积分的数值方法课件

1、第第3 3章章 积分的数值方法积分的数值方法 3.1 概述概述 3.2 梯形积分法梯形积分法 3.3 抛物积分法抛物积分法 3.4 龙贝格积分法龙贝格积分法 3.5 高斯求积高斯求积 数值积分的基本思想数值积分的基本思想 积分值积分值 在几何上可以解释为由在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0 x=a,x=b,y=0以及以及y=f(x)y=f(x)这四条边所围成的曲边梯这四条边所围成的曲边梯形面积。如图形面积。如图3-13-1所示，而这个面积之所以难于计所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边算是因为它有一条曲边y=f(x) y=f(x) badxxfI)( y= f(x) a b

2、 图图3-1 数值积分数值积分 的几何意义的几何意义 建立数值积分公式的途径比较多建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的其中最常用的有两种：有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在，在积分区间积分区间a,b内存在一点内存在一点，使得，使得:即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为，高为 的矩形面积。但是点的矩形面积。但是点的具体位置一般是未知的的具体位置一般是未知的, 因而因而 的值也是未知的的值也是未知的, 称称 为为f(x) 在区间在区间a,b上上的平均高度。那么只要对平均高度的平均高度。那

3、么只要对平均高度 提供一种算提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法法，相应地就获得一种数值求积方法.bafabdxxfba,)()()()(f)(f)(f)(f三个求积分公式三个求积分公式 梯形公式梯形公式y=f(x)yxab)()()(21)(bfafabdxxfbay=f(x)abyx(a+b)/2 中矩形公式中矩形公式)2()()(bafabdxxfba按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如例如 分别取分别取和和 则分别则分别得到梯形公式和中矩形公式。得到梯形公式和中矩形公式。)(f)2()(baff2)()()(bfaffy

4、=f(x)ababyab Simpson公式公式(a+b)/2)()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfba作为平均高度作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值的近似值而获得的一种数值积分方法。积分方法。)()(21bfafab(a+b)/2在这三个公式中在这三个公式中, 梯形公式梯形公式是把是把 f(a), f(b) 的的平均值平均值 ：Simpson公式公式是以函数是以函数 f(x) 在在 a, b, (a+b)/2 这三点的这三点的函数值函数值 f(a), f(b), 的加权平均值的加权平均值 作为平均高度作为平均高度f(f( ) )的的近似值而获得的一种数值积分近似

5、值而获得的一种数值积分方法。方法。1()4()( )62abfaffb)2(baf中矩形公式中矩形公式是把是把 a,b 的中点处的函数值：的中点处的函数值： 作为作为平均高度平均高度f( )的近似值而获得的一种数值积分的近似值而获得的一种数值积分方法。方法。 )2(baf（2）先用某个简单函数先用某个简单函数 近似逼近近似逼近f(x), 用用 代替原被积函数代替原被积函数f(x)，即：，即： )(x)(xbabadxxdxxf)()(以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数函数 应对应对f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容易计算其积并且容易

6、计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计且又容易计算积分算积分,因此将因此将 选取为插值多项式选取为插值多项式, 这样这样f(x)的积的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。 )(x)(x3.4 3.4 插值求积公式插值求积公式 设已知设已知f(x)f(x)在节点在节点 处有处有函数值函数值 , , 作作n n次拉格朗日插值多项式：次拉格朗日插值多项式： ), 1 , 0(nkxk)(kxfnkkknxlxfxP0)()()()()()()(0kknkjjjkjkxxxxxxxxxl式中式中 )()()

7、(10nxxxxxxx这里这里 多项式多项式P Pn n(x(x) )易于求积易于求积, ,所以可取所以可取 作为作为 的近似值，即的近似值，即: : bandxxP)(badxxf)(knkkbaknkkbaknkkbanbaAxfdxxlxfdxxlxfdxxPdxxf 000)()()()()()()(bakkbakkdxxxxxdxxlA)()()()(其中其中 称为称为求积系数求积系数。给出如下定义。给出如下定义。 定义定义3.13.1 求积公式求积公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(其系数为其系数为 时，则称求积公式为时，则称求积公式为插值求积公式插值求积公式。 bakkdx

