第三章模糊关系与聚类分析

1、13. F F关系与聚类分析关系与聚类分析 3.1 F3.1 F关系的定义和性质关系的定义和性质 3.2 F 3.2 F矩阵矩阵 3.3 F3.3 F关系的自反性与对称性关系的自反性与对称性 3.4 3.4 截集截集 3.5 F3.5 F关系合成关系合成 23. F F关系与聚类分析关系与聚类分析 3.6 F3.6 F关系的传递性关系的传递性 3.7 F 3.7 F等价关系及聚类图等价关系及聚类图 3.8 F3.8 F相似关系相似关系 3.9 F3.9 F聚类分析聚类分析 3三、三、 模糊关系合成运算性质：模糊关系合成运算性质：(1) 合成运算满足结合律合成运算满足结合律 ( Q R ) S

2、= Q ( R S ) ， 特别地特别地 Rm Rn = Rm+n 。 (2) 合成运算关于并合成运算关于并 “ ” 满足分配律满足分配律 ( Q R ) S = ( Q S ) ( R S ) , (1) S ( Q R ) = ( S Q ) ( S R )。 (2)4证明证明 只证只证(1)。设。设 Q，RF (UV), SF (VW),故有故有 ( Q R ) S = ( Q S ) ( R S )。 u,v Vv Vv Vv Vv VQ RSwQ R u vS v wQ u vR u vS v wQ u vS v wR u vS v wQ u vS v wR u vS v wQ S

3、u wR S u wQ SR Su w 5第二式证明相似。第二式证明相似。应注意的是，应注意的是，1) 合成运算不满足交换律合成运算不满足交换律，即即 Q R R Q。如设如设则则因此，因此， Q R R Q。,0110,1001RQ,1100,0011QRRQ62) 合成运算对交合成运算对交“”不满足分配律不满足分配律，即有下列二式：，即有下列二式：( Q R ) S ( Q S ) ( R S ) , S ( Q R ) ( S Q ) ( S R )。 ( Q R ) S ( Q S ) ( R S ) , S ( Q R ) ( S Q ) ( S R )。 例如：则则 ,1111,1

4、110,0101SRQ,110011110100SRQ7因此因此 ( Q R ) S ( Q S ) ( R S )。 同样可以举出反例来说明第二个式子。同样可以举出反例来说明第二个式子。 R = R = , ( UV ) R = R (UV ) = R 。 (4) 若若 Q R，则则 Q S R S ， P Q P R , Q n R n ,111111111111SRSQ8定义定义 9 : 设设 RF ( UV ) ，定义定义 R-1F ( V U ) 的的隶属函数为隶属函数为R-1( v，u) = R( u，v) ( ( v，u)V U),称称 V V 到到 U U 的模糊关系的模糊关系

5、 RT 为为 R 的的转置关系转置关系。命题命题 4 : :转置转置关系有下述性质：关系有下述性质： 设设 R，R1，R2 F ( UV)， Rt | tT F ( UV), S F ( VW ) ,则则(1) 若若 R1 R2 R1T R2T 。(2) ( RT )T = R。9推论推论(1) 设设 R F ( U U )，则则 ( Rn )T = ( R T )n 。(2) 设设 R，QF (U U ) 且且 R Q, 则则 R n Q n ( n 为正正整数整数)。 121212123,().4,().5.TTTTTttt Tt TTTTTttt Tt TTTTTRRRRRRRRRRRR

6、RSSRUUUUIIIIoo10 3.6 F F等价关系等价关系定义定义 10 : 设设 R F ( U U )(1) 称称 R 是是自反的自反的 uU，R(u, u) =1 。(2) 称称 R 是是对称的对称的 u, v X ， R(u, v)= R(v, u) 。(3) 若若 R 是是 U 上的自反、对称关系，则称上的自反、对称关系，则称 R 是是 U 上的模糊相似关系，简称上的模糊相似关系，简称相似关系相似关系。11命题命题 5 设设 R F ( U U ) ，则则(1) R 是自反的是自反的 I R。(2) R 是自反的是自反的 Rn Rn+1( n 1) 且且 Rn 也是自反的。也是

7、自反的。证明证明(1) 显然。显然。1,u,0,uvIvuv12(2) 用归纳法证明包含式用归纳法证明包含式 Rn Rn+1。(u, v) UU, 有有故故 R R2。设设 Rn-1 Rn，由由（7）式式可得可得Rn-1 R Rn R ,即即 Rn Rn+1 。 因因 I R Rn ( n 1)，由由(1)知知 Rn 是自反的。是自反的。2u,t URvR u tR t vR u uR u vR u v 13命题命题 6 设设 R，R1，R2 F ( U U )，则有则有(1) R 是对称的是对称的 R = RT 。(2) 若若 R1、R2 都是对称的，则都是对称的，则 R1 R2 对称对称

