理力第02章汇交力系

1、教学目的教学目的前章回顾前章回顾2-1 2-1 几何法几何法 平衡条件平衡条件2-2 2-2 解析法解析法 平衡方程平衡方程第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系教学目的教学目的1 1、平面汇交力系、平面汇交力系几何法几何法、解析法解析法、平衡条件平衡条件、平衡方程平衡方程。重点重点：熟练写出平衡方程，求解平衡问：熟练写出平衡方程，求解平衡问题。题。难点难点：在具体问题中会应用三力平衡汇：在具体问题中会应用三力平衡汇交定理确定未知约反力。交定理确定未知约反力。疑点疑点：力的投影与分力的区别：力的投影与分力的区别力系分类力系分类力系分类力系分类平面平面空间空间汇交汇交平行平行任意任意平面汇交力系

2、：各力的作用线都在平面汇交力系：各力的作用线都在同一平同一平面面内且内且 汇交汇交于一点的力系。于一点的力系。研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的平面汇交力系合成与平衡的几何法（图解法）几何法（图解法）一、概念与工程实例一、概念与工程实例平面汇交力系：各力平面汇交力系：各力共面共面，且，且汇交汇交于一点。于一点。例：起重机的挂钩。工程实例：工程实例： 平面简单桁架平面简单桁架Fn F3 F2 F1 R O O F1 F2 F3 Fn 二、汇交力合成（步骤）：二、汇交力合成（步骤）：1、据力在刚体上的可传性、据力在刚体上的可传性 原来的平面

3、汇交力系就转原来的平面汇交力系就转化为平面共点力系；化为平面共点力系；2、据平行四边形法则求合力、据平行四边形法则求合力R。合力为各力的矢量和，即合力为各力的矢量和，即iFR三、力三角形法则和力多边形法则三、力三角形法则和力多边形法则这种依据力三角形求合力的方法称为这种依据力三角形求合力的方法称为力三角形法则力三角形法则。注：力三角形只是一种矢量运算方法，不能完全表注：力三角形只是一种矢量运算方法，不能完全表示力系的真实作用情况。示力系的真实作用情况。O F1 F2 F3 Fn 依据力三角形规则，平面汇交力系也可合成如下：依据力三角形规则，平面汇交力系也可合成如下：R F3 F2 F1 O F

4、n 这种合成方法称为这种合成方法称为力多边形法则力多边形法则。合力合力R R为力多边形的封闭边为力多边形的封闭边平衡几何条件：平衡几何条件：0iFR即：力多边形自行封闭即：力多边形自行封闭四、平面汇交力系平衡的四、平面汇交力系平衡的几何条件几何条件O F1 F2 F3 F i Fn 例如：一平面汇交力系，作其力多边形例如：一平面汇交力系，作其力多边形由图可知，该力多边形封闭，所以该平面汇交力系为平衡力系。由图可知，该力多边形封闭，所以该平面汇交力系为平衡力系。O F1 F2 F3 F i Fn （即：力的多边形的末端和始端正好重合）（即：力的多边形的末端和始端正好重合）F5F2F1F3F4BC

5、DEAF5F2F1F3F4BCDEA 比较下面比较下面两力多边形两力多边形FADBACFEFFBFA6030HK解：解：(1) 取梁取梁AB 作为研究对象。作为研究对象。(4) 解出：解出：FA = Fcos30 = 17.3 kN，FB = Psin30 = 10 kN(2) 画出受力图。画出受力图。(3) 应用平衡条件画出应用平衡条件画出F、FA 和和FB 的闭合力三角形。的闭合力三角形。例题例题.1：水平梁：水平梁AB 中点中点C 作用着力作用着力F，其大小等于，其大小等于20 kN，方向与梁的轴，方向与梁的轴线成线成60角，支承情况如图所示，试求固定铰链支座角，支承情况如图所示，试求固

6、定铰链支座A 和活动铰链支座和活动铰链支座B 的反的反力。梁的自重不计。力。梁的自重不计。 AFB30aaC6060FB30例例2 2已知：已知：求：求：1.1.水平拉力水平拉力F F=5kN=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？时，碾子对地面及障碍物的压力？2.2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F F至少多大？至少多大？3.3.力力F F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F F多大？多大？轮重轮重P P=20kN=20kN，轮半径，轮半径R R=0.6m, =0.6m, 障碍物高障碍物高h h=0.08m:=0.08m:解：解： 1

