势能机械能转换及守恒定律

1、2.4.1 保守力及保守力的功保守力及保守力的功2.4 势能势能 机械能转化及守恒定律机械能转化及守恒定律2.4.2 势能势能2.4.3 功能原理功能原理2.4.5 能量转化和能量守恒定律能量转化和能量守恒定律2.4.4 机械能转化和机械能守恒定机械能转化和机械能守恒定律律2.4.6 例题分析例题分析1. 万有引力的功万有引力的功rMmFl d drrrMmGF3 21rrl dFW引引 213rrl drrMmG 21cos2rrdlrMmG 2. 重力的功重力的功 212rrdrrMmG 12rMmGrMmGW引引所所以以xoy1y2yrd GmgmG 21yyrdGW重重 21yyrdg

2、m 21cosyydrmg 21yymgdy)(12mgymgyW 重重所以所以3. 弹性力的功弹性力的功xoFikxF 21xxidxFW弹弹 21222121kxkxW弹弹所以所以 21xxidxikx 把保守力存在的空间称为把保守力存在的空间称为保守力场保守力场；保；保守力和非保守力属于系统守力和非保守力属于系统（质点组质点组）的内力的内力. . 根据做功的特点我们可以把保守力与非根据做功的特点我们可以把保守力与非保守力定义为：保守力定义为： 若某种力做功仅与起末位置有关而与路若某种力做功仅与起末位置有关而与路径无关，则这种力称为径无关，则这种力称为保守力保守力； 若某种力做功不仅与起末

3、位置有关而且若某种力做功不仅与起末位置有关而且还与路径有关，则这种力称为还与路径有关，则这种力称为非保守力非保守力. . 功是能量改变的量度，把保守力做功所功是能量改变的量度，把保守力做功所改变的能量称之为改变的能量称之为势能势能（这种能量仅与位置这种能量仅与位置有关，所以也称有关，所以也称位能位能）. . rMmGEp 引引力力ymgEp 重重力力221kxEp 弹弹力力pppEEEW )(12保保守守内内力力势能是一相对量势能是一相对量. . 对于万有引力势能，通常取无穷远处作为对于万有引力势能，通常取无穷远处作为零势能点，即零势能点，即0)( rpE引引力力 对于重力势能，通常取地面作为

4、零势能对于重力势能，通常取地面作为零势能点，即点，即0)0( ypE重重力力 对于弹性势能，通常取弹簧无形变处作为对于弹性势能，通常取弹簧无形变处作为零势能点，即零势能点，即0)0( xpE弹弹力力 pkMpkMEEEEEE非保守内力非保守内力保守内力保守内力内力内力WWW kEWWW 非非保保守守内内力力保保守守内内力力外外力力kpEWEW 非非保保守守内内力力外外力力 )()(00pkpkMpkEEEEWWEEEWW非非保保守守内内力力外外力力非非保保守守内内力力外外力力或或者者 0000pkpkMMEEEEEEWW或或则则若若非非保保守守内内力力外外力力,1 NikikEE其其中中.1

5、NipipEE 若外力和非保守内力均不做功，或质点组若外力和非保守内力均不做功，或质点组在只有保守内力做功的条件下，质点组内部的在只有保守内力做功的条件下，质点组内部的机械能相互转化，但总的机械能守恒机械能相互转化，但总的机械能守恒. . 这就是这就是机械能转化和机械能守恒定律机械能转化和机械能守恒定律. . 能量既不能消灭，也不能产生；它只能从能量既不能消灭，也不能产生；它只能从一个物体传递给另一个物体，或物体的一部分一个物体传递给另一个物体，或物体的一部分传递给另一部分，由一种形式转化为另一种形传递给另一部分，由一种形式转化为另一种形式式. . 这称之为能量转化和能量守恒定律这称之为能量转

6、化和能量守恒定律. . （2）如果如果 和和 交换位置，结果如何？交换位置，结果如何？1m2m（1）对上面的木板必须施加多大的正压力对上面的木板必须施加多大的正压力 ，以便在力以便在力 突然撤去而上面的木板跳起来时，突然撤去而上面的木板跳起来时，恰好使下面的木板提离地面？恰好使下面的木板提离地面？FF 1.如图所示，用一弹簧把质量分别为如图所示，用一弹簧把质量分别为 和和 的两块木板连接在一起，放在地面上，弹的两块木板连接在一起，放在地面上，弹簧的质量可忽略不计，且簧的质量可忽略不计，且 . . 问：问：12mm 1m2m1m2m1m2m1m2mF2x 1x 0 重重pE0 弹弹pE 解解 设