8、R1 R2 = R2 R1 ( 即即 R1、R2 是可以交换的是可以交换的）。(3) R 是对称的是对称的 Rn 是对称的是对称的 ( n 1)。证明证明 (1) 由对称关系的定义可得。由对称关系的定义可得。14 (2) 先证先证()：若若 R1 R2 是对称的，因是对称的，因 R1、R2 也对也对称，故称，故R1 R2 = (R1 R2)-1 = R2-1 R1-1= R2 R1 。 再证再证()：若若 R1 R2 = R2 R1 ，则则 (R1 R2)-1 = R2-1 R1-1 = R2 R1= R1 R2 由由 (1) 知知， R1 R2 是对称的。是对称的。 (3) 若若 R 对称，

9、则有对称，则有( Rn )-1 = ( R-1 )n = Rn 。由由 (1) 知知， Rn 是对称的。是对称的。15推论推论 (1) 若若 R 是是 U上的相似关系，则上的相似关系，则 Rn 也是也是 U上的上的相似关系。相似关系。 (2) 设设 RF ( UU) 是任一模糊关系，则是任一模糊关系，则 R RT 是是 U上的对称关系。上的对称关系。证明证明 因因 (R RT)T = ( RT )T RT = R RT，由命题由命题 (1) 知知， R RT 是对称的。是对称的。16定义定义 11 设设 R F ( U U )， R 为为传递的传递的 0，1，u，v，w U， R (u, v)

10、 ，R(v, w) ，则则 R (u, w) 。命题命题 7 设设 R，R1，R2 F ( U U )，则则(1) R 是传递的是传递的 R2 R。(2) 若若 R 是传递的是传递的 Rn 是传递的是传递的( n 1)。(3) R1、R2 是传递的是传递的 R1 R2 是传递的。是传递的。17证明证明(1) 先证先证()：设设 u，vU，tU，令令t = R(u, t) R(t, v) ，则则 R(u，t) t ，R(t，v) t 。由于由于 R 是传递的是传递的, 故故R(u, v)t (tU)，于是于是2u,tt Ut URvR u tR t vR u v 18由由 u，v 的任意性知的任

11、意性知 R2 R 再证再证()：若若 R2 R 且且 R(u，v) ，R(v，w) 于是于是由定义由定义 11 知知 R 是传递的。是传递的。2u,v URwRu wR u vR v wR u vR v w 19(2) 若若 R 是传递的，则是传递的，则由由 (1) 有有 R2 R ，进一步由进一步由(7) 右边一式得右边一式得(R2)n Rn 又由又由 (Rn)2 = (R2)n ，联合上面两式，得联合上面两式，得 (Rn)2 = (R2)n Rn，最后由最后由 (1) 知知 Rn 是传递的。是传递的。20(3) 我们可以用我们可以用 两 式证明式证明( Q R ) S ( Q S ) (

12、R S ) , S ( Q R ) ( S Q ) ( S R )。应用上面两式，得应用上面两式，得(R1 R2 )2 = (R1 R2 ) (R1 R2 ) ( R1 (R1 R2) ) ( R2 (R1 R2) ) (R1 R1) (R1 R2) (R2 R1) (R2 R2) 21 R12 R22 。 因为，因为，R1、R2 是传递的，即是传递的，即 R12 R1、R22 R2，则有则有 (R1 R2 )2 R1 R2 ，所以，所以，R1 R2 是传递的。是传递的。22 模糊传递闭包和等价闭包模糊传递闭包和等价闭包 通常的模糊关系，不一定具有传递性，因而不通常的模糊关系，不一定具有传递性

13、，因而不是模糊等价关系。对这种模糊关系直接进行分类显是模糊等价关系。对这种模糊关系直接进行分类显然是不合理的。为此，我们希望寻求一种方法，能然是不合理的。为此，我们希望寻求一种方法，能将不是等价的模糊关系进行改造，以便分类使用。将不是等价的模糊关系进行改造，以便分类使用。23 定义定义 13 设设 RF ( U U )，称称 t(R) 为为 R 的的传递传递闭包闭包，如果，如果 t(R) 满足满足:(1) 传递性：传递性：(t(R)2 t(R) ；(2) 包容性：包容性：R t(R) ；(3) 最小性：若最小性：若 R是是 U 上的模糊传递关系，且上的模糊传递关系，且 R R t(R) R，即

