同济高数教案

1、.第一章函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断

2、点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。§1. 1映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的

3、事物的总体. 用 A, B, C.等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合 M 的元素表示为 aM.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如 Aa, b, c, d, e, f, g.v描述法: 若集合 M 是由元素具有某种性质 P 的元素 x 的全体所组成, 则 M 可表示为Aa1, a2, an, Mx | x 具有性质 P.例如 M(x, y)| x, y 为实数, x2y21.几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N0, 1, 2, n,. N1, 2, n,.R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集.Z 表示所有整数构成的集合,

4、称为整数集.Z,n,2,1, 0, 1, 2, n,.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.子集: 若 xA, 则必有 xB, 则称 A 是 B 的子集, 记为 AB(读作 A 包含于 B)或 BA . 如果集合 A 与集合 B 互为子集, AB 且 BA, 则称集合 A 与集合 B 相等, 记作 AB. 若 AB 且 AB, 则称 A 是 B 的真子集, 记作 A ̹ B . 例如, N ̹ Z ̹ Q ̹ R.不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设 A

5、、B 是两个集合, 由所有属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集(简称并), 记作 AB, 即ABx|xA 或 xB.设 A、B 是两个集合, 由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集(简称交), 记作 AB, 即ABx|xA 且 xB.设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差集(简称差), 记作 AB, 即ABx|xA 且 xB.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时, 我们称集合 I 为全集或基本集. 称 IA 为 A 的余

6、集或补集, 记作 AC. 集合运算的法则:设 A、B、C 为任意三个集合, 则(1) 交换律 ABBA, ABBA;(2) 结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC);(3) 分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.(AB)CACBC 的证明:x (AB)CxABxA且xBxAC且xBCxACBC,所以(AB)CACBC.直积(笛卡儿乘积):设 A、B 是任意两个集合, 在集合 A 中任意取一个元素x, 在集合 B 中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全

7、体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积, 记为 A B, 即AB(x, y)|xA 且 yB.例如, RR(x, y)| xR 且 yR 即为 xOy 面上全体点的集合, RR 常记作 R2.3. 区间和邻域有限区间:设 a<b, 称数集x|a<x<b为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)x|a<x<b.类似地有a, bx | axb 称为闭区间,a, b)x | ax<b 、(a, bx | a<xb 称为半开区间.其中 a 和 b 称为区间(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点, ba 称为区间的长度.无限区间:a,)x

8、 | ax , (, bx | x < b , (,)x | | x | <.区间在数轴上的表示:邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域, 记作 U(a).设是一正数, 则称开区间(a, a)为点 a 的邻域, 记作 U(a,), 即U(a,)x | a< x < ax | | xa|<.其中点 a 称为邻域的中心,称为邻域的半径.去心邻域Uo (a,):Uo (a,)x |0<| xa |<二、映射1. 映射的概念定义设 X、Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则 f, 使得对 X 中每个元素 x, 按法则 f, 在Y 中有唯一确定的

9、元素 y 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作f : XY ,其中 y 称为元素 x(在映射 f 下)的像, 并记作 f(x), 即y f(x),而元素 x 称为元素 y(在映射 f 下)的一个原像; 集合 X 称为映射 f 的定义域, 记作 Df, 即DfX ;X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域, 记为 Rf, 或 f(X), 即Rff(X)f(x)|xX.需要注意的问题:(1) 构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合 X, 即定义域 DfX; 集合 Y, 即值域的X 围: RfY; 对应法则 f, 使对每个 xX, 有唯一确定的 yf(x)与之对应.(2)

10、 对每个 xX, 元素 x 的像 y 是唯一的; 而对每个 yRf, 元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 Rf 是 Y 的一个子集, 即 RfY, 不一定 RfY .例 1 设 f : R R, 对每个 x R, f(x) x2.显然, f 是一个映射, f 的定义域 Df R, 值域 Rf y|y 0, 它是 R 的一个真子集. 对于 Rf 中的元素 y, 除 y 0 外, 它的原像不是唯一的. 如 y 4 的原像就有 x 2 和 x 2 两个. 例 2 设 X (x, y)|x2 y2 1, Y (x, 0)|x| 1, f : X Y, 对每个(x, y) X, 有唯一确

