连续时间傅立叶变换讲义

1、本本章的主要内容章的主要内容: :1. 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换;2. 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系;3. 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质;4. 系统的频率响应及系统的频域分析；系统的频率响应及系统的频域分析； 在工程应用中有相当广泛的信号是非周在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，线性时不什么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系统对非周期信号的响应如何求得，就变系统对非周期信号的响应如何求得，就是这一章要解决的问题。是这一章要解决的问题。4.0

2、 引言引言 Introduction 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期性延拓，就一定能形如果将任何非周期信号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。成一个周期信号。 我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋于无趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的穷大时的变化，就应该能够得

3、到对非周期信号的频域表示方法。频域表示方法。4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform一一. .从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换 我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 增大时，频谱的幅度随增大时，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线的增大而下降；谱线间隔随间隔随 的增大而减小；但频谱的包络不变。的增大而减小；但频谱的包络不变。0T0T0T再次考察周期性矩形脉冲的频谱图

4、：再次考察周期性矩形脉冲的频谱图： 当当 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。非周期的单个矩形脉冲信号。 0T （a）（b）(a)014TT(b) 0ka0202ka14140018TT012 由于由于 也随也随 增大而减小，并最增大而减小，并最终趋于终趋于0 0，考查，考查 的变化，它在的变化，它在 时应该时应该是有限的。是有限的。0 1100 1sin2kkTTaTkT0T0kT a0T 于是，我们推断出于是，我们推断出: :当当 时，离散的频谱将时，离散的频谱将演变为连续的频谱。演变为连续的频谱。0T 000/20/2( )Tjktk

5、TT ax t edt由由当当 时时, ,0T 002,dT0,k()( )j tX jx t edt00lim()kTTaX j如果令如果令则有则有001()kaX jkT与周期信号傅立叶级数对比有：与周期信号傅立叶级数对比有： 这表明这表明: :周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。频谱的样本。根据傅立叶级数表示：根据傅立叶级数表示： 000000011( )()()2jktjktjktkkkkx ta eX jkeX jkeT连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换当当0T 时，时，( )( ),x tx t002,dT0k于是有：于是有

6、：1( )()2j tx tX jed傅立叶反变换傅立叶反变换 此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为连续分布、振幅为 的复指数信号之和。的复指数信号之和。 由于由于 具有频谱随频率分具有频谱随频率分布的物理含义，因而称布的物理含义，因而称 为频谱密度函数。为频谱密度函数。1()2X jd 0000,00()limlimkkTTfaX jTaf()X j1( )()2j tx tX jed()( )j tX jx t edt于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法这一对关系被称为连续时间傅

7、立叶变换对。这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。 可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络。谱的包络。 既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。致。二二. 傅立叶变换的收敛傅立叶变换的收敛这表明能量有限的信号其傅立叶变换一

8、定存在。这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。2. Dirichlet 条件条件( )x t dt a. 绝对可积条件绝对可积条件1. 若若2( )x tdt 则则 存在。存在。()X j也有相应的两组条件：也有相应的两组条件：b. 在任何有限区间内，在任何有限区间内， 只有有限个极值点，只有有限个极值点， 且极值有限。且极值有限。( )x tc. 在任何有限区间内，在任何有限区间内， 只有有限个第一类间只有有限个第一类间断点。断点。( )x t 应该指出应该指出: :这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件。这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件。( )x t( )x t 和周期信号的情况一样

9、，当和周期信号的情况一样，当 的傅立叶变换存的傅立叶变换存在时，其傅立叶变换在在时，其傅立叶变换在 的连续处收敛于信号本的连续处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生点附近会产生Gibbs 现象。现象。 sin tt 这两组条件并不等价。例如：这两组条件并不等价。例如： 是平方可积是平方可积的，但是并不绝对可积。的，但是并不绝对可积。三三. .常用信号的傅立叶变换：常用信号的傅立叶变换：1.( )( ),0atx teu ta01()atj tX jeedtaj221()X ja-1()tgX ja ( )x tt01a

10、a01/a()X j12a/2/2aa()X j/4/42.( ),0atx tea 结论：实偶信号的傅立叶变换结论：实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。此时可以用一幅图是实偶函数。此时可以用一幅图表示信号的频谱。表示信号的频谱。对此例有对此例有()()X jX j()0X j()X j2a1aaa( )xtt100022()112atj tatj tX je edteedtaajaja3.( )( )x tt()( )1jtXjt edt0( ) tt 这表明这表明 中包括了所有的频率成分，且所有频中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲率分量的幅度、相位都相