14、即 R 的传递闭包是包含的传递闭包是包含 R 的最小的传递关系。的最小的传递关系。24定理定理 2 : 设设 RF ( U U )，则则证明：证明：(1) 首先证明首先证明 是传递的，即要证明是传递的，即要证明1.nnt RR1nnR.121nnnnRR25由传递性定义知由传递性定义知， 是传递的。是传递的。1nnR.)2()(11211111111 nnkkkknmmnnmmnnmmnmmnnRRRkkmnRRRRRRR起须从，则令26(2) 显然有显然有(3) 若有若有 R 使使 R R且且 R是传递的，则由是传递的，则由 R R 有有 R2 (R)2 R, R3 = R R2 R R (

15、R)2 R, 一般有一般有 Rn R,从而从而。1nnRR,1RRnn27即即 含于任一包含含于任一包含 R 的传递关系中。的传递关系中。 综上所述，综上所述， 是包含是包含 R 的最小传递关系，因的最小传递关系，因而是而是 R 的传递闭包，即的传递闭包，即1nnR。1)(nnRRt1nnR28 在论域为有限集的情况下，传递闭包的计算变在论域为有限集的情况下，传递闭包的计算变得很简捷。得很简捷。命题命题 8 设设 | U| = n，RF ( U U ) ，则则 证明略。证明略。1.nmmtRR29推论推论 设设 | U | = n， RF ( U U ) ，且且 R 是是自反关自反关系系，则存

16、在，则存在正整数正整数 m ( n ) ，使使 t(R) = Rm，且且 l m 有有 Rl = t(R) 。证明证明 因为因为 | U| = n，所以所以又因为又因为 R 是自反的，由命题是自反的，由命题 (2) 知知R R2 R3 , .1nkkRRt30因而因而 在做上述合成运算时，若做到在做上述合成运算时，若做到 m ( n ) 次时，出次时，出现了现了 Rm+1 = Rm，则有则有 Rm+2 = Rm，进而，进而，t(R) = Rm。这时，若我们取这时，若我们取正整数正整数 l m，则有则有 .1nnkkRRRt .1RtRRRRtkklm31即有即有Rl = t(R) 。 上述推论

17、说明，在计算有限论域上自反的模糊上述推论说明，在计算有限论域上自反的模糊关系关系 R 的传递闭包时，可以从的传递闭包时，可以从 R 开始，反复自乘，开始，反复自乘，依次计算出依次计算出 R， R2，R4， ，当第一次，当第一次出现出现 RkRk = Rk 时，就有时，就有 t(R) = Rk 。iR232命题命题 9 模糊关系的传递闭包模糊关系的传递闭包 t(R) 有以下性质：有以下性质：(1) 若若 I R，则则 I t(R) 。(2) ( t(R) )T = t(R T ) 。(3) 若若 R T = R，则则 ( t(R) )T = t(R) 。证明证明 (1) 由定理由定理 2 可得。

18、可得。 (2) 由定理由定理 2 、命题命题 4 (3) 及推论及推论 (1)，有有 33 111()()()().Tn Tn TTnTnnnt RRRRt RUUU (3) 由由 (2) 即得。即得。上述命题中的上述命题中的(1) 说明说明自反关系的传递闭包还是自反的自反关系的传递闭包还是自反的， (3) 表明表明对称关系的传递闭包还是对称的对称关系的传递闭包还是对称的。34定义定义 14: 设设 RF ( U U )，称称 e(R) 为为 R 的的等价等价闭包闭包，若，若 e(R) 满足下述条件：满足下述条件：(1) 等价性：等价性：e(R) 是是 X 上的模糊等价关系。上的模糊等价关系。

19、(2) 包容性：包容性：R e(R)。(3) 最小性：若最小性：若 R 是是 X 上的模糊等价关系，且上的模糊等价关系，且 R R e(R) R 。 显然，显然，R 的等价闭包是包含的等价闭包是包含 R 的最小的等价关系。的最小的等价关系。35例例 8 给定有限论域上的模糊关系给定有限论域上的模糊关系 R 如下：如下：则则由于模糊矩阵由于模糊矩阵 R2 的元素不超过的元素不超过 R 对应位置上的元素对应位置上的元素1 . 0111 . 003 . 01003 . 06 . 004 . 04 . 012 . 0R1 . 03 . 001 . 003 . 06 . 0003 . 06 . 002

