一次函数与方程不等式的关系

1、一 次 函数 与方 程、 不等 式 的 关 系一次函数与一元一次方程的关系：一般的一元一次方程 kx b 0的解就是一次函数 y kx b的图象与x轴交点的横坐标。直线与坐标轴的交点坐标的求法：(1)直线ykxb与y轴交点的横坐标是0,当x=0时，一次函数y kxb的函数值y b, b就是交点的纵坐标，即 直线y kx b与y轴的交点为(0, b);(2)直线ykxb与x轴交点的纵坐标是0,故令y=0,得到方程kx b0 ,解方程得x -,kbb一就是直线y kx b与x轴交点的横坐标，即 直线y kx b与x轴的交点为(一，0).kk一次函数与一元一次不等式的关系：(1) 一般的，一元一次不

2、等式kx b 0(或kx b 0)的解集，就是使一次函数y=kx+b的函数值大于0 (或小于0)时自变量x的取值范围。(2)从图象上看，一元一次不等式kx b 0的解集是直线y=kx+b位于x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围；一元一次不等式kx b 0的解集是直线y=kx+b位于x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围；一次函数与二元一次方程的关系：(1) 一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx y b的一组解；(2)以二元一次方程 kx y b的解为坐标的点都在一次函数y kx b的图象上(3)对于同一个数学模型 y=kx+b k 0 ,若将其中的x、y看做变量，

3、则它表示一个一次函数；若将x、y看做未知数，则它就是一个二元一次方程，二者本质相同一次函数与二元一次方程组的关系：两条直线11 ： ykixbik10 ,l2：yk?xb2k20的交点坐标就是关于x、y的方程组y k1x n的解y k2x b2用图象法解方程组：画出二元一次方程组中的两个一次函数的图象，找出他们的交点，该交点坐标就是二元一次方程组的解。二元一次方程组的解的情况与对应的两条直线的位置关系之间的联系：a1x biy C|,对于由两个二元一次方程组成的二元一次方程组17,有以下规律：a2x b2y c2(1)当亘 bL 巴时，方程组有无数个解，对应的两直线重合；a2 b2 C2(2)

4、当亘 bL c_时，方程组无解，对应的两直线平行；a2 b2 C2(3)当亘 b1时，方程组有唯一解，对应的两直线相交 a2 b2对于直线y kix bi与y k?x b2,有如下规律：(1)当ki k2,bi电时，两直线重合；(2)当ki k2,bi b2时，两直线平行；(3)当ki k2,时，两直线相交练习题i、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是()A x y 20,b 2x y i0,c 2x y i0,口 x y 20,3x 2y i0 3x 2y i0 3x 2y 502x y i0y2.一次函数y=kx

5、+b ( k, b是常数，k乎0)的图象如图所示，则不等式kx+b>0的解集是()A. x>-2 B . x>0 C . xv -2 D . xv 0| y kx b3、已知直线y kx b经过A(-2 ,-i )和B(-3,0 )两点，则不等式组 iZ kx b 0的解集为 04、已知一次函数的图象过点A (i, 4), B (-i , 0),求函数表达£ 并加出£的图象,再利用图象求：(i)当x为何值时，y 0, y 0, y 0；(2)当3 x 0时，y的取值范围；(3)当2 x 2时，y的取值范围；5、已知一次函数 y (2m 4)x (3 n),

6、求(1) m n满足什么条件时，y随x的增大而增大？(2) m n满足什么条件时，函数的图象与y轴的交点在x轴下方？(3) m n满足什么条件时，函数的图象经过原点?6、画出函数y 2x 1的图象，利用图象求：(1)方程2x 1 0的解；(2)不等式2x 1 0的解集；(3)当y 3时，x的取值范围；(4)当3 y 3时，x的取值范围。7、如图所示，直线 y kx b经过点 A (-1 , -2)和B (-2,0 ),直线y 2x过点A,则不等式组2x kx b 0的解集为。8、画出函数y 3x 9的图象，结合图象；(1)求方程3x 9 0的解；(2)求不等式3x 9 0的解集；(3)当y 3

