2012电磁场与电磁波08静电场2-电位

1、Research Institute of RF & Wireless TechniquesSouth China University of Technology电磁场与电磁波电磁场与电磁波Electromagnetic Fields and Waves 静电场静电场22电位电位Email:School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology内容内容n电位n导体对静电场的影响n电位的帕松方程和拉普拉斯方程School of Electronics and Inform

2、ation EngineeringSouth China University of Technology电位电位-静电场的辅助函数静电场的辅助函数n 静电场无旋性（静电场无旋性（ ）告诉我们，电）告诉我们，电场可用一个标量函数的梯度表示场可用一个标量函数的梯度表示 称为电场的位函数（电位）。称为电场的位函数（电位）。n 电场电场 为矢量，对应三个标量函数，而电为矢量，对应三个标量函数，而电位位 为一标量函数。显然，计算电位更容为一标量函数。显然，计算电位更容易。易。0EE E 借助电位求电场的方法，称为借助电位求电场的方法，称为辅助函数法辅助函数法，广泛应用于电磁场理论。广泛应用于电磁场理论

3、。School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn 从静电场公式n 不能看出，点电荷的电位为 为满足 的任意标量函数。2300011444RqqqEaRRrr 04qCrrC0C 直接从直接从 不能唯一确定电位。实际中，不能唯一确定电位。实际中，常通过选取电位参考点消除不唯一性。常通过选取电位参考点消除不唯一性。0ESchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Tech

4、nologyn 体分布的电位n 面分布的电位n 线分布的电位01( )4VrdVR0( )14SSrdSR0( )14llrdlRxPzyr0Vd)(rrrrSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【电压】【电压】两点间电场的线积分两点间电场的线积分( )( )QQQPPPQPE dldldlldPQ v可见，两点间的电压等于两点的电位差，且与可见，两点间的电压等于两点的电位差，且与积分路径无关；积分路径无关；v如果选取某点如果选取某点Q为电位参考点（电位零点），为

5、电位参考点（电位零点），那么任一场点那么任一场点P的电位就等于该点与参考点之的电位就等于该点与参考点之间的电位差：间的电位差：( )( )( )QPE dlPQPPQEdlSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technologyn参考点选取具有任意性。实际中，常选择无参考点选取具有任意性。实际中，常选择无限远、大地表面或接地导体为电位参考点。限远、大地表面或接地导体为电位参考点。n电压和电位的物理意义电压和电位的物理意义电压为把单位正的点电荷从一点到另一点电场力电压为把单位正的点电

6、荷从一点到另一点电场力做的功做的功电位是把单位正的点电荷从场点移到参考点电场电位是把单位正的点电荷从场点移到参考点电场力做的功力做的功QQPPQpqdWdUqqElElPQEdlQQPPQPpqdWdUqq ElElSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【电力线】【电力线】两点间电场的线积分两点间电场的线积分v电力线方程电力线方程v电力线的特点电力线的特点：0Edl始于正电荷，终于负电荷；始于正电荷，终于负电荷；线的疏密对应电场的强弱；线的疏密对应电场的强弱；垂直

7、于等位面；垂直于等位面；互不相交。互不相交。正电荷正电荷 负电荷负电荷 School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology点电荷与不接地导体的电场点电荷与不接地导体的电场带电平行板带电平行板 School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology问题问题v(1) 电力线是不是点电荷在电场中的运动轨迹电力线是不是点电荷在电场中的运动轨迹（设此点电荷电场力外不受其它

8、力的作用）？（设此点电荷电场力外不受其它力的作用）？v(2) 两条电力线能否相切？同一条电力线上任两条电力线能否相切？同一条电力线上任意两点的电位能否相等？意两点的电位能否相等？v(3) 不同电位的两个等位面能否相交或相切？不同电位的两个等位面能否相交或相切？同一等位面任意两点的场强是否一定相等？同一等位面任意两点的场强是否一定相等？场强在等位面上的切向分量是否一定等于场强在等位面上的切向分量是否一定等于0？电位在带电面两侧会不会突变？电位在带电面两侧会不会突变？School of Electronics and Information EngineeringSouth China Unive