11、定的(x, 0) Y 与之对应.显然 f 是一个映射, f 的定义域 DfX, 值域 RfY. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到 x 轴的区间1, 1上.(3) f :-p , p 221, 1, 对每个 x-pp,22, f(x)sin x .f 是一个映射, 定义域 D-p , p , 值域 R1, 1.f22f满射、单射和双射:设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射, 若 Rf Y, 即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像, 则称f 为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素x 1 x 2, 它们的像f(x 1) f(x 2),

12、 则称 f 为 X 到 Y 的单射; 若映射 f 既是单射, 又是满射, 则称 f 为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射.2. 逆映射与复合映射设 f 是 X 到 Y 的单射, 则由定义, 对每个 y Rf , 有唯一的 x X, 适合 f(x) y, 于是, 我们可定义一个从 Rf 到 X 的新映射 g, 即g : RfX,对每个 yRf , 规定 g(y)x, 这 x 满足 f(x)y. 这个映射 g 称为 f 的逆映射, 记作 f1, 其定义域 D f -1Rf , 值域 R f -1X .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射. 设有两个映射g : X

13、Y 1,f : Y 2Z,其中 Y 1 Y 2. 则由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法则, 它将每个 x X 映射成fg(x)Z .显然, 这个对应法则确定了一个从 X 到 Z 的映射, 这个映射称为映射 g 和 f构成的复合映射, 记作 f o g, 即f o g: XZ,(f o g)(x)fg(x), xX .应注意的问题:映射g 和f 构成复合映射的条件是: g 的值域Rg 必须包含在f 的定义域内, Rg Df . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g 和 f 的复合是有顺序的, f o g 有意义并不表示g o f也有意义. 即使 f o g 与

14、 g o f 都有意义, 复映射 f o g 与 g o f 也未必相同.例 4 设有映射 g : R1, 1, 对每个 xR, g(x)sin x,映射 f : 1, 10, 1, 对每个 u1, 1,f (u)=1-u 2 .则映射 g 和 f 构成复映射 f o g: R0, 1, 对每个 xR, 有( fg)(x)= f g(x)= f (sin x)=1-sin 2 x =|cos x| .三、函数1. 函数概念定义设数集 DR, 则称映射 f : DR 为定义在 D 上的函数, 通常简记为yf(x), xD,其中 x 称为自变量, y 称为因变量, D 称为定义域, 记作 Df,

15、即 DfD.应注意的问题:记号 f 和 f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量 x 和因变量 y 之间的对应法则, 而后者表示与自变量 x 对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), x D”或“y=f(x), x D”来表示定义在 D 上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数 f .函数符号: 函数 y f(x)中表示对应关系的记号 f 也可改用其它字母, 例如“F”, “ ” 等. 此时函数就记作 y (x), y F(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在 R 内, 因此构成函数的要素是定义域Df 及对应法则 f . 如果两个函数的定义域相同

16、, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:求函数 y = 1 - x 2 - 4 的定义域.x要使函数有意义, 必须 x0, 且 x240.解不等式得| x |2.所以函数的定义域为 Dx | | x |2, 或 D(, 22,).单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个x D, 对应的函数值 y 总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个 x D, 总有确定的 y 值与之对应, 但这个 y 不

17、总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量 x 和 y 之间的对应法则由方程 x2 y2 r2 给出. 显然, 对每个 x r, r，由方程 x2 y2 r2,可确定出对应的 y 值, 当 x r 或 x r 时, 对应 y 0 一个值; 当 x 取( r, r)内任一个值时, 对应的y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程 x2 y2 r2 给出的对应法则中, 附加“y 0” 的条件, 即以“ x2 y2 r2 且 y 0 ” 作为对应法则

18、, 就可得到一个单值分支y = y1(x) =r 2 - x 2 ; 附加“y0”的条件, 即以“x2y2r2 且 y0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支 y = y (x)=-r 2 - x 2 .2表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集P(x, y)|yf(x), xD称为函数 yf(x), xD 的图形. 图中的 Rf 表示函数 yf(x)的值域.函数的例子:例. 函数 y =| x|= ìíxx ³0 .î- xx <

