操作问题奥数

1、作者:日期:所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。例如，对任意一个自然数，是奇数就加 1,是 偶数就除以2。这就是一次操作，是可以具体执行的。操作问题往往 是求连续进行这种操作后可能得到的结果。例1对于任意一个自然数n ,当n为奇数时，加上121;当n为 偶数时，除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操 作过程中是否可能出现100?为什么？讨论：同学们碰到这种题，可能会“具体操作” 一下，得到231±352-17688-4422 11 +U1 ) 132一33 诬、154 H ia1- 19399 iai-> 220 这

2、个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到 100,但也不能肯 定得不到100。当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后， 这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现 100。因为这一过程 很长，所以这不是好方法。解：因为231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，所以在操作 过程中产生的数也应当是11的倍数。100不是11的倍数，所以不可能 出现。由例1看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问 题的窍门。例2对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换:18, 42-> 18, 24-> 18, 6->

3、 12, 6-> 6, 6。直 到两数相同为止。问：对1234舜口54321进行这样的连续变换，最后得 到的两个相同的数是几？分析与解：如果两个数的最大公约数是a,那么这两个数之差与 这两个数中的任何一个的最大公约数也是 a。因此在每次变换的过程 中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数 就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大公约数是3,所以 最后得到的两个相同的数是3。注：这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。例3右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每 个数字所对应的黑板处均写着0。然后转动圆盘，每次可以转动90 的任意

4、整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上 的四个数是否可能都是999?解：不可能。因为每次加上的数之和是1 +2 + 3+4=10,所以黑 板上的四个数之和永远是10的整数倍。999X 4=3996,不是10的倍数， 所以黑板上的四个数不可都是999。例4在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1,这算作一次操作。经过若干次操作后，左下图变为右下图问：右下图中A格中的数字是几？分析与解：每次操作都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上 不同的颜色（见右图）。因为每次操作总是一个黑格与一个白格的数 字同时加

5、1或减1,所以所有黑格内的数字之和与所有白格内的数字之 和的差保持不变。因为原题左图的这个差是13,所以原题右图的这个 差也是 13。由（A+ 12） -12=13解得 A=13。例5将110十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的数 大于后面的数，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的 数都小于后面的数为止。当110十个数如下排列时，需交换多少次？8, 5, 2, 6, 10, 7, 9, 1, 4, 3。分析与解：为了不打乱仗，我们按照一定的方法来交换。例如， 从最大的数10开始交换，将10交换到它应在的位置后，再依次对9, 8, 7,实施交换，直至按从小到大排列为止。因为10

6、后面有5个比它小的数，所以对10连续交换5次，10到了最 右边，而其它各数的前后顺序没有改变；再看 9, 9后面有3个比它小 的数，需交换 歙，9到了右边第二位，排在10前面；再依次对8, 7, 6,实施这样的交换。10后面有5个比它小的数，我们说10有5个逆序；9后面有3个比它小的数，我们说9有3个逆序；类似地，8, 7, 6, 5, 4, 3, 2依次有7,3, 3, 4, 1, 0, 1个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数， 所以需交换5 + 3+7+3+ 3 + 4+1 + 0+1= 27 （次）。例6右图是一个5X6的方格盘。先将其中的任意5个方格染黑。然 后按以下规则继续染

7、色：如果某个格至少与两个黑格都有公共边，那么就将这个格染黑这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？分析与解：以一个方格的边长为1,开始时5个黑格的总周长不会 超过4X5=20。以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格都有公 共边，所以染黑后所有黑格的总周长不会增加。左下图中，A与4个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少 4;下中图中，A与3个 黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少 2;右下图中，A与2个 黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长不变。也就是说按照这种方法 染色，所有黑格的总周长永远不会超过 20,而5X6方格盘的周长是 22,所以不能将整个方格盘染成黑色。练习171 .黑板

8、上写着115共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这 两个数的和减1。例如，擦掉5和11,要写上15。经过若干次后，黑板 上就会只剩下一个数，这个数是几？2 .在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大 于1的最小自然数替换这个数，称为一次操作。问：最多经过多少次 操作，黑板上就会出现2?3 .口袋里装有101张小纸片，上面分别写着1101。每次从袋中 任意摸出5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个和 的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后， 袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？4 .在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点 分别

9、标上2和4。第二次把两段半圆弧分别二等分， 在分点标上相邻两 分点两数的平均数3 （见右图）。第三次把四段弧再分别二等分，在四 个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第 8次标完 后，圆周上所有标出的数的总和是多少？5 .六个盘子中各放有一块糖，每次从任选的两个盘子中各取一块 放入另一个盘子中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到 一个盘子中？6 .将110十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大 于后面的，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都 小于后面的数为止。已知10在这列数的第4位，那么最少要交换多少 次？最多要交换多少次？7 .在右图的方格表中，每

