动量定理及动量守恒

1、守恒定律反映自然界中守恒定律反映自然界中基本对称性基本对称性的结果的结果1. 应用守恒定律应用守恒定律: 过程量过程量 状态量状态量2. 守恒定律与不变性密切联系守恒定律与不变性密切联系重点：重点：牛顿定律及其应用；牛顿定律及其应用； 动量定理、动量守恒定律及其应用。动量定理、动量守恒定律及其应用。难点：难点：变力下冲量的计算；变力下冲量的计算； 准确分析动量守恒的条件。准确分析动量守恒的条件。5-1 动量动量 动量守恒定律动量守恒定律vmp 质点的动量：质点的动量：质点系的动量：质点系的动量： iiiiimpPv质点系动量的方向一般并不沿速度矢量和的方向质点系动量的方向一般并不沿速度矢量和的

2、方向 动量守恒定律：动量守恒定律：大量的实验表明大量的实验表明,如果如果系统不受系统以外的物体系统不受系统以外的物体的作用的作用, 则则系统的动量保持不变系统的动量保持不变, 即动量守恒即动量守恒常常矢矢量量 iiiiivmpP常矢量常矢量 21pp对于由两个相互作用的质点构成的孤立系统对于由两个相互作用的质点构成的孤立系统上式对时间求导数上式对时间求导数,得得 对于两个质点构成的孤立系统来说对于两个质点构成的孤立系统来说, 总的动量虽然不总的动量虽然不变变,但其中每个质点的动量却是可以改变的但其中每个质点的动量却是可以改变的满足动量守恒定律满足动量守恒定律0)(dd21 ppt或或tptpd

3、ddd21 两个质点间的相互作用力是成对出现的两个质点间的相互作用力是成对出现的,这一对这一对力称为作用力和反作用力力称为作用力和反作用力,它们总是大小相等它们总是大小相等,方方向相反向相反,且沿同一直线且沿同一直线 作用在质点上的作用在质点上的力的定义：力的定义：则由则由tptpdddd21 质点的动量对时间的变化率。即质点的动量对时间的变化率。即tpFdd tpfdd112 tpfdd212 2112ff 得到得到牛顿第三定律牛顿第三定律 1. 压力与支持力压力与支持力2. 张力张力3. 弹簧弹性力弹簧弹性力三、常见的几种力三、常见的几种力 （gmP 1. 最大静摩擦力最大静摩擦力Nfss

4、 S 2. 滑动摩擦力：滑动摩擦力：Nfkk k kvfd 一个物体在流体中和流体有一个物体在流体中和流体有相对运动相对运动时，物体时，物体会受到流体的阻力。会受到流体的阻力。方向方向：和物体相对于流体的速度方向相反：和物体相对于流体的速度方向相反其中，其中，k决定于物体的大小和形状以及流体的性质。决定于物体的大小和形状以及流体的性质。静摩擦力系数静摩擦力系数滑动摩擦系数滑动摩擦系数空气：空气：221AvCfd 空气中的终极速率：空气中的终极速率：ACmgvt 2 1. 1. 两个质点的系统两个质点的系统dtPdfFFfmdtPdfFFfm22221111 dtPddtPdfFfF2121 -

5、 ff dtPddtPdFF2121 2. n个质点的系统个质点的系统 iiiiPdtdF以以F 和和P表示系统的合外力和总动量，上式可写为：表示系统的合外力和总动量，上式可写为：dtPdF 由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。所以：所以：系统所受外力的矢量和等于系统动量对时间的变化率系统所受外力的矢量和等于系统动量对时间的变化率 常常矢矢量量 iiiiivmp 一个质点系所受的合外力为零时，这一一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。质点系的总动量就保持不变。： (1) 动量守恒条件：动量守恒条件： a 外力之和为零外力之和为零

6、 b 外力远小于内力外力远小于内力 0 0常常矢矢量量 PdtPdF若若则则即即(5) 动量守恒定律动量守恒定律只适用于惯性系只适用于惯性系。(2) 分量式：分量式：常常量量常常量量 yiyiiyxixiixpvmFpvmF;0;0(3) 定律中的速度应是对定律中的速度应是对同一惯性系同一惯性系的速度，动量的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。和应是同一时刻的动量之和。(4) 动量守恒定律在动量守恒定律在微观高速微观高速范围仍适用。范围仍适用。例例：炮车以炮车以 角发射一炮弹，炮车质量为角发射一炮弹，炮车质量为M，炮弹质量，炮弹质量为为m，炮弹出口速度为，炮弹出口速度为v（对炮车）（对炮车）求