9、rsity of Technology【例【例5-1】在真空中】在真空中xoy平面上有一半径为平面上有一半径为a的圆形的圆形线电荷，其线密度为线电荷，其线密度为 ，求轴线上离圆心，求轴线上离圆心z处点处点P(0,0,z)的电位和电场强度。的电位和电场强度。ln 解：在圆上取一线元 ，其上所带电荷为ldqdldlSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology22azRllazdl21220413 22202lzzazzza Eaa由于电荷分布的对称性，该处的电场强度仅有由于

10、电荷分布的对称性，该处的电场强度仅有 z z 方向的分方向的分量，即量，即应用圆柱坐标系，应用圆柱坐标系，P P点电位为点电位为解：取一线元，其上所带电荷量解：取一线元，其上所带电荷量为为 ，源点到场点，源点到场点P P的距离为的距离为dldldql2322020212204241azaazadll232202azalSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【例【例5-2】求电荷密度】求电荷密度 ，半径为，半径为a的均匀带电圆的均匀带电圆盘轴线上的电场强度。盘轴线上

11、的电场强度。SSchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology利用前例中圆形线电荷在轴线上产生的电位的利用前例中圆形线电荷在轴线上产生的电位的公式，将公式，将 d dr r 很小形成的圆环看成是圆形线电很小形成的圆环看成是圆形线电荷，其相应的线电荷密度荷，其相应的线电荷密度 满足：满足：解：在圆盘上取一半径为解：在圆盘上取一半径为r r、宽为、宽为d dr r的圆环，的圆环，由 于由 于 d dr r很 小 ， 源 点 到 场 点很 小 ， 源 点 到 场 点 P P 的

12、距 离 即的 距 离 即为为 ，22rzRdrrrdrldqssl 2/2 /212202rzdrrds并代入并代入 a a= =r r ，则同样可得，则同样可得l232202azal整个圆盘上的电荷在整个圆盘上的电荷在 P P点的点的电位（电位（z 0z 0）zazrzrdrsas212200212202 2School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of TechnologyzszaazzazE2122012当当 时，相当与无限大带电荷平面在其一侧时，相当与无限大带电荷平面在其一侧（ z 0

13、z 0）附近产生的场：）附近产生的场：a0 20zaEzs可见，只要可见，只要 z z 有限，则有限，则 E E 是均匀的，且与是均匀的，且与 z z 无关。无关。应用圆柱坐标系中的梯度表达式，可得到电场强度为应用圆柱坐标系中的梯度表达式，可得到电场强度为School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology静电场中的导体静电场中的导体v 导体中带有可以自由移动的电荷（自由电子、自由导体中带有可以自由移动的电荷（自由电子、自由离子）；离子）；v 有外静电场时，导体中的自由电荷受电

14、场力作用移有外静电场时，导体中的自由电荷受电场力作用移动，积累在导体表面；动，积累在导体表面；v 积累在表面的电荷产生附加电场，在导体内与外电积累在表面的电荷产生附加电场，在导体内与外电场相抵消；场相抵消；v 达到平衡后，导体内电场为零，电荷不再移动，称达到平衡后，导体内电场为零，电荷不再移动，称为静电平衡状态。为静电平衡状态。【静电平衡过程】【静电平衡过程】School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology静电场中不接地导体的电场静电场中不接地导体的电场静电场中接地导体的电

15、场静电场中接地导体的电场School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology【导体的静电特性】【导体的静电特性】v静电平衡后，导体内电场强度为静电平衡后，导体内电场强度为0；v静电平衡后，导体是等位体，表面为等位面；静电平衡后，导体是等位体，表面为等位面；v静电平衡后，导体表面的电场强度垂直于导体静电平衡后，导体表面的电场强度垂直于导体表面；表面；v静电平衡后，导体的电荷只分布在表面。静电平衡后，导体的电荷只分布在表面。静电场中的导体School of Electronics