19、0称为绝对值函数. 其定义域为 D(ì 1x >0,), 值域为 Rf0,).í例. 函数 y =sgn x =ï 0 x =0 .îï-1 x <0称为符号函数. 其定义域为 D(,), 值域为 Rf1, 0, 1. 例设 x 为任上实数. 不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分, 记作 x . 函数y x 称为取整函数. 其定义域为 D(,), 值域为 RfZ . 5 =0 , 2 =1 , 3, 17分段函数:1, 3. 54.在自变量的不同变化X 围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.íï

20、;1+ xx >1例。函数 y = ìï2x0£ x £1 .î这是一个分段函数, 其定义域为 D0, 1(0,)0,).当 0x1 时,y = 2x ; 当 x>1 时, y1x.=11例如 f ()222=2 ;f (1) = 21 = 2 ; f(3)134.2. 函数的几种特性(1) 函数的有界性设函数 f(x)的定义域为 D, 数集 X D. 如果存在数 K1, 使对任一 x X, 有 f(x) K1, 则称函数 f(x)在 X 上有上界, 而称 K1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界. 图形特点是 y f(x)的图形

21、在直线 y K1 的下方.如果存在数 K2, 使对任一 x X, 有 f(x) K2, 则称函数 f(x)在 X 上有下界, 而称 K2 为函数f(x)在 X 上的一个下界. 图形特点是, 函数 y f(x)的图形在直线 y K2 的上方.如果存在正数 M, 使对任一 x X, 有| f(x) | M, 则称函数 f(x)在 X 上有界;如果这样的 M 不存在, 则称函数 f(x)在 X 上无界. 图形特点是, 函数 y f(x)的图形在直线 y M 和y M 的之间.函数 f(x)无界, 就是说对任何 M, 总存在 x1 X, 使| f(x) | > M.例如(1) f(x)sin x

22、 在(,)上是有界的: |sin x|1.(2) 函数 f (x) = 1x在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界.这是因为, 对于任一 M>1,总有 x :0< x< 1 <1 , 使f (x ) = 1 > M ,11M1x1所以函数无上界.函数 f (x) = 1x在(1, 2)内是有界的.(2) 函数的单调性设函数 yf(x)的定义域为 D, 区间 ID. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当 x1<x2 时, 恒有f(x1)< f(x2),则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的.如果对

23、于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当 x1<x2 时, 恒有f(x1)> f(x2),则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例:函数 yx2 在区间(, 0上是单调增加的, 在区间0,)上是单调减少的, 在（,）上不是单调的.(3) 函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称(即若 xD, 则xD). 如果对于任一 xD, 有f(x)f(x),则称 f(x)为偶函数.如果对于任一 xD, 有f(x)f(x),则称 f(x)为奇函数.偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举

24、例:yx2, ycos x 都是偶函数. yx3, ysin x 都是奇函数, ysin xcos x 是非奇非偶函数.(4) 函数的周期性设函数 f(x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 l , 使得对于任一 xD 有(xl)D,且f(xl)f(x)则称 f(x)为周期函数, l 称为 f(x)的周期.周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为 l 的区间上, 函数的图形有相同的形状.3. 反函数与复合函数反函数:设函数f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射f1: f(D)D, 称此映射f1 为函数f 的反函数.按此定义, 对每个 yf(D), 有唯一的 xD, 使得 f(x

25、)y, 于是有f1(y)x.这就是说, 反函数 f1 的对应法则是完全由函数 f 的对应法则所确定的.一般地, yf(x), xD 的反函数记成 yf1(x), xf(D).若 f 是定义在 D 上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数 f1 必定存在, 而且容易证明 f1 也是 f(D)上的单调函数.相对于反函数 yf1(x)来说, 原来的函数 yf(x)称为直接函数. 把函数 yf(x)和它的反函数yf1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线 yx 是对称的. 这是因为如果P(a, b)是yf(x)图形上的点, 则有bf(a). 按反函数的定义, 有