20、. 04 . 06 . 02 . 02R36因而模糊关系因而模糊关系 R2 R，故故 R 是传递的。是传递的。命题命题: 设设 R 是是 U 上的一个上的一个自反的和自反的和传递的模糊关系，传递的模糊关系，则有则有R = R2 。证明证明 因为因为 R 是是自反的，则有，自反的，则有，R R2。又因为又因为 R 是传递的，则是传递的，则 有，有，R2 R，故有故有 R = R2 。37定义定义 12 设设 RF ( U U )，若若 R 满足下列三个条件，满足下列三个条件，则称则称 R 是是 U上的一个上的一个模糊等价关系模糊等价关系：(1) 自反性：自反性： u U，R(u，u) =1 。(

21、2) 对称性：对称性： u，v U，R(u，v)= R(v，u)。(3) 传递性：传递性： R2 R，即即 u，w U U，有有2V,.vRu wR u vR v wR u w 38 若若 U = u1, u2, , un 为有限论域时，为有限论域时，U上的模上的模糊等价关糊等价关系系 R 是一个矩阵是一个矩阵（称为称为模糊等价矩阵模糊等价矩阵），它满足下述三个条件：它满足下述三个条件：(1) 自反性：自反性：rii=1, i =1, 2, , n。(2) 对称性：对称性：rij= rji， i，j =1, 2, , n。(3) 传递性：传递性： R R R，即即 21,1, 2, .niji

22、kkjijkrrrri jn L39 条件条件 (1) 说明模糊矩阵的对角线元素都是说明模糊矩阵的对角线元素都是 1 ； 条件条件 (2) 意味着模糊等价矩阵是对称矩阵。意味着模糊等价矩阵是对称矩阵。40定理定理 3: 设设 R F ( U U )，则则 R 是模糊等价关系是模糊等价关系 0，1， R 是经典等价关系是经典等价关系，这里这里 R = (u, v) U U | R (u, v) 为为 R 的的 截关系。且对于截关系。且对于 ， 0，1， ，有等价类，有等价类 R u R u ( u U )。 证明略。证明略。41 本定理说明，若本定理说明，若 R 是是 U U 上的模糊等价关系，

23、则其上的模糊等价关系，则其 截关系是经典等价关系，它们都可将截关系是经典等价关系，它们都可将 U U 作一个划分，当作一个划分，当 从从 1 下降到下降到 0 时，就得到一个划分族，而且由于时，就得到一个划分族，而且由于 时，时， R u R u ，即即 R 给出的分类结果中给出的分类结果中的每类，是的每类，是 R 给出的分类结果的子类，所以给出的分类结果的子类，所以 R 给出给出的分类结的分类结果比果比 R 给出的分类结果更细。随着给出的分类结果更细。随着的下降，的下降， R 给出的分类越来越粗，这样就得到一个给出的分类越来越粗，这样就得到一个动态的聚类图动态的聚类图，我们可以根据实际情况的

24、需要，选择某个水平上的分类结我们可以根据实际情况的需要，选择某个水平上的分类结果 。 这 是 模 糊 聚 类 分 析 的 一 大 优 越 性果 。 这 是 模 糊 聚 类 分 析 的 一 大 优 越 性42例例 : 设设 U= x1，x2，x3，x4，x5，R 是是 U上的一个上的一个模糊关系，其对应的模糊模糊关系，其对应的模糊矩阵为矩阵为 在上面的矩阵中，对角线元素为在上面的矩阵中，对角线元素为 1，即，即 rii=1，所以所以 R 是自反的。又因是自反的。又因 R 与其转置矩阵相同，故与其转置矩阵相同，故16 . 05 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05

25、 . 05 . 014 . 08 . 04 . 04 . 04 . 014 . 05 . 05 . 08 . 04 . 01R3.7 F动态聚类图43rij= rji，R = R-1，即即 R 是对称的。由于是对称的。由于即即 RR= R2 R，R是传递的，是传递的，故故R是模糊等价关系。是模糊等价关系。RR16 .05 .04 .05 .06 .015 .04 .05 .05 .05 .014 .08 .04 .04 .04 .014 .05 .05 .08 .04 .0116 .05 .04 .05 .06 .015 .04 .05 .05 .05 .014 .08 .04 .04 .04

26、 .014 .05 .05 .08 .04 .0116 .05 .04 .05 .06 .015 .04 .05 .05 .05 .014 .08 .04 .04 .04 .014 .05 .05 .08 .04 .01244 依次取依次取 截关系截关系 R ，R 是经典等价关系，它诱导是经典等价关系，它诱导出出 U 上的一个划分上的一个划分 U/ R ，将将 U 分成一些等价类。分成一些等价类。当当 =1 时，时，R1 诱导的分类为五类：诱导的分类为五类：x1, x2, x3, x4, x5。10000010000010000010000011R45当当 = 0.8 时，时，R0.8 诱导的

