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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上正交变换法和配方法化二次型标准形1配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理：情形1: 如果二次型含某文字例如的平方项，而,则集中二次型中含的所有交叉项，然后与配方，并作非退化线性替换（）则,其中是的二次型。对重复上述方法直到化二次型为标准形为止.情形2: 如果二次型不含平方项，及 ,但含某一个 ，则可先作非退化线性替换把化为一个含平方项的二次型，再用情形1的方法化为标准形.例1.1：用配方法化二次型=为标准形，并写出所用的非退化线性替换.解：先对配方消去所有含有的项，： =+- =-+- =-再对配方消去所有含的项；： =-

2、=-作线性替换 把二次型化为标准形 =注：用配方法所化得的标准形不唯一，如若作非退化线性替换为 或 则二次型化得标准形是= 例1.2：用配方法化二次型=+- 为标准形，并写出所用的非退化线性替换.解：作非退化线性替换 则 =+-=先对配方，=-+=-+-再对配方，=-=-+作线性替换 把二次型化为标准形：=2正交变换法化二次型标准形正交变换法化二次型标准形的一般步骤：(1)写出的特征方程,求出的全部特征值.(2)对于各个不同的特征值，求出齐次线性方程组的基础解系，即解空间的一个基底（但不一定是标准正交基），然后把它们施密特正交化.(3)把上述求得的n个两两正交的单位特征向量作为矩阵的列向量，就

3、是使二次型化为标准形的正交变换.例2.1：用正交变换化二次型=+为标准形，并求所作的正交变换.解: 二次型的矩阵, 求出的特征值: 由 = =得特征值 ，其次，求属于-1的特征向量 把代入 （1）求得基础解系 把它正交化，得 再单位化，得 再求属于8的特征向量，把代入（1），求得基础解系 把它单位化得 于是正交矩阵为 作非退化线性替换,二次型的标准形为=3 两种方法的比较例3.1：用可逆线性变换化下列二次型为标准形.=解：方法1) 用配方法作非退化线性替换 =+ = =令 则二次型的标准形为=方法2) 用正交变换法二次型的矩阵 =由 = =得特征值 ，把代入 （1）求得基础解系 正交化，得 再单位化，得 把代入（1），求得

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