例1：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价n1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤n2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表 编号编号专业专业外语外语教学教学量量科研科研论文论文著作著作出勤出勤189875292787573839796647468884365866983868957648n3确定参考数据列：n 4计算 ， 见下表09,9,9,9,8,9,9x)()(0kxkxi编号编号专业专业外语外语教学教学量量科研科研论文论文著作著作出勤出勤11012370221241613020325243111463513300616

18、1042251n5求最值n6依据（125）式， 取计算，得 011minmin( )( )min(0,1,0,1,0,0)0nmiikx kx k011maxmax( )( )max(7,6,5,6,6,5)7nmiikx kx k111111100.5 700.5 7(1)0.778(2)1.00010.5 700.5 7(3)0.778(4)0.636(5)0.467(6)0.333(7)， ，1.000，0.5n同理得出其它各值，见下表编号10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.636 0.778 0.636 0.467 0.636 0.368 0.

19、778 31.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.636 40.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.538 50.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.778 60.778 1.000 0.467 0.636 0.538 0.412 0.778 (1)i(2)i(3)i(4)i(5)i(6)i(7)in7分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）： n8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号n即 713. 07000.

20、1333. 0467. 0636. 0778. 0000. 1778. 001r02030405060.6140.6800.5990.6830.658rrrrr，010503060204rrrrrrTopsisTopsis法法( (对多个对象作评价对多个对象作评价) )TOPSISTOPSIS（Technique for order preference by similarity to Technique for order preference by similarity to ideal solutionideal solution）法，即）法，即逼近理想解排序法逼近理想解排序法，意为与

21、意为与理想方案相似性的顺序选优技术理想方案相似性的顺序选优技术，是系统工程中，是系统工程中有限方案多目标决策分析的一种常用方法。有限方案多目标决策分析的一种常用方法。n它是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方它是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最案中最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。步骤：步骤

22、：1. 1. 设有设有n n个评价对象、个评价对象、m m个评价指标，原始数据可写个评价指标，原始数据可写为矩阵为矩阵X X( (X Xij ij) )n nm m 2. 2. 对极大、极小指标分别进行一致化、归一化变换对极大、极小指标分别进行一致化、归一化变换 niijijijXXZ12niijijijXXZ12)/1 (/13. 归一化得到矩阵归一化得到矩阵Z(Zij)nm，其各列最大、最小，其各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别记为值构成的最优、最劣向量分别记为Z(Zmax1 Zmax2 Zmaxm) Z(Zmin1 Zmin2 Zminm) 4. 第第i个评价对象与最优、最劣方案的

23、距离分别为个评价对象与最优、最劣方案的距离分别为21max)(mjijjiZZD21min)(mjijjiZZD5. 第第i个评价对象与最优方案的接近程度个评价对象与最优方案的接近程度Ci为为 )(iiiiDDDC例例 某儿童医院某儿童医院19941998年年7项指标的实际值，用项指标的实际值，用Topsis法比较该医院这法比较该医院这5年的医疗质量年的医疗质量 年份出院人数病床使用率平均住院日病死率抢救成功率治愈好转率院内感染率19942158476.77.31.0178.397.52.019952437286.37.40.8091.198.02.019962204181.87.30.6291.197.33.219972111584.56.90.6090.297.72.919982463390.36.90.2595.597.93.61408. 03 .905 .848 .813 .867 .767 .762222212Z变换后，得到矩阵变换后，得到矩阵 3118. 04482. 04776. 08178. 04634. 04805. 04833. 03871. 04473.