7、求：炮车反冲速度炮车反冲速度V（炮车与地面摩擦力忽略不计）（炮车与地面摩擦力忽略不计）解解：炮车与炮弹为一系统，在水炮车与炮弹为一系统，在水平方向动量守恒平方向动量守恒Vvu 炮弹对地速度的炮弹对地速度的x分量：分量：Vvux cos由动量守恒定律（对地）由动量守恒定律（对地）0)cos( VvmMV 反冲速度反冲速度： cosvMmmV MmXvVu例例：船长船长L=4m，质量，质量M=150kg，静止浮在水面，有，静止浮在水面，有质量质量m=50kg的人从船头走到船尾的人从船头走到船尾求求：人和船对岸各移动的距离（水阻力不计）。人和船对岸各移动的距离（水阻力不计）。解：解： 与与 分别表示

8、任一时刻分别表示任一时刻船和人相对于岸的速度，船和人相对于岸的速度，水平方向（水平方向（x）动量守恒）动量守恒Vv0 MVmv000 ttVdtMvdtmLSsMSms ,(m)3;(m)1 SLsLmMmS可得：可得：OXY21Vxx1x2xCxCLSs考虑时间过程考虑时间过程 :21tt ppppddtFpptt 122121 21ttdtFI称为力的称为力的冲量冲量（时间的积累量）。（时间的积累量）。12ppI 动量定理动量定理物体在运动过程中所受合外力的冲量，等于该物体在运动过程中所受合外力的冲量，等于该物体动量的增量物体动量的增量。5-2 动量定理动量定理一、质点的冲量一、质点的冲量

9、 动量定理动量定理由由pddtF 说明：说明：1 动量定理表示：力在一段动量定理表示：力在一段时间过程时间过程内的累积效果，内的累积效果，仅适用于仅适用于惯性系统惯性系统；3 动量定理的动量定理的矢量方程矢量方程及及分量式分量式jIiIIyx yyttyyxxttxxmvmvdtFImvmvdtFI121221212 冲量冲量 是矢量，其大小和方向由微分冲量是矢量，其大小和方向由微分冲量 的的矢量决定，是过程量，而矢量决定，是过程量，而 是状态量之差；是状态量之差；IdtFp 4 当物体质量改变时，动量定理同样适用当物体质量改变时，动量定理同样适用5 平均冲力平均冲力的概念的概念 21121t

10、txxdtFttF曲线下面积曲线下面积=矩形面积矩形面积代替变力，可使问题简化，便于估算。代替变力，可使问题简化，便于估算。意味意味着：变力着：变力 的冲的冲量与恒力（平均冲力）量与恒力（平均冲力） 的冲量是的冲量是等效等效的，可用的，可用)(tFxxFkFjFiFFzyx 在研究诸如碰撞、打击等问题时，在研究诸如碰撞、打击等问题时， 十分复杂十分复杂以以x方向为例，其平均冲力：方向为例，其平均冲力：)(tFFxtO(s)(N)Fxt1t2xF帆对风的作用力帆对风的作用力F风对帆的作用力风对帆的作用力 （ 的反作用力）的反作用力）FF风风向向航航帆帆船船v0v0vvvFF应用例应用例:逆风扬帆

11、逆风扬帆例：例：圆锥摆运动圆锥摆运动 当质点从当质点从a点绕行半周到点绕行半周到b点，点，求求此过程中重力、绳中张力的冲量。此过程中重力、绳中张力的冲量。解：解：重力的冲量（重力的冲量（恒力恒力的冲量）的冲量）kvRmgdtkmgItP 0jik张力的冲量（张力的冲量（变力变力的冲量）的冲量）由动量定理由动量定理imvvmvmIIabTP2 kvRmgimvIimvIPT 22vavbab gmTvm2TIPI例例：一冲力作用在质量为一冲力作用在质量为0.3kg的物体上，物体最初的物体上，物体最初处于静止状态，已知处于静止状态，已知F与与t的关系为：的关系为：求求：（1）在作用时间内的冲量，平