7、弹簧的弹性系数为设弹簧的弹性系数为k , ,上面的木板上面的木板处于最低状态时的位置为重力势能零点，弹处于最低状态时的位置为重力势能零点，弹簧处于自然长度时的位置为弹性势能零点簧处于自然长度时的位置为弹性势能零点 , , 如图所示如图所示. . 则则 上跳使弹簧必须伸长上跳使弹簧必须伸长 ，才能使下面的木板恰能提起，才能使下面的木板恰能提起， 1mkgmx21 正压力正压力 压上压上面的木板时，弹簧压缩量面的木板时，弹簧压缩量 ，突然撤去外力突然撤去外力 后，上面的木板由这一位置从后，上面的木板由这一位置从静止开始向上运动，因为系统静止开始向上运动，因为系统（两块木板、弹两块木板、弹簧、地球簧

8、、地球）只有重力、弹性力做功，所以系统只有重力、弹性力做功，所以系统遵守机械能守恒定律遵守机械能守恒定律. . F kgmFx12 F 若上面的木板运动到最高点时，弹簧恰若上面的木板运动到最高点时，弹簧恰能伸长能伸长 ，则以上各量必须满足，则以上各量必须满足 1x 21121222121xxgmxkxk 把把 和和 代入上式，化简可得代入上式，化简可得 1x 2x 2212gmgmF gmmF21 所所以以因为因为 不是压力，故舍去不是压力，故舍去. . gmmF21 所得结果具有对称性，因此所得结果具有对称性，因此 和和 交换交换位置结果是不会改变的位置结果是不会改变的. . 1m2m 2.

9、如图所示，质量为如图所示，质量为m 的物块从离平板的物块从离平板高为高为h 的位置下落，落在质量为的位置下落，落在质量为m 的平板上的平板上. . 已知轻质弹簧的弹性系数为已知轻质弹簧的弹性系数为k ，物块与平板，物块与平板的碰撞为完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的的碰撞为完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量最大压缩量. . 解解 该问题可分解为三个过程加以处理，该问题可分解为三个过程加以处理，即物块下落的过程、物快与平板碰撞的过程、即物块下落的过程、物快与平板碰撞的过程、物块与平板碰撞后弹簧继续被压缩的过程物块与平板碰撞后弹簧继续被压缩的过程. . 在物块下落的过程中，物块是自由下落，在物块

10、下落的过程中，物块是自由下落，所以到达物块与平板碰撞前，物块的速度为所以到达物块与平板碰撞前，物块的速度为 gh21 vh1x2x 在物块与平板碰撞过程中，由于碰撞过在物块与平板碰撞过程中，由于碰撞过程时间极为短促，此时重力、弹性力比碰撞程时间极为短促，此时重力、弹性力比碰撞时相互作用的冲力小得多，可以忽略不计，时相互作用的冲力小得多，可以忽略不计，若碰撞后物块和平板共同前进的速度为若碰撞后物块和平板共同前进的速度为 ，则由动量守恒定律可得则由动量守恒定律可得 2v21)(vvmmm 在碰撞后弹簧继续压缩的过程中，取物在碰撞后弹簧继续压缩的过程中，取物块、平板、弹簧和地球构成的质点组为研究块、

11、平板、弹簧和地球构成的质点组为研究对象，由于质点组仅有保守力对象，由于质点组仅有保守力（重力、弹性重力、弹性力力）做功，所以由机械能守恒定律得做功，所以由机械能守恒定律得 pkMEEE 由于弹簧处于最大压缩时，物块和平板由于弹簧处于最大压缩时，物块和平板的速度等于零，所以达到最大压缩时质点组的速度等于零，所以达到最大压缩时质点组的动能变化为的动能变化为 22)(210vmmEk 质点组的势能变化为质点组的势能变化为21222121)()(21kxgxmmxxkEp 021)()(21)(2121222122 kxgxmmxxkmmv所所以以1kxmg 又又因因为为联立以上各式，并整理可得联立以