27、分类为四类：诱导的分类为四类：x1，x3, x2, x4, x5。10000010000010100010001018 . 0R46当当 = 0.6 时，时，R0.6 诱导的分类为三类：诱导的分类为三类：x1, x3, x2, x4, x5。11000110000010100010001016 . 0R47当当 = 0.5 时，时，R0.5 诱导的分类为两类：诱导的分类为两类：x1, x3, x4, x5, x2。11101111011110100010111015 . 0R48最后，当最后，当 = 0.4 时，时，R0.4 将将 X 分成一类：分成一类：x1, x2, x3, x4, x5。

28、11111111111111111111111114 . 0R49 随随 由大到小，分类由细到粗，形成一个动态由大到小，分类由细到粗，形成一个动态的分类图，如图的分类图，如图 所示：所示： x1 x3 x4 x5 x2 =1 0.8 0.6 0.5 0.4 图图 动态聚类图动态聚类图50 教材教材 P75 用归并相似类法给出了同样的分类。用归并相似类法给出了同样的分类。求模糊相似关系的等价类有以下求模糊相似关系的等价类有以下三种三种方法：方法： 等价闭包法等价闭包法 (e(R) 间接法间接法 归并相似类法归并相似类法 最大树法最大树法直接法直接法51 3.9 模糊聚类分析模糊聚类分析 模糊聚类

29、分析在实际问题中有广泛的应用，这模糊聚类分析在实际问题中有广泛的应用，这是由于实际问题中，一组事物是否属于某一类常带是由于实际问题中，一组事物是否属于某一类常带有模糊性，也就是问题的界限不是十分清晰的。我有模糊性，也就是问题的界限不是十分清晰的。我们不能明确地回答们不能明确地回答 “是是” 或或 “否否”， 而是只能作而是只能作出出 “在某种程度上在某种程度上“是是” 或或 “否否” 的回答，这的回答，这就是模糊聚类分析。就是模糊聚类分析。 本节主要讨论基于模糊等价关系的动态聚类的本节主要讨论基于模糊等价关系的动态聚类的实际应用。实际应用。521. 特征抽取特征抽取 假设待分类对象的集合为假设

30、待分类对象的集合为 U= U1, U2, , Un ，集合中的每个元素具有集合中的每个元素具有 m 个特征，设第个特征，设第 i 个对象个对象 Ui 的第的第 j ( j = 1, 2, , m ) 个特征为个特征为 xij，则则 Ui 就可就可以用这以用这 m 个特征的取值来描述，记个特征的取值来描述，记Ui = ( xi1, xi2, , xim) ( i =1，2，n ) 53 为了计算简便，并使特征仅具有相对的意义，为了计算简便，并使特征仅具有相对的意义，我们要首先对特征的观测值进行预先处理，使各特我们要首先对特征的观测值进行预先处理，使各特征值的取值在单位区间征值的取值在单位区间 0

31、, 1 中。中。 设设 Ui 的观测值为的观测值为 Xi 0，Ui0 = ( xi10，xi20，xim0 ) ( i=1, 2, n) 所以用下列各公式对所以用下列各公式对 Ui 0 进行进行 “规格化规格化” 的的预处理预处理。54(1) xij = cxij0 ( i =1, , n； j =1, , m) c 是一个常数，选择是一个常数，选择 c 使任何使任何 xij 在在 0, 1 中。中。(2) xij = cxij0 / max(xij0) ( i =1, , n; j =1, , m) 即选择所有的特征中的最大值作分母。即选择所有的特征中的最大值作分母。(3) 当特征值中出现负

32、值时，则用下式压缩到当特征值中出现负值时，则用下式压缩到 0,1： 0000min1, ;1,maxminijijijijijxxxin jmxx55当特征值不是负值时，当然也可以用上式来当特征值不是负值时，当然也可以用上式来“规格化规格化”式中式中 是全部特征值的均值，分子是特征值与均值的距离。是全部特征值的均值，分子是特征值与均值的距离。用此式用此式 “规格化规格化” 时应注意：只要与均值的距离相时应注意：只要与均值的距离相等，特征值的大小的方向性就被等，特征值的大小的方向性就被“湮灭湮灭”。 00041, ;1,maxminijijijijxxxin jmxx nimjijxmnx110