26、 af1(b), 故Q(b, a)是 yf1(x)图形上的点; 反之, 若 Q(b, a)是 yf1(x)图形上的点, 则 P(a, b)是 yf(x)图形上的点. 而 P(a, b)与 Q(b, a)是关于直线 yx 对称的. 复合函数:复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述.设函数 yf(u)的定义域为 D 1, 函数 ug(x)在 D 上有定义且 g(D)D 1, 则由下式确定的函数yfg(x), xD称为由函数 ug(x)和函数 yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为 D, 变量 u 称为中间变量.函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为

27、f o g , 即( f o g )fg(x).与复合映射一样, g 与 f 构成的复合函数 f o g 的条件是: 是函数 g 在 D 上的值域 g(D)必须含在 f 的定义域 Df 内, 即 g(D)Df. 否则, 不能构成复合函数.例如, yf(u)arcsin u, 的定义域为1, 1,u = g(x)=2 1- x 2 在 D =-1, -3 È3 ,122上有定义, 且 g(D)1, 1, 则 g 与 f 可构成复合函数y =arcsin2 1- x 2 , xD;但函数 yarcsin u 和函数 u2x2 不能构成复合函数, 这是因为对任 xR, u2x2 均不在 y

28、arcsin u 的定义域1, 1.多个函数的复合:4. 函数的运算设函数 f(x), g(x)的定义域依次为 D 1, D 2, DD 1D 2, 则我们可以定义这两个函数的下列运算:和(差)fg : (fg)(x)f(x)g(x), xD;积 fg :(fg)(x)f(x)g(x), xD;商 f :( f)(x) =f (x), xDx|g(x)0.ggg(x)例 11 设函数 f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)g(x)h(x).分析如果 f(x)g(x)h(x), 则 f(x)g(x)h(x), 于是g(x) =

29、1 f (x) + f (-x) ,h(x)= 1 f (x) - f (-x) .22证作 g(x) = 1 f (x) + f (-x) ,h(x)= 1 f (x) - f (-x) , 则 f(x)g(x)h(x),22且 g(-x) = 1 f (-x) + f (x)= g(x) ,2h(-x) = 1 f (-x) - f (x)=- 1 f (x) - f (-x)=-h(x) .225. 初等函数 基本初等函数:幂函数: yx(R 是常数);指数函数: yax(a0 且 a1);对数函数: ylogax (a0 且 a1, 特别当 ae 时, 记为 yln x); 三角函数:

30、 ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x,ycsc x; 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x .初等函数:由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如yy=ch x11y=sh xy= 1 ex2y= 1 e-x2Ox-1yOy=thxy =1- x 2 , ysin2x,y =cot x2等都是初等函数. 双曲函数:双曲正弦: shx = e x -e - x ;2双曲余弦:chx = e x + e - x ;2双曲

31、正切:thx = shx = e x -e - x .chxe x + e - x双曲函数的性质:sh(xy)sh xch ych xsh y;ch(xy)ch xch ysh xsh y.ch2xsh2x1;xsh2x2sh xch x; ch2xch2xsh2x .下面证明 sh(xy)sh xch y+ch xsh y:= e x+ y -e -( x+ y)2反双曲函数:=sh(x + y) .双曲函数 ysh x, ych x(x0), yth x 的反函数依次为反双曲正弦: yarsh x;反双曲余弦: y arch x; 反双曲正切: y arth x . 反双曲函数的表示达式:

32、yarsh x 是 xsh y 的反函数, 因此,从中解出 y 来便是 arsh x . 令 uey, 则由上式有u 22xu10.这是关于 u 的一个二次方程, 它的根为u = x ± x 2 +1 .因为 uey0, 故上式根号前应取正号, 于是u = x + x 2 +1 .由于 yln u, 故得y =arshx=ln(x + x 2 +1) .函数 yarshx 的定义域为( 的.类似地可得,), 它是奇函数, 在区间(,)内为单调增加y =archx =ln(x +x 2 -1),y =arthx = 1 ln 1+ x .21- x§12数列的极限一个实际问题

33、如可用渐近的方程法求圆的面积.设有一圆首先作内接正四边形它的面积记为 A；再作内接正八边形它的面积记2为 A ；再作内接正十六边形它的面积记为1A；如此下去每次边数加倍一般把内3接正 8×2n1 边形的面积记为 An这样就得到一系列内接正多边形的面积A1A2A3×××An设想 n 无限增大（记为 n®¥读作 n 趋于穷大）即内接正多边形的边数无限增加在这个过程中内接正多边形无限接近于圆同时 An 也无限接近于某一确定的数值这个确定的数值就理解为圆的面积这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A1A2A3An当 n®