12、上各式，并整理可得 02222 kmghxkmgxhkmgkmgkmgx 22解解之之可可得得 因为要求因为要求 ，所以舍去负根，则碰，所以舍去负根，则碰撞后弹簧的最大压缩量为撞后弹簧的最大压缩量为 02 xhkmgkmgkmgxxx 221max2 3.如图是打桩的示意图如图是打桩的示意图. . 设锤和桩的质量设锤和桩的质量分别为分别为 和和 ，锤的下落高度为，锤的下落高度为h ，假定地基，假定地基的阻力恒定不变，落锤一次的阻力恒定不变，落锤一次, ,木桩打进土中的木桩打进土中的深度为深度为d ，求地基的阻力，求地基的阻力f 等于多大？等于多大？ 1m2m1m2mhd 解解 以锤为研究对象，

13、锤以锤为研究对象，锤打击桩前做自由落体运动打击桩前做自由落体运动, ,则则 gh21 v 以锤和桩为研究对象，则以锤和桩为研究对象，则锤与桩构成的质点组动量守恒锤与桩构成的质点组动量守恒. . 设锤打击桩后不回跳，锤和桩设锤打击桩后不回跳，锤和桩以共同的速度以共同的速度v 进入土中，则进入土中，则 vv)(2111mmm 以锤、桩和地球构成的质点组为研究对以锤、桩和地球构成的质点组为研究对象由功能原理可得象由功能原理可得 22121)(21)(vmmgdmmfd 联立以上各式，并求解可得联立以上各式，并求解可得dmmghmgmmf)()(212121 4. 一质量为一质量为m = =3500k

14、g 铝制人造地球卫铝制人造地球卫星绕地球做圆周运动星绕地球做圆周运动, ,轨道高度为轨道高度为h = =100km，关闭发动机后，由于空气阻力，它将逐渐减速，关闭发动机后，由于空气阻力，它将逐渐减速，最后撞回到地面最后撞回到地面. . （1）求卫星在正常轨道上的总能量和落求卫星在正常轨道上的总能量和落回到地面后的总能量回到地面后的总能量. . （2）如果卫星落地后减少的能量全部以如果卫星落地后减少的能量全部以热量的形式被卫星所吸收，它能被全部熔化热量的形式被卫星所吸收，它能被全部熔化吗？它能被全部蒸发吗？吗？它能被全部蒸发吗？ 已知铝的熔解热是已知铝的熔解热是 ，铝的蒸发热为铝的蒸发热为 15

15、kgJ1098. 3 C.kgJ1005. 117 C 解解（1）卫星做圆周运动时，地球对卫卫星做圆周运动时，地球对卫星的引力提供卫星做圆运动的向心力，则星的引力提供卫星做圆运动的向心力，则eeeRhmRhmMG 22)(v 因此卫星做圆周运动时的总能量为因此卫星做圆周运动时的总能量为 eepkMRhmMGmEEE 221veeeeRhmMGRhmMG )(2)(2eeRhmMG J101 . 111 卫星落回到地面卫星落回到地面（v = 0，h = 0）时的总时的总能量为能量为 eeMRmMGE J102 . 211 （2）卫星由轨道上落回到地面后，能量卫星由轨道上落回到地面后，能量的减少为

16、的减少为 MMMEEE J101 . 111 卫星全部熔化所需要的热量为卫星全部熔化所需要的热量为 EJ104 . 19 mCQ 如果卫星落地后减少的能量全部以热量如果卫星落地后减少的能量全部以热量的形式被卫星所吸收，则卫星将被全部熔化的形式被卫星所吸收，则卫星将被全部熔化. .卫星全部被蒸发所需要的热量为卫星全部被蒸发所需要的热量为 QCmQ M10EJ107 . 3 5.如图所示如图所示, ,劲度系数为劲度系数为k 的轻弹簧水平的轻弹簧水平放置放置, ,一端固定一端固定, ,另一端系有一质量为另一端系有一质量为m 的物的物体，物体与水平面间的摩擦系数为体，物体与水平面间的摩擦系数为 . . 开始开始时弹簧没有伸长，现以恒力时弹簧没有伸长，现以恒力F 将物体自平衡将物体自平衡位置开始向右拉动，试求系统的最大势能位置开始向右拉动，试求系统的最大势能