10、次给同一行或同一列的两个数加 1,经 过若干次后，能否使表中的四个数同时都是 5的倍数？为什么？人教版小学六年级数学第十二册期末质量检测题姓名班级分数一、发生在陈明身边的数学知识（每题2分，共20分）时间飞逝，六年的小学生活很快即将结束，我们开始和陈明一起盘点我们所学的 数学知识吧！1 .陈明从深圳新闻网讯得知：从今年秋季起，深圳将全面实施免费义务教育。据 统计，深圳免费义务教育政策预计将惠及约 60万名中小学学生，其中包括非深 圳户籍对象约34万人。如果按平均每学年每人免800元计算，则60万名学生一 学年一共约免学杂费（） 元，读作（）元。2 .陈明每天从家到学校上课，如果步行需要 15分

11、钟，如果骑自行车则只需要 9 分钟，他步行和骑自行车的最简速度比是（）。3 .陈明和妹妹在体检的时候，发现自己体重的 刚好和妹妹体重的 相等，他和他 妹妹体重的最简整数比是（）。4 .陈明在小学上课时，每节课的时间是 40分钟，合（）小时。每天在学校需要 喝3瓶250毫升的矿泉水，合多少（）开。5 .陈明在家每天需要花1小时完成语数英三科作业，如果每科作业花的时间一 样，完成每科作业需要（） 分，每科作业占总时间的（）。6 .陈明的学校叫振能小学，一进校门，就能看到大厅的8根一样大小的圆柱形大 理石柱，每根柱子的半径是5分米，高6米，如果要清洗这些柱子，清洗的面积 是（）平方米。7 .陈明所在

12、学校的田径场长120米，如果按1:2000的比例画到图纸上，需要画（） 厘米。8 .陈明的老师拿给陈明出了一道这样的数学题目 中）比20多，16比（）少。请你帮他算算，写到括号里。9 .数学老师的教具里有一个圆柱和一个圆锥，老师告诉陈明，圆柱和圆锥的体积 相等，底面积也相等，圆锥的高是12厘米。请你算算，这个圆柱的高是（）厘米。10 .陈明今年上半年每个月的零花钱如下表：月份一月 二月 三月 四月 五月 六月钱数（元）100 90 120 100 125 150他平均每个季度的零花钱是（） 元。三月份比四月份多用（）0二.火眼金睛辩正误（对的打“，”，错的打“ X”，共10分）11 .圆的周长

13、和直径成正比例。（）12 .兴趣小组做发芽实验，浸泡了 20粒种子，结果16课发芽了，发芽率是16%（）13 .不相交的两条直线是平行线。（）14 .联合国在调查200个国家中，发现缺水的国家有100个，严重缺水的国家有40个，严重缺水的国家占调查国家的 40% （）15 .一个半圆的半径是r,它的周长是（冗+2）r。（）三.心灵眼快妙选择（把正确的答案序号写到括号里，共12分）16 .在学过的统计图中，要表示数量增减变化的情况，（）统计图最好。A.条形 B. 扇形 C.折线17 .在1 10的自然数中，质数有（） 个。A.3B.4C.5D.618 .数学课本的封面面积大约是（）。A.30平方

14、厘米 B.3 平方分米 C.0.3 平方米D.3 分米19 .右图是日本三菱汽车的标志，这个标志有（）条对称轴。A.1B.2C.3D.420 .与相等的分数（）。A.只有一个B.只有两个 C.有无数个D.没有21 .两根同样长的绳子，第一根截去它的，第二根截去 米，余下的部分（）。A.第一根长B.第二根长 C.同样长D.无法比较四.神机妙算技巧高（共23分）22 .怎样计算简单就怎样算 力6分，每题3分）（-）+0.5X2.5X 12.5X6423 .求未知数X:（共12分，每题3分）2X- =0.5X+ X=2:（1-X）=0.36:X=:24 .求出下图阴影部分的面积：（5分） 五.巧手画

15、出工整图（共5分）25.以下面图中的点O为圆心画一个周长是12.56厘米的圆，再画两条互相垂直 的半径。?O六.聪明灵活会解决（共30分，每题6分）26.我校食堂买来900千克大米，6天吃了 180千克，照这样计算，剩下的还能 吃几天？（用比例的知识解答）27 .我校在“创建绿色循环经济示范单位”活动中，打算在生物园新挖一个直径 是6米，深12分米的圆形水池。（1）这个水池的占地面积是多少？如果这个水池修好后，需要用水泥把池底和侧壁粉刷，粉刷的面积有多大28 .惊悉我国南方6省遭遇百年难遇的雪灾后，我校师生踊跃捐款，六年某班女 生捐款数占全班的40叫160元，男生捐款数是女生捐款数的 ，这个班