12、均冲力）在作用时间内的冲量，平均冲力 （2）物体的末速度）物体的末速度 07. 002. 0)07. 0(100 . 202. 00105 . 2)(254tttttF解解：（1） 21)(ttdttFIsNdtttdtI 3 .13)02. 0(100 . 2105 . 207. 002. 02502. 004F(N)t(s)F0.02s0.07so平均冲力：平均冲力：NIttdttFttFtt1903 .13007. 011)(1121221 （2）由：）由：12mvmvI 1123 .44 msmIvv iiiiPdtdF以以F 和和P表示系统的合外力和总动量，上式可写为：表示系统的合外

13、力和总动量，上式可写为：dtPdF 质点系的动量定理：质点系的动量定理：PddtF PPddtFPPtt 2121积分形式积分形式微分形式微分形式由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。所以：所以：二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理解解：由由tdtdsv smv/21 1112 smkgmvp smv/22 1222 smkgmvp VVVVVmmm( )1122A(t1)B(t2)o例例：质量质量m=1kg的质点的质点M，从，从O点开始沿半径点开始沿半径R=2m的的圆周运动，已知圆周运动，已知M的运动方程为的运动方程为求求：从从 到到 这段时间内

14、作用于质点这段时间内作用于质点M的的合力的冲量。合力的冲量。21t22t2/2tS pvmvmI 12121216)()( smkgmvmvI 2212 mvmvarctg 4454 本题若按冲量定义本题若按冲量定义: 计算计算,对变矢量对变矢量进行积分是比较麻烦的进行积分是比较麻烦的. 21ttdtFIVVm12Pm例例：两传送带两传送带A、B接力传送矿砂，接力传送矿砂，v1=4m/s，与竖直，与竖直方向成方向成30，传送带，传送带B与水平成与水平成15， v2=2m/s，。，。设输运量恒定为设输运量恒定为R=20kg/s求求：矿砂作用在传送带矿砂作用在传送带B上的平均力。上的平均力。解解：

15、选时间选时间 t内落在内落在B上的质量上的质量为为m，则，则m=R t落于落于B前：前：1vm落于落于B后：后：2vm增量：增量：12)(vmvmvm smtRsmmmvmvmvmvvm/98. 3/98. 375cos2)()()(2221 301v2v2vm1vm15vm设设 t内的平均作用力为内的平均作用力为 ，由动量定理：，由动量定理：F)(vmtF NttRtvmFF6 .7998. 3)( 其方向与动量增量其方向与动量增量 相同。相同。)( vm sin75sin)(22mvvm )(29近似垂直向上近似垂直向上 矿砂作用在矿砂作用在B 上的平均力上的平均力 与与 大小相等、大小相

16、等、方向相反。方向相反。F F例例：质量为质量为m的均质柔软莲条，长为的均质柔软莲条，长为L，上端悬挂，上端悬挂，下端恰好与地面接触，当软链自由下落时，下端恰好与地面接触，当软链自由下落时，求求：落在地面上的长度为落在地面上的长度为 时对地面的作用力时对地面的作用力)(Lll 末态静压力末态静压力解解：链条质量线密度链条质量线密度Lm glLmN 1落地落地 长时，未落地部分继续长时，未落地部分继续向下运动，且向下运动，且lglv2 在在dt内，有内，有 继续落地，继续落地，其质量为：其质量为：vdtdl vdtLmdldm LLll触地前动量为：触地前动量为：)(2向下向下dtvLmvdm 在在dt内受地面冲量作用而动量变为零，设地在面内受地面冲量作用而动量变为零，设地在面作用于作用于dm的平均冲力为的平均冲力为N2 （向上）（向上）dtvLmdtN220 glLmN22 总作用力：总作用力：（本题可用变质量物体运动方程的微分形式求解）（本题可用变质量物体运动方程的微分形式求解）地面受平均冲力地面受平均冲力 （等大反向、向下）（等大反向、向下）22NN glLmglLmglLmNNF3221 冲量冲量 是矢量，其大小和方向由微分冲量是矢量，其大小和方向由微分冲量 的的矢量决定，是矢量决定，是过程量过程量，而，而 是是状