8、xlA)(3-10)(3-10)设插值求积公式的余项为设插值求积公式的余项为 , ,由插值余项定理得由插值余项定理得 )(fRbanbadxxnfdxxPxffR)()!1()()()()()1(ba,其中其中 当当f(x)f(x)是次数不高于是次数不高于n n的多项式时，有的多项式时，有 =0,=0,求积公式求积公式(3-10)(3-10)能成为准确的等式。由于能成为准确的等式。由于闭区间闭区间a,ba,b上的连续函数可用多项式逼近，所以上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)f(x)成为准确成为准确等式，是衡量该公式的精确程度

9、的重要指标，为此等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。给出以下定义。 0)()1(xfn)( fR定义定义3.2 （代数精度）（代数精度） 设求积公式（设求积公式（3-10）对于一）对于一 切次数小于等于切次数小于等于m的多项式的多项式( (mxxxxf, 1)(2mmxaxaxaaxf2210)(是准确的，而对于次数为是准确的，而对于次数为m+1m+1的多项式是不准确的，的多项式是不准确的，则称该求积公式则称该求积公式具有具有m m次代数精度次代数精度（简称代数精度）（简称代数精度） 由定义可知，若求积公式（由定义可知，若求积公式（3-103-10）的代数精度为）的代数精

10、度为n n，则求积系数则求积系数 应满足线性方程组：应满足线性方程组： kA或或)1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn这是关于这是关于 的线性方程组，其系数矩阵的线性方程组，其系数矩阵kAnnnnnnxxxxxxxxx102212010111是梵得蒙矩阵是梵得蒙矩阵, 当当互异时非奇异互异时非奇异, 故故 有唯一解。有唯一解。 ), 1 ,0(nkxkkA定理定理3.1 n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式为插值型求积公式的充要条件是公式 至少具有至少具有n次代数精度。次代数精度。 nkkkbaxf

11、Adxxf0)()(证证: : 充分性充分性 设设n+1n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式为插值型求积公式, ,求积系数为求积系数为: : 又又 当当f(x)f(x)为不高于为不高于n n次的多项式时次的多项式时, ,f(x)=P(x),f(x)=P(x),其余项其余项R(f)=0R(f)=0。因而这时求积公式至少。因而这时求积公式至少具有具有n n次代数精度。次代数精度。nkkkbaxfAdxxf0)()(dxxlAbakk)()()()(xRxPxfn定理定理3.1 n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式为插值型求积公式的充要条件是公

12、式 至少具有至少具有n次代数精度。次代数精度。 nkkkbaxfAdxxf0)()(nkjjjkjkxxxxxl0)(), 1 , 0(nk必要性必要性 若求积公式至少具有若求积公式至少具有n n次代数精度次代数精度, ,则对则对n n次次 多项式多项式精确成立精确成立, ,即即njjkjbakxlAxxl0)(d )(jkjkxlkjjk01)(而而取取 时时)()(xlxfknjjkjbakbaxlAxxldxxf0)(d)()(所以有所以有 , , 即求积公式为插值型求积公式即求积公式为插值型求积公式 dxxlAbakk)(例例3.1 设积分区间设积分区间a, b为为0, 2时，取时，取

13、 时时, , 分别用梯形和辛卜生公式分别用梯形和辛卜生公式 xexxxxxf, 1)(43220)2()0()(ffdxxf20)2() 1 (4)0(31)(fffdxxf计算其积分结果并与准确值进行比较计算其积分结果并与准确值进行比较解解: :梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比 较如下表所示较如下表所示 f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 准确值准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式计算值梯形公式计算值 2 2 4 8 16 8.389 辛卜生公式计算值辛卜生公式计算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421 从表中可以

14、看出从表中可以看出, ,当当f(x)是是 时时, ,辛辛卜生公式比梯形公式更精确卜生公式比梯形公式更精确 432,xxx 一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有梯形公式和中矩形公式具有1 1次代数精度，辛卜生公次代数精度，辛卜生公式有式有3 3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证。次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证。 babfafabdxxf)()(2)(取取f(x)f(x)=1时，时， abababdxba) 11 (2,1两端相等两端相等 取取f(x)=xf(x)=x时时, , )(21)(2),(212222abba