7、时，求x的值；(4)当y 3时，求x的范围。9、作出函数y 3x 1的图象，根据图象回答：(1) x取什么值时，函数值 y大于零？(2) x取什么值时，函数值 y小于零？(3) x取什么值时，函数值 y小于-2?7、若点A (2, a) ,B (b,3) ,C (c, 4)都在直线y 2x 3上，i求a,b,c的值，并判断这三个点的坐标是否为方程 y 2x 3的解。(一次函数与二元一次方程的关系)8、画出函数y 3x 6与y x 4的图象，并利用图象解决下列问题：y 3x 6(1)解方程组 y；(用图象法解方程组)y x 4(2)解不等式3x 6 x 4；(3)当x取何值时，3x 6 0与 x

8、 4 0同时成立？9、若直线y ax 5与直线y 3x 6平行，则a =。10、已知一次函数 y mx 4有如下T质：y随x的增大而减小，且分别与直线x=1 , x=4在第一象限相交于点A,D,直线x=1, x=4分别与x轴相交于点B,C,若四边形ABCD勺面积为8.(一次函数与图形面积综合题)(1)求m的值及此一次函数的表达式；(2)若直线y mx 4与x轴相交于点E,与y轴相交于点F,求点E,F的坐标及VEOF的面积。1311、已知函数y x和y x 4,求这两个函数的图象与 x轴，y轴分别围成的三角形的面积。 22、 3x 4y 4-. 12、利用图象法解方程组,；(二元一次方程组的图象

9、解法及应用)6x 8y 313、如图所示，直线11 ： y x 1与直线l2 ： y mx n相交于点P(1 , b)(点P在第一象限，m<0)(1)求b的值；y x 1(2)不解关于x, y的方程组 "，请直接写出它的解；y mx n直线13： y nx m是否也经过点 P?请说明理由。14、点A (-3,0 ) B (0,6) C (0,1 ) D (2,0)的坐标如图所示(略)，求直线 AB与直线 CD的交点坐 标。15、某种钳金饰品在甲、乙两个商品销售，甲电标价 477元/克，按标价出售，不优惠；乙店标价 530 元/克，但若买的钳金饰品质量超过3克，则超出部分可打八折

10、出售.(图象法解方程组的实际应用)(1)分别写出到甲、乙商店购买该种钳金饰品所需费用y (元)和质量x (克)之间的表达式；(2)李阿姨要买一条质量不少于4克且不超过10克的此种钳金饰品，到哪个商店购买合算？16、在同一平面直角坐标系中画出直线y1x 4和丫2 2x 5,根据图象：(1)求两条直线交点的坐标；(2)确定x分别取什么值时，y1y2, Yi y2, Yi y2 ；17、在同一平面直角坐标系中，若一次函数y x 3与y 3x 5的图象交于点 M则点M的坐标为。23x 17y 6318、用图象法解方程组：y ；(注意：画图象时误差太大，需先化简)17x 23y 5719、如图所示，已知

11、函数 y ax b和y kx的图象交于点 P (-4,-2),则根据图象可得关于 x, y的二元-次方程组y ax b的解是。y kx20、一次函数y kx b (k,b为常数，且k 0)的图象过点(2,3),则关于x、y的二元一次方程kx y b 3 0的一组解为。一次函数与一元一次方程的关系一次函数y kx b的图象如图所示，则方程 kx b 0的解为()A、x=-2 B 、y=-2 C、x=-1 D、y=-1直线y 2x b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程的2x b 0的解是一元一次方程ax b 0的解是x=3,则函数y ax b的图象与x轴的交点坐标。已知点P(2, 1)是