16、and Information EngineeringSouth China University of Technology例例: :真空中有电荷以体密度真空中有电荷以体密度 均匀分布于一半径为均匀分布于一半径为R的球中，如图所示。求的球中，如图所示。求球内、外的电场强度及电位。球内、外的电场强度及电位。 rErrEaEr2S4dSE , rarErqrErdSERr00302S3 344 即处 rarRERqrErdSERr2030302S3 344 即处 OR带电球 应用高斯通量定理，有应用高斯通量定理，有解解：（：（1）求电场强度。以球心为球坐标系原点，）求电场强度。以球心为球坐标系原

17、点，因为因为 分布仅与球坐标系变量分布仅与球坐标系变量r有关，故电场强度也有关，故电场强度也仅是仅是r的函数，且方向应是的函数，且方向应是ar方向。选某方向。选某r半径球面半径球面为闭合面为闭合面 S（也称高斯面），则在此球面上，（也称高斯面），则在此球面上，School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology如果用球内全部电荷如果用球内全部电荷 Q 来表示，以来表示，以 代入可得代入可得334RQ, 4 30raRQrERrrarQERr204 rQdrrQrr02044 R

18、QR04 220203025 . 1444RrRQdrrQdrRQrrRRr球内任意点的电位为球内任意点的电位为当当 r = R 时为球面电位时为球面电位（2）求电位。选无穷远处为电位参考点，则球外任一点的电位为）求电位。选无穷远处为电位参考点，则球外任一点的电位为School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology例：两无限大平行板电极，板间距离为例：两无限大平行板电极，板间距离为d，电压为，电压为U0 ，并充满密度为，并充满密度为 0 x/d的体电荷。求板间电场强度和极板面

19、上的电荷面密度。的体电荷。求板间电场强度和极板面上的电荷面密度。xsSSxxdxdxSSqSxEdSxEdSE0000/)0(1/)()(aa0020)0(2)(sdxxEdUdlE00000200003000020)0(6)0(6)0(2Uddxdxdxdxsdsds解解 因为因为 (x)= 0 x/d ，仅是，仅是x的函数，故可设电场强度为的函数，故可设电场强度为 E=axE(x),也仅也仅是是x的函数。再设的函数。再设x=0处电位为处电位为0，极板上面电荷密度为，极板上面电荷密度为 s(0)；在；在x=d处，处，电位为电位为U0，极板面电荷密度为，极板面电荷密度为 s(d)。显然，由于两

20、极板面无限大，板间。显然，由于两极板面无限大，板间电场为均匀场，故电场为均匀场，故 s(0) 、 s(d) 均为常数。作一柱形闭合面，底面积为均为常数。作一柱形闭合面，底面积为 S，下底在，下底在x=0的极板内，上底在的极板内，上底在x处，侧柱面与处，侧柱面与ax平行。在此闭合面上平行。在此闭合面上应用高斯通量定理，有应用高斯通量定理，有由：又因为：即：0/qdSES ddx/00)0(s)(ds)(xEx00UxsdxdxSSSxE000/)0(1)(School of Electronics and Information EngineeringSouth China University

21、 of Technology若将闭面若将闭面S在在x 处的上底面放到处的上底面放到xd的极板内的极板内再用高斯通量定理，则有再用高斯通量定理，则有010dSEqS0)(/)0(1000dssSddxdxSS3/)0()(00000ddUdxdxddss可得可得即：即：xddUdxxEa00002062)(代入代入 E(x)表达式，有表达式，有6)0(000ddUs故：故： ddx/00)0(s)(ds)(xEx00USchool of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology电位的帕松

22、方程和拉普拉斯方程n帕松方程和拉普拉斯方程是电位满足的微分帕松方程和拉普拉斯方程是电位满足的微分方程。方程。帕松方程帕松方程若无源，则演化为拉普拉斯方程若无源，则演化为拉普拉斯方程0/E E 0/ 20 Possion方程方程Laplace方程方程20School of Electronics and Information EngineeringSouth China University of Technology2 【拉普拉斯算子】【拉普拉斯算子】2222222xyz 直角坐标系直角坐标系22222211rrrrrz 圆柱坐标系圆柱坐标系22222222111sinsinsinrrrrrr 球坐标系球坐标系School of Electronics and Information Engine