7、.1.取轮子为研究对象，画其受力图。可知轮子所受取轮子为研究对象，画其受力图。可知轮子所受的力系为平面汇交力系。的力系为平面汇交力系。 根据平面汇交力系平衡的几何条件，可知该力系所组根据平面汇交力系平衡的几何条件，可知该力系所组成的力多边形封闭。据此，可绘出一封闭的力四边形。成的力多边形封闭。据此，可绘出一封闭的力四边形。30arccosRhR图中，图中，由图知：由图知：PFFFFBABcossin解得：解得：BF=10kN,=10kN,AF=11.34kN=11.34kN2.2.碾子拉过障碍物，碾子拉过障碍物，0AF应有应有于是，有：于是，有：kN55.11tan PF于是，有：于是，有：

8、kN10sinminPF3.3.要使力要使力F F取得最小值（即最省力）取得最小值（即最省力）P PP P 根据平面汇交力系平衡的几何条件，可知该力系所根据平面汇交力系平衡的几何条件，可知该力系所组成的力多边形封闭。据此，可绘出一封闭的力三边形。组成的力多边形封闭。据此，可绘出一封闭的力三边形。力力F F 应与应与F FB B垂直，如图示。垂直，如图示。已知：已知：AC=CBAC=CB，P P=10kN,=10kN,各杆自重不计；各杆自重不计；求：求：CDCD杆及支座杆及支座A A的受力。的受力。解：解：1.1.取取CDCD杆为研究对象，杆为研究对象，可知其为二力杆。可知其为二力杆。2 2、取

9、、取ABAB杆为研究对象，杆为研究对象，依据三力平衡汇交定理依据三力平衡汇交定理知，知，P P、F FA A、F FC C汇交于一汇交于一点，据此可绘出点，据此可绘出ABAB杆的杆的受力图。受力图。例例2-22-2P PP P3 3、根据平面汇交力系平衡、根据平面汇交力系平衡的几何条件，可绘出一封的几何条件，可绘出一封闭的力三角形。如图示。闭的力三角形。如图示。kN4 .22,kN3 .28ACFF0565.2621arctanarctanABBE则：则：由三角形正弦定理，得：由三角形正弦定理，得： 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 几何法解题步骤：几何法解题步骤： 选研究对象；选研究对象

10、； 作出受力图；作出受力图； 作力多边形，选择适当的比例尺；作力多边形，选择适当的比例尺； 求出未知数。求出未知数。 几何法解题不足：几何法解题不足： 精度不够，误差大精度不够，误差大 作图要求精度高；作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法 解析法解析法 一一. .力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡平面汇交力系合成与平衡的解析法（坐标法）的解析法（坐标法）FFxcossin FFy1 1、力在坐标轴上的投影、力在坐标轴上的投影力在力在 x

11、x 轴上的投影：轴上的投影：力在力在 y y 轴上的投影：轴上的投影：注：力在坐标轴上的投影为注：力在坐标轴上的投影为代数量，其值可正、可负、代数量，其值可正、可负、可为零。可为零。F F x xb ba ay y22yxFFF且有：且有：一个力在没有限制的情况下，可以分解为无数组力。一个力在没有限制的情况下，可以分解为无数组力。只有在正交坐标系下，分力的大小才等于投影。只有在正交坐标系下，分力的大小才等于投影。F2 2、力沿轴的分解、力沿轴的分解分解依据：力的平行四边形法则分解依据：力的平行四边形法则yxFFFx xy y注：力沿轴分解后得到注：力沿轴分解后得到的是分力（的是分力（矢量矢量）

12、。）。所以有：所以有：二、力在直角坐标系上的投影二、力在直角坐标系上的投影1、直接投影法、直接投影法cosxFFcosyFFcoszFF2、二次投影法：、二次投影法：coscosxFFcossinyFFcoszFFyxzOFyxzOFFxFxFyFyFxyFzFzR O F1 F2 F3 Fn O Fn F3 F2 F1 可见可见:XFFxRx二、合力投影定理二、合力投影定理(重点重点)合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和的代数和。yx同理，有同理，有YFFyRy三、平面汇交力系合成的解析法三、平面汇交力系合成的解析法 由合力投影定理

13、可知，合力在两正交轴上的投影等于由合力投影定理可知，合力在两正交轴上的投影等于各分力在相应轴上投影的代数和。即：各分力在相应轴上投影的代数和。即：yRyxRxFFFF合力合力 R 的大小为：的大小为：22RyRxRFFF合力合力 R 的方向为：的方向为： RFiFRxR,cosRFjFRyR,cos合力作用点为合力作用点为力系的汇交点。力系的汇交点。RxRyFFtan四、平面汇交力系的平衡方程四、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡条件：平面汇交力系平衡条件：所以，平面汇交力系的平衡方程为：所以，平面汇交力系的平衡方程为：022RyRxRFFF00yRyxRxFFFF求：用解析法求此力系的合