11、同。因此，系统的单位冲激响应激响应 才能完全描述一个才能完全描述一个LTI系统的特性，系统的特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。( ) t( )h t( ) t()X j0111111111112sin2sin()2Sa()2Sinc()Tj tTTTTX jedtTTTTT 显然，将显然，将 中的中的 代之以代之以 再乘以再乘以 ，即，即是相应周期信号的频谱是相应周期信号的频谱()X j0k01T011101000sin22Sa()kkTTTakTTTkT4. 矩形脉冲矩形脉冲: :( )x t 1,1tT0,1tT1T1Tt( )x t1

12、( )x tt1T1T1 10 0( )x tt12T12T1 10 0()X j0 01T12T12T()X j14T0 0不同脉冲宽度对频谱的影响不同脉冲宽度对频谱的影响可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。( (称为理想低通滤波器称为理想低通滤波器) ) 与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域之间与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。存在一种对偶关系。5.1，0，()X jWW1sin( )Sa()sinc()2Wj tWWtWWWtx tedWtt()X jWW1 10 0( )x tt(/)W0 0W

13、对偶关系可表示如下对偶关系可表示如下:( )x tt1T1T1 10 0()X jWW1 10 0()X j0 01T12T( )x tt(/)W0 0W 同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。瓣越宽，反之亦然。 对例对例5. 我们可以想到，如果我们可以想到，如果 ，则，则 将趋于将趋于一个冲激。一个冲激。W ( )x t6. 若若 则有则有( )1x t ()2( )X j 因为因为11()22Wj tWed 所以所以( )12( )Fx t

14、 四四. 信号的带宽信号的带宽( Bandwidth of Signals ): 由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法

15、要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法:2. 对包络是对包络是 形状的频谱，通常定义主瓣宽形状的频谱，通常定义主瓣宽度度(即频谱第一个零点内的范围即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。为信号带宽。Sa( ) x 下降到最大值的下降到最大值的 时对应的频率范围时对应的频率范围, ,此时带内信号此时带内信号分量占有信号总能量的分量占有信号总能量的1/2。1.()X j12 以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数以带宽等于常数C (脉宽带宽积脉宽带宽积)。这清楚地反映了频域。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。和时域的相反关系。

16、 4.2 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换 到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法的不一致，在某些情况下的不一致，在某些情况下, , 会给我们带来不便。但会给我们带来不便。但由于周期信号不满足由于周期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直接从条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。定义出发，建立其傅立叶变换表示。 001( )()()2jtj tj tx tX jedede The Fourier Transformation of

17、 Periodic Signals所对应的信号所对应的信号0()2()X j 考查考查 这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为0( )jktkkx ta e就有就有0()2()kkX jak 周期信号的傅立叶变换表示周期信号的傅立叶变换表示0( )jktx te0()2()X jk 若若 则则 这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激

18、强度正比于对应的傅立叶级数的系数其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数 。ka例例1： 0001( )sin2jtjtx tteej00() ()()X jj ()X j00jj000() ()()Xj 22222111( )( )TTjktTkTTat edtt dtTTT()X j0000001( )cos2jtjtx ttee例例2： ( )()nx ttnT例例3： 均匀冲激串均匀冲激串TT2T2T0( )x tt1()X j02T2T2T( )()nx ttnT22()()kX jkTT 22()()kX jkTT 例例4. 周期性矩形脉冲周期性矩形脉冲10022sin()2()()

19、kkTTXjkkT 1011002sin22Sa()kTkTTakTTTk10212TT()X j02T1T1T01( )x tt0T0T4.3 连续时间傅立叶变换的性质连续时间傅立叶变换的性质 讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。性质可以简化傅立叶变换对的求取。1. 线性线性: Linearity则则( )( )()()ax tby taX jbY jProperties of the Continuous-T

20、ime Fourier Transform( )(),( )()x tX jy tY j若若2. 时移时移: Time Shifting这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。会增加一个线性相移。( )()x tX j则则00()()j tx ttX je若若3. 共轭对称性共轭对称性: Conjugate and Symmetry 若若 ( )()x tX j则则*( )()x tXj*()( )j tXjx t edt所以所以*()( )j tXjx t edt即即*( )()x tXj 若若 是实信号，则是实信号，则