33、1562. 建立建立 U上的模糊关系上的模糊关系（模糊相似矩阵模糊相似矩阵）设待分类对象的全体是设待分类对象的全体是 U= U1, U2, , Un ，我们首先要鉴别我们首先要鉴别 U中的元素中的元素 Ui 与与 Uj 的接近程度（相的接近程度（相似程度）。用似程度）。用 0, 1 中的数中的数 rij 来表示来表示 Ui 与与 Uj 的的相似程度，称为相似程度，称为相似系数相似系数。相似系数组成一个矩阵。相似系数组成一个矩阵 (rij)nn 称为称为相似系数矩阵相似系数矩阵，它是，它是 U上的模糊相似关系。上的模糊相似关系。我们对此关我们对此关系矩阵求其等价闭包或等价类，就能对系矩阵求其等价

34、闭包或等价类，就能对 U 中的元素进行聚类。中的元素进行聚类。57为了确定相似系数，必须使相似系数符合自反、为了确定相似系数，必须使相似系数符合自反、对称的要求，可根据实际情况选用下列方法之一。对称的要求，可根据实际情况选用下列方法之一。1）数量积法数量积法其中其中11,1,mijikjkiijrx xijMmkjkikjixxM1max582）夹角余弦法夹角余弦法3）相关系数法相关系数法其中其中12211mikjkkijmmikjkkkx xrxx12211,mjkijkjkijmmikiikjkkxxxxrxxxxmkjkjmkikixmxxmx111,1594）指数相似系数法指数相似系数

35、法其中其中 sk 与与 m 为常数。为常数。5）绝对值指数法绝对值指数法211exp,mikjkijkkxxrms1exp,mijikjkkrxx606）绝对值倒数法绝对值倒数法其中其中 M 为适当选择的常数，为适当选择的常数，M 的选择使的选择使 rij0, 1。11 ,ijmikjkkijMrijxx617) 非参数法非参数法令令 是是 xik 与 xjk 的均值的均值），nij+= xi1 xj1, xi2 xj2, , xim xjm 中正数中正数个数，个数，nij= xi1 xj1, xi2 xj2, , xim xjm 中负数个中负数个数，数，jijjkjkiikikxxxxxxx

36、x,(,112ijijijijijnnrnn628）贴近度法贴近度法 贴近度表示两个模糊向量之间接近的程度，它贴近度表示两个模糊向量之间接近的程度，它符合自反、对称的要求，所以可以用来表示相似系符合自反、对称的要求，所以可以用来表示相似系数。我们将数。我们将 U中的元素中的元素 Ui，Uj 看成是各自特征的看成是各自特征的模糊向量，便可以用贴近度来表示相似系数模糊向量，便可以用贴近度来表示相似系数 rij，rij = ( Ui, Uj )63(1) 当当 取内外积贴近度时取内外积贴近度时或或111,1,mmijikjkikjkkkijrxxxxij 111,1,2mmijikjkikjkkki

37、jrxxxxij 64(2) 最大最小法，当最大最小法，当 取取 上式时式时(3) 算术平均最小法，当算术平均最小法，当 取取 前 式时式时11mikjkkijmikjkkxxrxx112mikjkkijmikjkkxxrxx65(4) 几何平均最小法几何平均最小法，当当 取取 前式时前式时(5) 绝对值减数法绝对值减数法，当当 取距离贴近度时取距离贴近度时rij = 1c (dp ( Xi，Xj ) 式中式中 c， 为常数，为常数，p 为各种距离的代码系数。为各种距离的代码系数。11/21mikjkkijmikjkkxxrxx66 当当 p =1 时，时，dp 就是海明距离，此时求相似系数就

38、是海明距离，此时求相似系数的方法称绝对值减数法，其相似系数为的方法称绝对值减数法，其相似系数为 当当 p = 2 时，时， dp 就是欧氏距离，此时有就是欧氏距离，此时有11mijikjkkrcxx 211mijikjkkrcxx 679）经验法经验法请有经验的人来分别对请有经验的人来分别对 Ui 与与 Uj 的相似性打分，的相似性打分，设有设有 s 个人参加评分，若第个人参加评分，若第 k 个人个人 (1 k s) 认为认为 Ui 与与 Uj 相似的程度为相似的程度为 aij(k) （在在 0，1 中中），他对，他对自己评分的自信度也打分，若自信度分值是自己评分的自信度也打分，若自信度分值是

39、 bij(k) ，则可以用下式来计算相似系数则可以用下式来计算相似系数: 11skkijijijkrabs68 在以上确定相似系数的诸多方法中，究竟选用在以上确定相似系数的诸多方法中，究竟选用哪一种合适，需要根据问题的具体性质来决定。哪一种合适，需要根据问题的具体性质来决定。693、例、例举 环境单元分类环境单元分类每个环境单元可以包括空气、水分、土壤、作物每个环境单元可以包括空气、水分、土壤、作物等四个要素。环境单元的污染状况由污染物在四要素等四个要素。环境单元的污染状况由污染物在四要素中含量的超限度来描写。中含量的超限度来描写。假设有五个单元假设有五个单元 x1, x2, x3, x4,

