第三章扭转(1)

1、第三章第三章 扭转扭转torsion扭转变形扭转变形受力特点：受力特点：承受的外力或承受的外力或其合力均是绕其合力均是绕轴线转动的外轴线转动的外力偶力偶 变形特点：变形特点： 杆件相邻两横杆件相邻两横截面绕轴线要截面绕轴线要发生相对转动发生相对转动 发生扭转变形的杆件称为发生扭转变形的杆件称为轴轴 3 3 1 1 扭 转 概 念扭 转 概 念3mmlBBj j 扭转角：任意两截面绕轴线转动而发生的扭转角：任意两截面绕轴线转动而发生的相对角位移相对角位移。切应变：直角的改变量切应变：直角的改变量- 。4 、 截 面 法 求 扭 矩 、 截 面 法 求 扭 矩 “ T ”3 32 2 扭矩及扭矩图

2、扭矩及扭矩图 、 扭 矩 ： 扭 转 杆 的 内 力 称 为 扭 矩 ， 用 、 扭 矩 ： 扭 转 杆 的 内 力 称 为 扭 矩 ， 用 “ T ” 表 示 。表 示 。xT mmmmTmT 00 xM54、扭矩力图、扭矩力图TT（）的图象（）的图象表示表示mT 扭矩图扭矩图3、扭矩的正负规定、扭矩的正负规定:T的转向与截面外法线之间满足右手螺旋定则为正。反之为负。的转向与截面外法线之间满足右手螺旋定则为正。反之为负。mTmT 06扭矩图的简便计算扭矩图的简便计算 1、自左到右的方向进行；自左到右的方向进行；m21m2、遇到图示外力偶矩，扭矩遇到图示外力偶矩，扭矩 T 的增量为正；的增量为

3、正；3、遇到图示外力偶矩，扭矩遇到图示外力偶矩，扭矩T 的增量为负；的增量为负；4、扭矩图上的突变值等于外力偶矩。扭矩图上的突变值等于外力偶矩。7 传动轴的扭转传动轴的扭转 当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t 秒钟内秒钟内所作功所作功等于外力偶之矩等于外力偶之矩Me乘以轮在乘以轮在t 秒钟内的转秒钟内的转角角a a 。8 因此，外力偶因此，外力偶Me每秒钟所作功，即每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为该轮所传递的功率为333106021010minrmNesradmNesradmNekw nMMtMPa 因此，在已知传动轴的转速因此，在已知

4、传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转亦即传动轴上每个轮的转速速)和主动轮或从动轮所传递的功率和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，之后，即可由下式计算即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：作用于每一轮上的外力偶矩：minrkw3minr3kwmNe1055. 926010nPnPM 9 主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。10 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n=300 r/min，转向如图所示。主动，转向如图所示。主动轮轮A输入的功率输

5、入的功率P1= 500 kW，三个从动，三个从动B、C、D轮输出的轮输出的功率分别为：功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试。试作轴的扭矩图。作轴的扭矩图。 例题例题 3-1111. 计算作用在各轮上的外力偶矩计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9 .15mN 109 .15mN)3005001055. 9(331 MmkN78. 4mN1078. 4mN)3001501055. 9(3332 MMmkN37. 6mN1037. 6mN)3002001055. 9(334 M 主动轮上主动轮上M1的转向和轴的转向相同，从动轮上的的转向和轴的转向相同，从动轮

6、上的M2、M3、M4的转向和轴的转向相反。的转向和轴的转向相反。例题例题 3-1122. 计算各段的扭矩计算各段的扭矩BC段内：段内：mkN78. 421 MTAD段内：段内：mkN37. 643 MTCA段内：段内：mkN9.56322 MMT( (负负) )注意这个扭矩是为负的注意这个扭矩是为负的例题例题 3-1133. 作扭矩图作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在在CA段内，其段内，其值为值为9.56 kNm。 例题例题 3-114一 、一 、 薄 壁 圆 筒 的 扭 转薄 壁 圆 筒 的 扭 转 应 力应 力 3 3 2 2 扭 矩 的 应

7、力扭 矩 的 应 力15 . 薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律表面变形情况：表面变形情况：(1) 圆周线只是绕圆筒轴线转动圆周线只是绕圆筒轴线转动,形状及尺寸不变；形状及尺寸不变；(2) 纵向直线在小变形情况下保持为直线纵向直线在小变形情况下保持为直线,但发生倾斜但发生倾斜;(3)圆周线之间的距离保持不变。圆周线之间的距离保持不变。16推论：推论：(1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如 同刚性平面一样；同刚性平面一样；(2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的相邻横截面只是绕圆

8、筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。距离未变。17引进，上式亦可写作引进，上式亦可写作200rA . 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：由由 根据应力分布可知根据应力分布可知TrAA d 02AT 200002)2(drTrrTArTA ，于是有，于是有 ATArd0 18. 剪切胡克定律剪切胡克定律(Hookes law in shear)(1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了 ，这种直，这种直角改变量称为切应变角改变量称为切应变(shearing strain)。(2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转

9、动了该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j j角，这种角，这种角位移称为相对扭转角。角位移称为相对扭转角。(3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 不不沿壁厚变化的，故有沿壁厚变化的，故有 =j j r0/l，此处，此处r0为薄壁圆筒的平均半为薄壁圆筒的平均半径。径。19 薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力 不超过不超过材料的剪切比例极限材料的剪切比例极限 p时，外力偶矩时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩数值上等于扭矩T )与相对扭转角与相对扭转角j j 成线性正比例关系，从而可知成线性正

10、比例关系，从而可知 与与 亦成线亦成线性关系：性关系： G 这就是材料的这就是材料的剪切胡克定律剪切胡克定律，式中的比例系数，式中的比例系数G称为称为材料的材料的切变模量切变模量(shear modulus)。 钢材的切变模量的约值为：钢材的切变模量的约值为：G =80GPa201. 表面变形情况：表面变形情况：(a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b) 纵向线倾斜了一个角度纵向线倾斜了一个角度 。平面假设平面假设等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆等直

11、圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。(1) 几何方面几何方面二 、 等 直二 、 等 直 圆 筒 的 扭 转圆 筒 的 扭 转 应 力应 力212. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律 xEGGGddtanj j 即即xddj j bbTTO1O2dj GGDDaadxAEEAO1Ddj DGGO2d/2dx22xddj j 式中式中 相对扭转角相对扭转角j j 沿杆长

12、的变化率，常用沿杆长的变化率，常用j j 来来表示，对于给定的横截面为常表示，对于给定的横截面为常量。量。xddj j 可见，在横截面的同一半径可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应变的圆周上各点处的切应变 均相同；均相同； 与与 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。成正比，且发生在与半径垂直的平面内。bbTTO1O2dj GGDDaadxAE23xGGddj j (2) 物理方面物理方面由剪切胡克定律由剪切胡克定律 = G 知知 可见，在横截面的同一半径可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切的圆周上各点处的切应力应力 均相同，其值均相同，其值 与与 成正比，其方向垂直于半径。成正比，其方向垂直于半径。24ppITGITG 其中其中 称为横截面的称为横截面的极惯性矩极惯性矩Ip(单位单位:m4)，它是横截面的几何性质。，它是横截面的几何性质。 AAd2 (3) 静力学方面静力学方面 dTAA 从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式处切应力计算公式pddGITx j j以以 代入上式得：代入上式得： AAId2p TAxGA ddd 2 j j即即25pppmaxWTrITITr pIT 式中式中Wp称为称为扭转截面系数扭转截面系数，其单，其单位为位为