21、( )x t*( )( )x tx t于是有于是有:*()()X jXj由由()( )j tX jx t edt可得可得Re()Re()X jXj即实部是偶函数即实部是偶函数虚部是奇函数虚部是奇函数 若若()()()j X jX jX je则可得出则可得出()()X jXj()()X jXj 即：模是偶函数，相位是奇函数即：模是偶函数，相位是奇函数 若若则可得则可得()Re()Im()X jX jjX jIm()Im()X jXj 如果如果( )()x txt即信号是偶函数。则即信号是偶函数。则()( )j tX jx t edt()( )()j tjxt edtxedtXj表明：表明： 实偶

22、信号的傅立叶变换是偶函数。实偶信号的傅立叶变换是偶函数。表明表明 是实函数。是实函数。()X j 若若 即信号是奇函数，同样可以得出即信号是奇函数，同样可以得出:( )()x txt *()()XjXj所以所以*()()X jXj又因为又因为()()X jXj 表明表明 是奇函数是奇函数()X j*()()X jXj ()X j表明表明 是虚函数是虚函数 若若( )( )( )eox tx tx t则有则有:()()()eoX jXjjXj( )()eex tXj()Re()eXjX j( )()oox tjXj()Im()oXjX j例例: 的频谱的频谱:( )u t( )( )( )eou

23、 tu tu t1( )2eu t 10( )u tt1/20( )eu tt-1/21/20( )ou tt将将 分解为偶部和奇部有分解为偶部和奇部有( )u t1( )Sgn( )2ou ttSgn( ) t 1,1,0t 0t ( )( )eu t 22022limajaj1( )()u tj 0Sgn( )lim( )()atatate u te ut011limaajajSgn( )tF1j1( )Sgn( )2ou tt11tSgn( ) tateate4.时域微分与积分时域微分与积分: Differentiation and Integration(可将微分运算转变为代数运算可将

24、微分运算转变为代数运算)(将将1( )()2j tx tX jed两边对两边对 微分即得该性质微分即得该性质)t由时域积分特性从由时域积分特性从( )1t也可得到也可得到:1( )( )u tj 1( )()(0) ( )txdX jXj （时域积分特性）（时域积分特性）( )()x tX j则则( )()dx tjX jdt若若5.时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换: Scaling当当 时，有时，有1a ()()xtXj 尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展 a 倍，则其带倍，则其带宽相应压缩宽相应压缩 a 倍，反之亦然。这就从理论上证明了时域与频

25、倍，反之亦然。这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。( )()x tX j则则1()()x atX jaa若若时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）6.对偶性对偶性: Duality若若( )()x tX j则则()2()X jtx2()()j txXjt edt2()()j txXjt edt()2()X jtx1( )()2j tx tXjed证明：证明：也可由也可由()( )j tX jx t edt得到证明。得到证明。1()()2()2j t

26、j tXjtxedxed根据根据()()xtXj得得00( ) ()jtx t eX j这就是移频特性这就是移频特性例如例如: : 由由 有对偶关系有对偶关系利用时移特性有利用时移特性有再次对偶有再次对偶有( )()x tX j( )2()X jtx00 ()2()jtXj ttxe002()2 ()jtxt eX j由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域由由()( )j tXjx t edt得得()( )j tdX jjtx t edtd所以所以( )()djtx tXjd频域微分特性频域微分特性该特性也可由对偶性从时域微分特性得出该特性也可

27、由对偶性从时域微分特性得出:( )()x tX j( )2()X jtx( )()djtx tX jd由由()()xtXj有有()2()dX jtj xdt 利用时域微分特性有利用时域微分特性有()2()X jtx对对2()2()()djtxtXjd再次对偶得再次对偶得频域微分特性频域微分特性由时域积分特性，可对偶出频域积分特性由时域积分特性，可对偶出频域积分特性( )()x tX j()2()X jtx22()()2(0) ()txX jdxj 利用时域积分特性利用时域积分特性()2 (0) ( )2()xtxtX jdjt再次对偶再次对偶( )(0) ( )()x txtXjdjt()()

28、xtXj由由有有频域积分特性频域积分特性7. Parseval定理定理:若若( )()x tX j则则221( )()2x tdtX jd 这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于以在频域求得。由于 表示了信号能量在表示了信号能量在频域的分布，因而称其为频域的分布，因而称其为“能量谱密度能量谱密度”函数。函数。2()X j4.4 卷积性质卷积性质 The Convolution Property一一. .卷积特性：卷积特性： 由于卷积特性的存在，使对由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频域进行分析系统在频域进行分析成为可能。本质上，卷积