40、x5，它们的污染它们的污染数据如表数据如表 3.13 所示。所示。70 取论域取论域 U = x1, x2, x3, x4, x5，按按 上式上式 “规格规格化化”，取，取 c = 0.1，再按前式求相似系数，再按前式求相似系数（取取 c = 1)， 要素要素 数据数据单元单元空气空气水分水分土壤土壤作物作物x1x2x3x4 x552512535543423525311表13 污染数据污染数据71得到模糊相似矩阵得到模糊相似矩阵 5 510.1 0.80.50.30.110.1 0.20.40.80.110.30.10.50.20.310.60.3 0.40.1 0.61ijRr72 聚类方法

41、聚类方法 可以有三种方法来对模糊相似矩阵聚类。可以有三种方法来对模糊相似矩阵聚类。1）传递闭包法（平方法）传递闭包法（平方法）求出模糊相似矩阵的传递闭包求出模糊相似矩阵的传递闭包 t (R) ，它就是它就是 R 的等价闭包的等价闭包 e (R) = t (R) ，然后求其然后求其 截关系截关系 e(R) 。 它是经典等价关系，让它是经典等价关系，让 从从 1 降至降至 0，当当 变化时，它们给出一个动态的分类结果。变化时，它们给出一个动态的分类结果。 求求 R 的传递闭包的传递闭包 t(R) 时，可以用平方法，即求时，可以用平方法，即求 R2, R4, , Rk，若有若有 Rk Rk = Rk

42、，则则 t(R) = Rk。73经计算可知经计算可知16 . 05 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05 . 05 . 014 . 08 . 04 . 04 . 04 . 014 . 05 . 05 . 08 . 04 . 0148RR74当当 = 1 时，分成五类：时，分成五类：x1, x2 , x3, x4, x5当当 = 0.8 时，分成四类：时，分成四类：x1, x3, x2 , x4, x5当当 = 0.6 时，分成三类：时，分成三类：x1, x3, x2 , x4, x5当当 = 0.5 时，分成二类：时，分成二类：x1, x3 , x4, x5,

43、 x2当当 = 0.4 时，分成一类：时，分成一类： x1, x2, x3, x4, x575其动态分类如下图其动态分类如下图 所示：所示：=1 x1 x3 x4 x5 x2 0.8 0.6 0.5 0.4图图 动态聚类图动态聚类图762）直接聚类法直接聚类法 根据模糊相似矩阵根据模糊相似矩阵 来直接由相似类求等价类。来直接由相似类求等价类。当当 =1 时，该矩阵只有对角线上的元素为时，该矩阵只有对角线上的元素为 1，所以不许归并相似类，所得到的所以不许归并相似类，所得到的 e(R)1 的等价类为的等价类为x1，x2，x3，x4，x5。当当 = 0.8 时，先求经典矩阵时，先求经典矩阵 R0.

44、8，有此求得它有此求得它的相似类是的相似类是77R0.8x1 = x1, x3， R0.8x2 = x2 ，R0.8x4 = x4， R0.8x5 = x5。在归并时，找不到与在归并时，找不到与 x1, x3 相交的其它等价类，于相交的其它等价类，于是是 e(R)0.8 的等价类为：的等价类为： x1, x3, x2 , x4, x5。同样同样 = 0.6 时，相似类为时，相似类为 R0.6x1 = x1, x3, R0.6x2 = x2, R0.6x4 = x4, x5，也无法再进一步归，也无法再进一步归并，于是并，于是 e(R)0.6 的等价类为：的等价类为： x1, x3, x2 , x

45、4, x5。78 当当 =0.5 时，相似类为时，相似类为 R0.5x1 =x1, x3 , x4，R0.5x2 = x2, R0.5x4 = x1, x4, x5，因此可以把相似因此可以把相似类类 R0.5x1 与与 R0.5x4 归并，得归并，得 P1(x1) = R0.5x1 R0.5x4 = x1, x3 , x4, x5，最终得到的最终得到的 e(R)0.5 的等价类为的等价类为x1, x3 , x4, x5, x2。当当 = 0.4 时，得到时，得到 R0.4x2 = x2，x5，于是可，于是可以和以和 P1(x1) 归并，即归并，即 P2(x1) = x1, x2, x3, x4