15、ababxdxba取取f(x)=xf(x)=x2 2 时时, , baabbabaababdxx)(21)(2),(312222332两端不相等两端不相等 所以梯形公式只有所以梯形公式只有1 1次代数精度。次代数精度。 两端相等两端相等 例例3.2 试确定一个至少具有试确定一个至少具有2次代数精度的公式次代数精度的公式 40)3()1()0()(CfBfAfdxxf解解: : 要使公式具有要使公式具有2 2次代数精度次代数精度, ,则对则对f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2 求积公式准确成立，即得如下方程组。求积公式准确成立，即得如下方程组。 3649834CBCBCBA920,3

16、4,94CBA解之得：解之得：) 3(20) 1 (12)0(491)(40fffdxxf所求公式为：所求公式为： 例例3.3 试确定求积系数试确定求积系数A,B,C A,B,C 使使 具有最高的代数精度具有最高的代数精度解解: :分别取分别取f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2 使求积公式准确成立使求积公式准确成立, ,即即 得如下方程组。得如下方程组。所得求积公式为：所得求积公式为：11) 1 ()0() 1()(CfBfAfdxxf3202CACACBA对于对于f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2,x,x3 3都准确成立都准确成立, ,对于对于f(x)=xf(x)=x

17、4 4 就不就不准确了，所以此求积公式有准确了，所以此求积公式有3 3次代数精度。次代数精度。) 1 (31)0(34) 1(31)(11fffdxxf 由于由于n+1节点的插值求积公式至少有节点的插值求积公式至少有n次代数精次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如的代数精度。例如 插值求积公式插值求积公式 有三个节点，至少有有三个节点，至少有2次代数精度，是否有次代数精度，是否有3次代次代数精度呢？将数精度呢？将f(x)=x3代入公式两端，左端和右端代入公式两端，左端和右端都等于都等于(b4-a4)/4,公式两端严格相等

18、，再将公式两端严格相等，再将f(x)=x4代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有有3次代数精度。次代数精度。)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba 的代数精度的代数精度可以验证可以验证, 对于对于f(x)=1, x时公式两端相等时公式两端相等, 再将再将f(x)=x2代入公式代入公式 左端左端) 1 () 0(2) 1(21)(11fffdxxf例例3.4 考察求积公式考察求积公式两端不相等两端不相等, 所以该求积公式具有所以该求积公式具有 1 次代数精度次代数精度.三个节点不一定具有三个节点不一定具有2次代数精度，次代数精度，因为

19、不是插值型的因为不是插值型的3231113112xdxx11121) 1 () 0(2) 1(21fff右端右端例例3.5 给定求积公式如下：给定求积公式如下： 4322141231)(10fffdxxf试证此求积公式是插值型的求积公式试证此求积公式是插值型的求积公式 证证: :设设 , ,则以这三点为插值节点的则以这三点为插值节点的 LagrangeLagrange插值基函数为插值基函数为 43,21,41210 xxx4321843412141/4321)(0 xxxxxl43411643214121/4341)(1xxxxxl2141821434143/2141)(2xxxxxldxxx

20、dxxxdxxl102101008345843218)(3223882318832145318dxxxdxxxdxxl10210101163)16(4341)16()(3136161636116163213116）（）（dxxxdxxxdxxl102101028143821418)(32238812143318由插值型求积公式的定义知，所给的求积公由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。式是插值型求积公式。 4322141231)(10fffdxxf插值型求积公式为插值型求积公式为 ) 1 ()0(2) 1(21)(11fffdxxf例例3.6 求证求证不是插值型的不是插值型

21、的证明证明: 设设 x0 = -1, x1 =0, x2 =1, A0 =1/2, A1=1, A2=1/2 则以这三点为插值节点的则以这三点为插值节点的Lagrange插值插值 基函数为：基函数为： 1200102202110121022021112011()()(1)1( )(1)()()1( 11)2()()(1)(1)( )(1)()()1( 1)()()(1)1( )(1)()()(11)21112( )()2223xxxxx xlxx xxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx xlxx xxxxxlx dxxx dx 1121111122111102324( )(1)2331