34、¥时的极限数列的概念如果按照某一法则使得对任何一个正整数 n 有一个确定的数 xn则得到一列有次序的数x1x2x3xn这一列有次序的数就叫做数列记为xn其中第 n 项 xn 叫做数列的一般项数列的例子n123n+1234n×××n+1 1 12n22n11482482n12n(1)n1111 n +(-1)n-1 214n23(1)n1n +(-1)n-1 n它们的一般项依次为 nn+12n12n(1)n1n +(-1)n-1 n数列的几何意义数列xn 可以看作数轴上的一个动点x1x2x3xn数列与函数数列xn可以看作自变量为正整数 n 的函数xnf (

35、n)它的定义域是全体正整数数列的极限它依次取数轴上的点数列的极限的通俗定义：对于数列xn如果当 n 无限增大时数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数值 a则称常数 a 是数列xn的极限或称数列xn收敛 a记为lim x = a如果数列没有极限就说数列是发散的nn®¥例如limn=1lim1 = 0limn +(-1)n-1 =1n®¥ n+1n®¥ 2nn®¥n而2n (1)n1是发散的对无限接近的刻划xn 无限接近于 a 等价于|xna|无限接近于 0极限的精确定义定义如果数列xn与常 a 有下列关系对于任

36、意给定的正数不论它多么小总存在正整数 N使得对于 n >N 时的一切 xn不等式|xna|<都成立则称常数 a 是数列xn的极限或者称数列xn收敛于 a记为lim x= a 或 xn®a (n®¥)nn®¥lim x =a Û"e>0, $NÎN当 n>N 时n®¥n有|xna|<e .如果数列没有极限就说数列是发散的数列极限的几何解释例题例 1证明 lim n +(-1)n-1 =1n®¥n分析|xn1| n+(-1)n-11|1 .- =nn

37、对于">0要使|x1|只要 1 <e即n > 1nne证明因为"e>0, $ N =1 ÎN当 n>N 时有e|xn1| n+(-1)n-1 -1|= 1 <enn所以 lim n +(-1)n-1 =1n®¥n例 2证明 lim (-1)n = 0n®¥ (n+1)2分析|xn0| =| (-1)n(n +1)2-0| =1 (n+1)2<1n+1对于"0要使|x0|只要1nn+1<e即n > 1 -1e证明因为"0$ N =1 -1 ÎN

38、当 nN 时有<1e|xn0| (-1)n (n+1)2-0|=1(n+1)2n+1 <e所以 lim (-1)n = 0n®¥ (n+1)2例 3设|q |<1证明等比数列1qq2qn1的极限是 0分析对于任意给定的>0要使|xn0| qn10|q| n1<只要 n>log|q|1 就可以了故可取 Nlog|q|1。证明因为对于任意给定的>0存在 N 当 n>N 时有 log|q|1| qn10|q| n1<所以 lim qn-1 = 0收敛数列的性质n®¥定理 1(极限的唯一性)数列xn不能收敛于

39、两个不同的极限证明假设同时有lim x =a 及 lim x=b且 a<bn®¥ nn®¥ n按极限的定义对于e = b - a >0存在充分大的正整数 N2使当 n>N 时同时有|xa|< e = b - a 及|xb|< e = b - an2n2因此同时有x < b + a 及 x> b + an2n2这是不可能的所以只能有 a=b数列的有界性对于数列xn，如果存在着正数 M，使得对一切 xn 都满足不等式|xn|M则称数列xn是有界的如果这样的正数 M 不存在，就说数列xn是无界的定理 2(收敛数列的有界

40、性)如果数列xn收敛那么数列xn一定有界证明设数列xn收敛且收敛于 a根据数列极限的定义对于1存在正整数 N使对于 n>N 时的一切 xn不等式|xna|<1都成立于是当 n>N 时|xn|(xna)a| xna|a|<1|a|取 Mmax|x 1|x 2| xN |1| a |那么数列xn中的一切 xn 都满足不等式|xn|M这就证明了数列xn是有界的定理 3 收敛数列的保号性)如果数列xn收敛于 a, 且 a>0(或 a<0)那么存在正整数N当 n>N 时有 xn>0(或 xn<0)证 就 a>0 的情形证明由数列极限的定义aa对