12、直线y kx 4上的一点，则方程 kx 5 0的解为 O已知一次函数y ax b (a, b是常数)，x与y的部分对应值如下表:x-2-10123y6420-2-4那么方程ax b 0的解是。若一次函数y ax b的图象经过点(2,3),则方程ax b 3的解为O已知一次函数y x 2与一次函数y mx n的图象交于点P(a, 2),则关于x的方程x 2 mx n的解是。提升练习一次函数与一元一次不等式的关系利用函数的图象解方程 2x 4 3x 6利用方程确定函数的图象与坐标轴的交点坐标1 1如图，一次函数 y (3x b)的图象经过直线 y (x 1)与x轴的交点A,试确定b的值，并计 22

13、算两条直线与y轴的交点的B, C和点A构成的三角形面积(图见 31) 利用函数图象解一元一次不等式画出一次函数y 2x 5的图象，观察图象回答下列问题：(1) x取何值时，2x 5 0;(2) x取何值时，2x 5 0;已知y1x 3, y2 3x 4,当x取何值时，y1 丫2?当x取何值时，y1 刈?利用一次函数与一元一次方程的关系解几何问题直线yx 2与x轴，y轴分别交于点 A和点B,另一直线y kx b经过点C (1,0),且把三角形AO的成两部分，若三角形 AO啾分成的两部分面积相等，求 k和b的值。 基础题一次函数与二元一次方程的关系直线y kx b k 0的表达式就是一个关于 x,

14、 y的 方程；以二元一次方程 y kx b的解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象。以方程2x y 5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 的图象相同。一次函数与二元一次方程组的关系a1x by c1通过二元一次方程组1 y的解与系数之间的关系， 不解方程组也可以判断出方程组解的情a2x b2y c2况：(1)当曳 b1时，二元一次方程组中所对应的两条直线 a2 b2方程组；(2)当曳 . 曳时，二元一次方程组中所对应的两条直线 a2 b2 c2方程组；(3)当曳 . 土时，二元一次方程组中所对应的两条直线 a2 b2 C2方程组；当 ki k2时，两条直线 li：y kix bi(ki

15、0), I2: y k?x b?(k2 0)的交点的就是方程组k1x b|k2xb2；当ki k2,bi b2时，两条直线平行，则方程组ykixyk2xbib2、已知函数2xxi的图象交于点p(i,-i),根据图形可得方程组2x的解是i、两条直线1i : y kixbi（ki0）和 12 ： yk2x b2（k20）相交于点 a （ -2,3),则方程组A、kix bik2x b2的解是(、不解方程组也不画图,可知方程组x 2y3x 6y的解的情况()6A、有唯组解 B、有无穷多组解、用图象法解某二元一次函数方程组时,C、无解D、以上都不对在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所

16、示)(见32面)，则所解的二元一次方程组是(A、x y 2 0BB、3x 2y i 02x y i 03x 2y i 02xD、3x2y 5 0x y 2 02x y i 0用图象法解方程组x 2y 4x y 1提升题、把下列二元一次方程写成一次函数的形式:(1) 4x y 7 (2)2(x y) 3y 13、既不解方程组也不画图, 判别方程组解的情况）你能判断下列方程组的解的情况吗?（利用方程组解与系数间的比例关系,x y 5(1)2x y 8y，8x4x 12y 27x(3)7x310y10 y3、在同一平面直角坐标系内画出二元一次方程2x y 2 0和x y 3 0所对应的一次函数的图象

17、，利用图象求：（利用二元一次方程（组）与一次函数的关系确定方程（组）的解） （1）方程2x 2 x 3的解；方程组2x y 2 0的解；x y 3 01 、如图，直线AB: y -x 1分别与x轴、y轴交于点 A B,直线CD y x b分别与x轴正半轴、 2y轴负半轴交于点 C D,直线AB与直线CD相交于点P,且点P的横坐标为4。（图见33）（利用二元 一次方程组解与一次函数有关的面积问题）（1）求点D的坐标；（2）求VADP的面积；、在平面直角坐标系中， 直线11经过点（2,3）和（-1 , -3）,直线12经过原点，且与直线11交于点（-2,a）（利用交点的意义求直线的表达式及两直线与坐标轴围成的三角形的面积）（1）试求a的值；（2）试问（-2, a）可看成是怎样的二元一次方程组的解？（3）设交点坐标为 P,直线1i