22、11211( )()0222323lx dxxdxlx dxxx dx 012012( )0,1, 214133311A =,A =1,A = 22bkkaAlx dxkAAA插 值 型 求 积 系 数 为，与 原 求 积 公 式 系 数 不 一 致（ 原 求 积 公 式 系 数若 与 原 求 积 系 数 一 致 ， 则 是 插 值 型 的 ）原 求 积 公 式 不 是 插 值 型 的 。证 毕 。 例例3.7 给定求积公式给定求积公式试确定求积系数试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度数精度，并指出其代数精度)() 0()()(1

23、0221hfAfAhfAdxxfhh解：令求积公式对解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有准确成立，则有312121110131604hAhAhhAhAhAAA 例例3.7 给定求积公式给定求积公式试确定求积系数试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度数精度，并指出其代数精度)() 0()()(10221hfAfAhfAdxxfhh)(2)0()(234)(38,3422110hffhfhdxxfhAAhAhh解之得解之得其代数精度至少为其代数精度至少为2,将将f(x)=x3代入求积公式两端相代入求积公式两端相等等,

24、而将而将f(x)=x4代入求积公式两端不相等代入求积公式两端不相等,所以其代所以其代数精度为数精度为3次次 例例 3.8 确定求积公式确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度使其具有尽可能高的代数精度)()()()(321afAbfAafAdxxfba32223221312hhAhAhAhAA解：不妨设解：不妨设a=0, b=h, b-a=h, 设所求公式的代数设所求公式的代数 精度为精度为2,则当则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式时公式变成等式,即即 例例 3.8 确定求积公式确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度使其具有尽可能高的代数精度)()()()(321afAbfAafAdxxf

25、ba解：不妨设解：不妨设a=0, b=h, b-a=h, 设所求公式的代数设所求公式的代数 精度为精度为2,则当则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式时公式变成等式,即即)()(2)(46)(32,6,31232afhbfafhdxxfhAhAhAba其中其中h=b-a, 令令f(x)=x3代入上式代入上式, 两端不等两端不等, 说明求积说明求积公式只有公式只有2次代数精度。次代数精度。解之得：解之得：构造插值求积公式有如下特点：构造插值求积公式有如下特点：(1)复杂函数复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分的积分转化为计算多项式的积分(2) 求积系数求积系数Ak只与积分区间及节点只与

26、积分区间及节点xk有关，而与被有关，而与被积函数积函数f(x)无关，可以不管无关，可以不管f(x)如何，预先算出如何，预先算出Ak的值的值(3) n+1个节点的插值求积公式至少具有个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度次代数精度(4) 求积系数之和求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性可用此检验计算求积系数的正确性 abAnkk0 abAnkk000001()()()1,()1nbbkkaaknbbkaaknkknfx d xpx d xAfxnfx d xd xAbaAbaAAAban证 ：当 节 点 为个 时 ， 插 值 求 积 公 式 有 n 次 代数 精 度 , 对 于 f (

27、 x ) = x上 式 严 格 相 等 , 所 以取 f ( x ) = 1 时 ， 上 式 也 严 格 相 等 ， 因 此 有即例例 3.9 求证当节点为求证当节点为n+1个时个时, 插值求积系数之和为插值求积系数之和为 (1) (1) 在积分区间在积分区间a,ba,b上选取节点上选取节点x xk k (2) (2) 求出求出f(xf(xk k) )及利用及利用 或解关于或解关于A Ak k的线性方程组求出的线性方程组求出A Ak k，这样，这样 就得到了就得到了(3) 利用利用f(x)=xn,验算代数精度验算代数精度 构造插值求积公式的步骤构造插值求积公式的步骤bakkdxxlA)()()

28、(0kbankkxfAdxxf例例3.10 对对 构造一个至少有构造一个至少有3次代数精度次代数精度 的求积公式的求积公式30)(dxxf解解: 3次代数精度需次代数精度需4个节点个节点, 在在0,3上取上取0,1,2,3四个四个 节点构造求积公式节点构造求积公式) 3()2() 1 ()0()(321300fAfAfAfAdxxf确定求积系数确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式利用求积系数公式302330083) 6116(61) 30)(20)(10 () 3)(2)(1(dxxxxdxxxxA)3()2(3)1 (3)0(83)(83,89,89)31)(21)(01