29、特性的成立正是因为复指数成为可能。本质上，卷积特性的成立正是因为复指数信号是一切信号是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。( )()x tX j( )()h tH j则则( )( )()()x th tX jH j若若1( )()2jtx tXjed由由表明：表明：()( )j tH jh t edt故有故有可将可将 分解成复指数分量的线性组合，每个分解成复指数分量的线性组合，每个 通过通过LTI系统时都要受到系统系统时都要受到系统与与 对应的特征值对应的特征值的加权。这个特征值就是的加权。这个特征值就是( )x tj tej te1( )( )* ( )()()2j ty tx th

30、tX jH jed所以所以()() ()Y jX jH j 由于由于 的傅氏变换的傅氏变换 就是频率为就是频率为 的复指的复指数信号数信号 通过通过LTI系统时，系统对输入信号在系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。( )h t()H jjte 鉴于鉴于 与与 是一一对应的，因而是一一对应的，因而LTI系统系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的频率响应频率响应 都存在，因此用频率响应表征系统都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了时，一般

31、都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了( )h t()H j()H jdtth| )(|二二. . LTI系统的频域分析法系统的频域分析法: : 根据卷积特性根据卷积特性, ,可以对可以对LTI系统进行频域分析系统进行频域分析, , 其其过程为过程为: :1. 1. 由由2. 2. 根据系统的描述，求出根据系统的描述，求出3.3.4. 4. ( )()x tXj()H j()()()Y jX jH j1( ) ()y tY j F4.5 相乘性质相乘性质 The Multiplication Property利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质11( )()x

32、 tXj11()2()Xjtx22( )()x tXj22()2()Xjtx21212()()4()()XjtXjtxx若若11( )()x tXj22( )()x tXj则则12121( )( )()()2x tx tXjXj212124( )( )2()()xt xtXjXj 两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是幅度调制。其中一个信号另一个信号的幅度，这就是幅度调制。其中一个信号称为载波，另一个是调制信号。称为载波，另一个是调制信号。例例1:( )()x tX j002()jte 00( ) ()jtx t eX

33、j12121( )( )()()2x tx tXjXj移频性质移频性质例例2. 正弦幅度调制正弦幅度调制: :0( )(),( )coss tS jp tt( )( ) ( )r ts t p t( )p t( )s t( )r t10MM()S j( )r tt( )s t00() ()()P j 0( )00()P j001()() ()()2R jS j 0011() ()22S jS j 1/200()R j 正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。频位置。例例3. 同步解调同步解调:0001( )cos() ()()2r

34、 ttR j 00111() (2) (2)244S jS jS j1/21/41/4MM0202 此时，用一个频率特性为此时，用一个频率特性为的系统即可从的系统即可从 恢复出恢复出 。()H j( )r t( )s t()H j20cc只要只要02McM即可。即可。具有此频率特性的具有此频率特性的LTI系统称为理想低通滤波器。系统称为理想低通滤波器。例例4. 中心频率可变的带通滤波器：中心频率可变的带通滤波器：( )x t( )y t( )r t( )w t0jte0jtec()X j()W jcc()F jA00c0c()Y jc10c()Y j理想低通的频率响应理想低通的频率响应02c1

35、()H j等效带通滤波器等效带通滤波器 相当于从相当于从 中直接用一个带通滤波器滤出的中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为 的的带通滤波器，改变带通滤波器，改变 即可实现中心频率可变。即可实现中心频率可变。()X j004.6 傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表(自学自学) 工程实际中有相当广泛的工程实际中有相当广泛的LTI系统其输入输出关系可系统其输入输出关系可以由一个线性常系数微分方程描述。一般形式的以由一个线性常系数微分方程描述。一般形式的LCCDE是是:4.7 由线性常系数微分方程表征

36、的系统由线性常系数微分方程表征的系统00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt一一. 由由LCCDE描述的描述的LTI系统的频率特性系统的频率特性:Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations 由于由于 是一切是一切LTI系统的特征函数，因此系统的特征函数，因此 ，当，当 系统的输入为系统的输入为 时，系统所产生的响应就时，系统所产生的响应就是是 。表明在。表明在 的情况下，的情况下，求解求解LCCDE即即可得到可得到 。但是这种方法太麻。但是这种方法太麻烦，很少使用。烦，很少使用。 ( )()j ty tH je()H jjte( )j tx te( )j tx te对对LCCDE两边进行傅立叶变换有：两边进行傅立叶变换有：00()()