46、, x5，这就，这就是是 e(R)0.4 的等价类。的等价类。 793）最大树法最大树法（ Kruskal） 在模糊相似矩阵在模糊相似矩阵 中，从中，从 =1 开始逐步做连通图，直到开始逐步做连通图，直到 = 0 时为止，每作一条时为止，每作一条边，就在边上写出边，就在边上写出 rij 之值（连通强度）。之值（连通强度）。注意不要做注意不要做回路。回路。从原则上来说，可以选择任一元素从原则上来说，可以选择任一元素（顶点顶点）作作为起始点，但一般总是选有相似类的元素开始。例如为起始点，但一般总是选有相似类的元素开始。例如在本例中当在本例中当 = 0.8 时，就有相似类时，就有相似类 x1, x3

47、，于是就于是就把把 x1 选为起始顶点，先作出强度为选为起始顶点，先作出强度为800.8 的边，然后再作强度为的边，然后再作强度为 0.6 的边及强度为的边及强度为 0.5 和和 0.4 的边，这样就得到最大树，如下图的边，这样就得到最大树，如下图 所示。所示。 图图 3 最大树最大树x1x4 x5 x2x3 0.80.50.60.481在不同在不同 水平上的分类，就是在最大树中砍去水平上的分类，就是在最大树中砍去那些强度小于那些强度小于 的边，再分类。的边，再分类。例如例如 = 0.8 时，砍时，砍掉最大树右边的各枝，就得到分类：掉最大树右边的各枝，就得到分类： x1, x3, x2 , x

48、4, x5；而在；而在 = 0.6 时，只砍掉强度为时，只砍掉强度为 0.5 和和 0.4 的边，的边，于是得到的分类就是于是得到的分类就是： x1, x3 , x2 , x4, x5 。82*经济区的模糊分类法经济区的模糊分类法在经济学理论研究中，有一种观点认为在经济学理论研究中，有一种观点认为经济结构相似经济结构相似的区域，应该生产或销售相近的产品，的区域，应该生产或销售相近的产品，研究如何给出研究如何给出这些区域的划分问题就称为经济区的分类问题。这些区域的划分问题就称为经济区的分类问题。 下面我们用模糊聚类的方法来讨论这一问题，因下面我们用模糊聚类的方法来讨论这一问题，因此将其称为经济区

49、的模糊分类法。此将其称为经济区的模糊分类法。83例例 一家企业主要生产和销售六类产品，记为一家企业主要生产和销售六类产品，记为C = c1，c2，c3，c4，c5，c6，已知该企业有七个市场，记为已知该企业有七个市场，记为X = x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7。为了便于管理和获得更好的经济效益，该企业对适合为了便于管理和获得更好的经济效益，该企业对适合于不同区域的产品类别这一商业结构进行了研究。于不同区域的产品类别这一商业结构进行了研究。84假设各类产品对不同区域的适应情况可以用假设各类产品对不同区域的适应情况可以用 0 , 1区间中的数值来确定区间中的数值来确定 (估计估计)，这时

50、我们可以对每个这时我们可以对每个区域区域 xi（i =1，2，7）给出一个模糊集给出一个模糊集 xi，如如,13 . 003 . 014 . 06543211ccccccx,4 . 08 . 03 . 09 . 06 . 04 . 06543212ccccccx85,7 . 016 . 002 . 07 . 06543213ccccccx,2 . 001 . 0111 . 06543214ccccccx,11 . 002 . 08 . 03 . 06543215ccccccx,07 . 019 . 009 . 06543216ccccccx86.1 . 06 . 09 . 08 . 00165

51、43217ccccccx61116ijikjkkrxx 用绝对值减数法来确定它们的相似系数，为用绝对值减数法来确定它们的相似系数，为于是我们得到于是我们得到 X 上的一个模糊相似关系，其对应上的一个模糊相似关系，其对应的模糊相似矩阵的模糊相似矩阵 R 为：为：i，j =1，2，3，4，5，6，7。87192. 027. 040. 057. 060. 035. 092. 0122. 039. 055. 062. 025. 027. 022. 0164. 050. 057. 090. 040. 039. 064. 0127. 067. 064. 057. 055. 050. 027. 0160.

52、050. 060. 062. 057. 067. 060. 0160. 035. 025. 090. 064. 050. 060. 01R88192. 027. 04 . 057. 06 . 035. 092. 0122. 039. 055. 062. 025. 027. 022. 0164. 05 . 057. 09 . 04 . 039. 064. 0127. 067. 064. 057. 055. 05 . 027. 016 . 05 . 06 . 062. 057. 067. 06 . 016 . 035. 025. 09 . 064. 05 . 06 . 01444RRR 其传递闭包为其传递闭包为89 如果将前面的模糊相似矩阵