16、一共为 灾区捐款多少元？29 .学校把一个堆成底面直径是2米，高5米的圆锥形沙子，填铺到一个长8米, 宽3.14米的沙坑里，可以铺多厚？30 .在一节体育活动课上，体育陈老师安排了三项体育活动，分别是打乒乓球、 打羽毛球和踢足球。六（2）班40名学生参加各项活动的人数占全班人数的百分比 情况如下图所示：请你根据以上条件，算出所需数据，绘制一个该班参加体育活动的人数条形统计试卷答案：5.20 , 10.342.5 , 20%21.D1.480000000（4.8亿、48000万），四亿八千万（四点八亿、四万八千万 ）2.3:53.5:44. , 0.75（）6.150.727.68.24 , 2

17、09.411. V 12. X 13. X 14. X 15. V16.C17.B18.B19.C20.C22 .（略）23.（略）23 .4 X 8-3.14 X42 X =6.88（平方厘米）25 .（略）26 .解法1解:设剩下的还能吃X天。180:6=（900-180）: X180 X =720 X 611 / 15X =24解法2解:一共可以吃X天。180:6=900: X180 X =900 X 6X =3030-6=24（天）答之略）27.（1）.3.14 X （ ）2=28.26（平方米）（2）12 分米=1.2 米 28.26+3.14 X 6X 1.2=50.868（平方米

18、）答£略）28.2+3=5160 + （1-40%- ）=800（ 元）答:（略）29.3.14 X （ ）2 X 5+（8 X 3.14）=0.625（米）答:（略）本题还可以用方程解决30.40 X40%=16（人）40 X25%=10（人）40-16-10=24（人）绘制统计图略六年制小学六年级数学毕业考试试卷题号一二三四综合等级等级一、基础知识。1、填空：太阳的直径约一百三十九万二千千米，写作（）千米，写成以“万”作单位的数是（）万千米。120平方分米=（）平方米 3.5 吨=（）千克=2 : 5= （） + 60= （） %把5米长的绳子平均剪成8段，每段是纯长的（），每段

19、长（）米。在、0.16和 这三个数中，最大的数是（），最小的数是（）。把3.07扩大（）倍是3070,把38缩小1000倍是（）。把0.5:化成最简整数比是（）：（），比值是（）。比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是（），当a=2.4时，这个式子的值是（）。甲乙两地相距26千米，在地图上的距离是 5.2厘米，这幅地图的比例尺是（ ）。一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱少（）。2、判断：（对的在括号里的，错的打“X”）平行四边形的面积一定，底与高成反比例。（）一个自然数，如果不是质数，就一定是合数。（）六年级同学春季植树91棵，其中9棵没活，成活率是91%。（ ）钟表上分针转

20、动的速度是时针的12倍。（）正方体的棱长扩大4倍，表面积就扩大16倍。（）3、选择：（把正确答案的序号填在括号里） 是一个最简分数，a和c一定是（）A、质数 B、合数 C、互质数下面的分数中能化成有限小数的是()题号成绩一 123二 1234三12四123456总分A B 、 C 、2003年上半年有()天A 181 B 、 182 C 、 183这个圆的面积是)三角形。用一张边长是2分米的正方形纸，剪一个面积尽可能大的圆,( )A 3.14 B 、12.56 C 、6.28一个三角形三个内角的度数比是2: 3: 4,这个三角形是(A、锐角 B 、直角 C、锐角二、计算。1、直接写出得数：X1

21、2=2.5-1.7=+3=0.5 X (2.62.4) =2.2+3.57=3.25 X4=0.9X ( 99+0.9)=2、解方程：x1.8=4.64+0.2x=30= 8x 2x=25.23、计算下面各题，能简算的要简算： 1488+1068+ 894.2+1.5 0.36250X +250XX 4、只列式不计算：27.2减去11.8与13的和，差是多少？比x的25%多,求x?三、操作题：1、做三角形底边上的高，量一量底是（）厘米，高是（）厘米，计算三角形的面积。2、画一个直径是4厘米的圆，并在圆中画出两条互相垂直的直径四、应用题：1、中百超市运来黄瓜和西红柿 350千克，其中黄瓜的重量占全部的，运来的黄 瓜多少千克？2、一桶油用去，还剩下48千克，这桶油原来重多少千克？ 3、甲乙两地相距270千米，A、B两辆车同时从甲、乙两地相对开出，甲车每小