41、e = 2 > 0 , $NÎN, 当 n>N 时有| x - a|<n2从而x > anaa-=> 0 22推论 如果数列xn从某项起有 xn³0(或 xn£0)且数列xn收敛于 a那么 a³0(或a£0).证明 就 xn³0 情形证明设数列xn从 N1 项起即当 n>N 1 时有 xn³0现在用反证法证明或 a<0则由定理 3 知$N 2ÎN, 当 n> N 2 时有 xn<0取 Nmax N 1N2当 n>N 时按假定有 xn³0按定理 3

42、 有 xn<0这引起矛盾所以必有 a³0.子数列在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列例 如数 列 xn1111(1)n1的 一 子 数 列 为x2n111(1)2n1定理 3(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列xn收敛于 a那么它的任一子数列也收敛且极限也是 a证明设数列xnk 是数列xn的任一子数列因为数列xn收敛于 a所以">0$NÎN+当 nN 时有|xna|取 KN则当 kK 时nk³kKN于是| xa|nkn这就证明了 lim x=ak ®¥k讨论

43、1 对于某一正数0如果存在正整数 N使得当 n>N 时有|xna|<0是否有 xn®a (n®¥)2 如果数列xn收敛那么数列xn一定有界发散的数列是否一定无界" 有界的数列是否收敛"3 数列的子数列如果发散原数列是否发散" 数列的两个子数列收敛但其极限不同原数列的收敛性如何"发散的数列的子数列都发散吗.4如何判断数列 1111×××(1)N1×××是发散的.§13函数的极限一、函数极限的定义函数的自变量有几种不同的变化趋势:x 无限接近 x0

44、:x®x0,x 从 x0 的左侧(即小于 x0)无限接近 x0:x®x0 , x 从 x0 的右侧(即大于 x0)无限接近 x0:x®x0 , x 的绝对值|x|无限增大:x®¥,x 小于零且绝对值|x|无限增大:x®¥, x 大于零且绝对值|x|无限增大:x®¥. 1自变量趋于有限值时函数的极限 通俗定义:如果当 x 无限接近于 x0 函数 f(x)的值无限接近于常数 A 则称当 x 趋于 x0 时 f(x)以 A为极限记作lim f(x)A 或 f(x)®A(当 x® x 0)x&

45、#174; x0分析 在 x®x0 的过程中 f(x)无限接近于 A 就是|f(x) A|能任意小 或者说 在 x 与x0 接近到一定程度(比如|x x0|<为某一正数)时 |f(x) A|可以小于任意给定的( 小 的 ) 正 数 即 f(x) A|<反之 对于任意给定的正数 如果 x 与 x0 接近到一定程度(比如|x x0|<为某一正数)就有|f(x) A|< 则能保证当 x®x0 时 f(x)无限接近于 A定义 1 设函数 f(x)在点 x0 的某一去心邻域内有定义 如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 ( 不论它多么小) 总存在正数 使得当

46、 x 满足不等式 0<|x x0|< 时 对应的函数值 f(x)都满足不等式 |f(x) A|<那么常数 A 就叫做函数 f(x)当 x®x0 时的极限 记为lim f (x) = A 或 f(x)®A(当 x®x0)x®x0lim f (x) = A Û"e>0,$d>0, 当 0<|x-x0|<d时, |f(x)A|<.x®x0定义的简单表述:函数极限的几何意义:例 1证明 lim c = cx®x0证明:这里|f(x)A|=|cc|=0因为"e>

47、0, 可任取>0当 0<|xx |<时有0|f(x)A|=|cc|=0<.所以 lim c = cx®x0例 2证明 lim x = x0x® x0分析: |f(x)A|=|xx0|因此"e>0,要使|f(x)A|<只要xx0|<证明:因为">0$=当 0<|xx0|<时有|f(x)A|=|xx0|<所以 lim x = x0x® x0例 3证明lim(2x-1) =1x®1分析:|f(x)A|=|(2x1)1|=2|x1|">0要使|f(x)A|<