14、力。求：用解析法求此力系的合力。解：解：N3 .12945cos45cos60cos30cos4321FFFFFFixRxN3 .11245sin45sin60sin30sin4321FFFFFFiyRyN3 .17122RyRxRFFF7548. 0cosRRxFF6556. 0cosRRyFF01.49,99.40例例2-3已知：平面共点力系如图所示。已知：平面共点力系如图所示。例例2-4:2-4:图示重物重为图示重物重为Q=30kN,Q=30kN,由绳索由绳索ABAB、ACAC悬挂，求悬挂，求ABAB、ACAC的拉力的拉力。(1)取研究对象取研究对象 -力系的汇交点力系的汇交点AA.QT

15、C (3)建立坐标系建立坐标系yx(4)列平衡方程列平衡方程00YXTB 600CBAQ300030sin60sin00CBTT(5)解方程，得解方程，得：解解：(2)作受力图作受力图030cos60cos00QTTCBkNQTB152kNQTC31523求：系统平衡时，杆求：系统平衡时，杆AB、BC所受的力。所受的力。例例2-5 已知：不计杆、轮自重，忽略滑轮大小和摩擦力，已知：不计杆、轮自重，忽略滑轮大小和摩擦力，P=20kN解：解：1、取、取AB、BC杆，可知二者为二力杆；杆，可知二者为二力杆；3、建立图示坐标系，由平面汇交力系平建立图示坐标系，由平面汇交力系平衡的解析条件，有：衡的解析

16、条件，有：:0X030cos60cos21FFFBA2、取滑轮取滑轮B（或点（或点B）为研究对象，画受）为研究对象，画受力图，知：力图，知：B点所受力系为平面汇交力系。点所受力系为平面汇交力系。:0Y060cos30cos21FFFBC又：又：PFF21解得：解得：kN321. 7BAFkN32.27BCF例例2-6求：平衡时，压块求：平衡时，压块C对工件与地面的压力以及对工件与地面的压力以及AB杆所受的力。杆所受的力。已知：已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重；忽略自重；解：解：1、取、取AB、BC杆为研究对象，可知二者为二力杆。杆为研究对象，可知二者为二力杆。

17、:0X0coscosFFBCBA解得：解得：BCBAFF2、取销钉、取销钉B为研究对象，画出其受力图，则有：为研究对象，画出其受力图，则有：:0Y0sinsinFFFBCBA解得：解得： kN35.11sin2FFFBCBA3、选压块、选压块C为研究对象，画出其受力图，则有：为研究对象，画出其受力图，则有：:0X0coscxCBFFkN25.1122sin2coshFlctgFFFcx解得：解得：:0Y0sinCyCBFF解得：解得：kN5 .12FFcy例2-7 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为PP-TND3Q60sin2Qsin-Q

18、02由得060212cos21PPTT由得0X0Y0cos12TT0Qsin2DNT例题例题 已知已知 P = 20 kN，求平衡时杆，求平衡时杆AB 和和 BC所受的力所受的力解：解：取节点取节点 B 为研究对象，为研究对象，AB 、BC 都是二力杆都是二力杆B画受力图画受力图 建立坐标系如图建立坐标系如图xyABCDP030060FBAFBCF2030060F1由平衡方程：由平衡方程：解得：解得：0012cos30cos600BCFFF0yF 0012cos60cos300BAFFF0 xF0.3667.321BAFPkN 1.36627.32BCFPkN例例 如图已知如图已知W1 = 1

19、00 kN， W2 = 250 kN。不计各杆自重，。不计各杆自重，A，B，C，D各点均各点均为光滑铰链。试求平衡状态下杆为光滑铰链。试求平衡状态下杆AB内力及与水平的夹角。内力及与水平的夹角。45W2A30W1DCB解：解：1、取销钉、取销钉C作为研究对象。作为研究对象。W2xyFCD30CFBC45 0 xF30cos450CDBCFFcos 26040CDBCFWFcos sin 5 0yF2、取销钉、取销钉B作为作为 研究对象。研究对象。W1FBC45FA 0 xF0 cos45cosABCFF054 sin sin1BCAFWF 0yFxyB解得：解得：FBC = 224.23 kN

20、解得：解得： = 58.5FA = 303.29 kN解解： 研究AB杆； 画出受力图； 列平衡方程； 解平衡方程：0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP 例例 已知 P=2kN，求 SCD 、 RA 。由EB=BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：kN 24. 4tg45cos45sin00PSCDkN 16. 3cos45cos0CDASR； 例例 已知如图P、Q，求平衡时 =？地面的反力ND=？ 解解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为PQP-QT-QND360sin2sin02由得060212cos21PPTT由得0X0Y0cos12TT0Qsin2DNT 解题技巧及说明：解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用、一般地，对于只受三个力作用的物体，且