29、 ()3)(2)(0(3032301ffffdxxfAAdxxxxA因为求积公式有因为求积公式有4个节点，所以至少具有个节点，所以至少具有3次代数精次代数精度，只需将度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有代入两端不相等，所以只有3次代数精度次代数精度3.4.1 牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式求积公式 在插值求积公式在插值求积公式nkkkbanbaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中,当所取节点是等距时称为当所取节点是等距时称为牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式其中其中 插值多项式为：插值多项式为：

30、 求积系数为：求积系数为： )()()(0nkkknxfxlxPbakkdxxlA)(这里这里 是插值基函数。即有：是插值基函数。即有： )(xlkdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分, 步长步长求积节点为求积节点为 为了计为了计算系数算系数Ak, 由于由于 , 所以所以nabh), 1 ,0(nkkhaxkhikxxik)( nknnkkkkkkhknkxxxxxxxx)!( !) 1()()()(110作变量代换作变量代换 当当 时时,有有,于是可得：于是可得： thaxkbax,nt, 0dxxxxxdxxlAban

31、kiiikibakk 0)(dthhntktkttthknknnnkn0)() 1)(1() 1()!( !) 1(dtitknnkabnnkiikn00)()!(!)1()(dtitknnkCnnkiiknk00)()!(!)1( ( k=0,1,n ) 代入插值求积公式代入插值求积公式( (3-10)中，中，有：有： nkkkbaxfCabxxf0)()(d)(称为称为牛顿牛顿- -柯特斯求积公式柯特斯求积公式,C,Ck k称为柯特斯系数称为柯特斯系数引进记号：引进记号：kkCabA)( ( k=0,1,n ) 则有：则有：容易验证容易验证 10nkkC bakkkkdxxlAAabC)(

32、1 nkbaknkkdxxlabC00)(1111)(10 babankkdxabdxxlab显然显然, , C Ck k是不依赖于积分区间是不依赖于积分区间a,ba,b以及被积函数以及被积函数f(x)f(x)的的常数常数, ,只要给出只要给出n,n,就可以算出柯特斯系数就可以算出柯特斯系数, ,譬如当譬如当n=1n=1时时 1011002121)1(! 1!011tdtCdttC当当n=2=2时时 202061)2)(1(!2!02)1(dtttC201132)2(!1!12)1(dtttC200261)1(!0!22)1(dtttCP P127 127 给出了给出了n从从1 18 8的柯特

33、斯系数的柯特斯系数。 当当n = 8n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。 3.4.2 3.4.2 梯形积分法和抛物积分法的误差梯形积分法和抛物积分法的误差 在牛顿在牛顿- -柯特斯求积公式中柯特斯求积公式中n=1,2,4=1,2,4时，就分别时，就分别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)(1) 梯形公式梯形公式 当当n=1=1时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式 )()()(

34、21)(bfafabdxxfba定理定理6.2 （梯形公式的误差）设（梯形公式的误差）设f(x)在在 a,b 上具有上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为),()(12)()(31bafabfR 证证: :由插值型求积公式的余项由插值型求积公式的余项 其中其中 可知梯形公式的误差为可知梯形公式的误差为 dxxnffRbann)()!1()()()1()()()(),(10nxxxxxxxba badxbxaxffR)()(21)(1由于由于(x-a)(x-b)(x-a)(x-b)在在a,ba,b中不变号中不变号, , 在在a,ba,b上上连续

35、连续, ,根据高等数学中的积分中值定理根据高等数学中的积分中值定理 , ,在在a,ba,b上上存在一点存在一点，使，使 )(f )(6)()()()()(3fabdxbxaxfdxbxaxfbaba ),()(12)()(31bafabfR 因此因此 （2 2） 辛卜生公式辛卜生公式 当当n=2=2时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式就是辛卜生公式（或柯特斯公式就是辛卜生公式（或 称抛物线公式）称抛物线公式） )()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfba定理定理6.36.3（辛卜生公式的误差）设在（辛卜生公式的误差）设在a,ba,b上具有连上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为 ),()(2880)()()4(52bafabfR定理证明从略。定理证明从略。 （3 3） 柯特斯公式柯特斯公式 当当n=4=4时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式为柯特斯公式为 )(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba定理定理6.46.4（柯特斯公式的误差）设在（柯特斯公式的误差）设在a,ba,b上具有上具有连续的连续的6 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 ),()(49458)()6(74baf