48、;只要| x -1|< e2证 明 :因 为 ">0$d=e/2d = e2当0<|x1|<时有|f(x)A|=|(2x1)1|=2|x1|<所以lim(2x-1) =1x®1例 4证明lim x2 -1 = 2x®1 x -1分析: 注意函数在 x1 是没有定义的但这与函数在该点是否有极限并无关系当x¹1时|f(x)A| =| x2 -1 - 2| =|xx -11|">0要 使 |f(x)A|<只 要|x1|<证明:因为"f(x)A| =| x2 -1 - 2| =|xx -1所以l

49、im x2 -1 = 2x®1 x -1单侧极限:>0$1|<当0<|x1|<时有|yy=x+11Ox-1y=x-1v若当 xx0时f(x)无限接近于某常数 A则常数 A叫 做 函 数f(x) 当xx0时 的 左 极 限记 为limx® x -0f (x) = A 或 f( x0-)A若当 xx0时f(x)无限接近于某常数 A则常数 A叫 做 函 数f(x) 当xx0时 的 右 极 限记 为limf (x) = A 或 f( x)A0x® x +0.讨论1左右极限的定义如何叙述"2当 xx0 时函数 f(x)的左右极限与当 xx0

50、 时函数 f(x)的极限之间的关系怎样"提示左极限的-定义：.vlim f (x) = Ax® x -000xx0xx0有|f(x)A|<limf (x) = Ax® x +0lim f (x)= A0lim f (x) = A 且 lim0f (x) = Axx0xx0有|f(x)A|<x®x0x® x -0ìïx -1x <0x® x +0例 5函数 f (x) =í 0x =0 当 xïîx +1x >00 时的极限不存在这是因为lim f (x) = l

51、im (x -1) =-1x®0-x®0-lim f (x) = lim (x +1) =1x®0+x®0+lim f (x)¹ lim f (x) .x®0-x®0+2自变量趋于无穷大时函数的极限设 f(x)当|x|大于某一正数时有定义如果存在常数 A, 对于任意给定的正数总存在着正数 X使得当 x 满足不等式|x|>X 时对应的函数数值 f(x)都满足不等式|f(x)A|<则常数 A 叫做函数 f(x)当 x®¥时的极限记为lim f (x)= A 或 f(x)®A(x®

52、;¥)x®¥lim f (x)= A Û"e>0,$X>0, 当|x|>X 时, 有|f(x)-A|<e.x®¥类似地可定义lim f (x)= A 和 lim f (x)= Ax®-¥x®+¥结论: lim f (x)= A Û lim f (x)= A 且 lim f (x)= Ax®¥x®-¥x®+¥极限 lim f (x)= A 的定义的几何意义x®¥例6证明lim

53、 1 =0x®¥ xyA+eAA-ey=f (x)分析| f (x)- A|=| 1 -0|= 1-XO0要使|f(x)A|Xx只要| x |> 1x| x|证明因为01X =>0e当|x|X 时有| f (x)- A|=| 1 -0|= 1 <e所以 lim 1 =0x®¥ x直线 y0 是函数 y = 1xe的水平渐近线x| x|一般地如果 lim f (x) =cx®¥二、函数极限的性质定理 1(函数极限的唯一性)则直线 yc 称为函数 yf(x)的图形的水平渐近线如果极限 lim f (x) 存在那么这极限唯

54、一x®x0定理 2(函数极限的局部有界性)如果 f(x)®A(x®x0)那么存在常数 M0和使得当 0|xx0|时有|f(x)|M证明 因为 f(x)®A(x®x0)所以对于e=1,$d>0,当 0|xx0|时有|f(x)-A|<e=1,于是|f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|.这就证明了在 x0 的去心邻域x| 0|xx0|,f(x)是有界的.定理 3(函数极限的局部保号性)如果 f(x)®A(x®x0)而且 A0(或 A0)那么存在常数0使当 0|xx0|时有 f(x)0(或 f(x)0)证明就 A>0 的情形证明.0因为 lim f (x) = A , 所以对于e = A$>0当 0|xx |时有x® x02| f (x) -