2015-2016届福建省八县（市）一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

1、2015-2016学年福建省八县（市）一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的1（5分）设集合A=x|2x4，集合B=x|y=lg（x1），则AB等于（）A（1，2）B1，2C1，2）D（1，22（5分）已知和，若，则|=（）A5B8CD643（5分）等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log354（5分）如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（）ABCD5（5分）将函数的图象向右平移（0）

2、个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则的最小值是（）ABCD6（5分）已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）AxR，f（x）f（x）BxR，f（x）f（x）Cx0R，f（x0）f（x0）Dx0R，f（x0）f（x0）7（5分）下列四个结论：设为向量，若，则恒成立；命题“若xsinx=0，则x=0”的逆命题为“若x0，则xsinx0”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D0个8（5分）对于函数y=g（x），部分x与y的对应关系如下表：x123456y247518数列xn满足：x1=2，且对于任意nN*

3、，点（xn，xn+1）都在函数y=g（x）的图象上，则x1+x2+x2015=（）A4054B5046C5075D60479（5分）设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t）处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）ABCD10（5分）已知向量，满足，且关于x的函数在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（）ABCD11（5分）如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2a，b，若f（x1）=f（x2），有，则（）Af（x）在上是增函数Bf（x）在上是减函数Cf（x）在上是增函数Df（x）在上是减函数12（5分）若关于x的不等式a3x+4b的解集恰好是a，b，

4、则a+b的值为（）A5B4CD二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上13（5分）若z=（sin）+i（cos）是纯虚数，则tan的值为14（5分）若幂函数f（x）过点（2，8），则满足不等式f（2a）f（1a）的实数a的取值范围是15（5分）函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为16（5分）已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），考查下列结论：f（1）=1；f（x）为奇函数；数列an为等差数列；数列bn为等比数列以上命题正确的是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出

5、文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）设p：关于x的不等式ax1的解集是x|x0；q：函数的定义域为R若pq是真命题，pq是假命题，求实数a的取值范围18（12分）已知向量=（sinx，1），向量=（cosx，），函数f（x）=（+）（1）求f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在0，上的最大值，求A和b19（12分）已知数列an与bn满足：a1=1，bn=且anbn+1+an+1bn=1+（2）n，（1）求a2，a3的值：（2）令ck=a2k+1a2k1，kN*，证明：ck是等比数列20（12分）罗源

6、滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元（1）试写出y关于x的函数关系式；（2）当m=96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？21（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，（）求ABC的面积（）已知等差数列an的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求的前n项和Sn22（12分）已知函数g（x）=（2a）ln

7、x，h（x）=lnx+ax2（aR），令f（x）=g（x）+h（x），其中h（x）是函数h（x）的导函数（）当a=0时，求f（x）的极值；（）当8a2时，若存在x1，x21，3，使得恒成立，求m的取值范围2015-2016学年福建省八县（市）一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的1（5分）（2016安徽模拟）设集合A=x|2x4，集合B=x|y=lg（x1），则AB等于（）A（1，2）B1，2C1，2）D（1，2【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B

8、，然后求解它们的交集【解答】解：A=x|2x4=x|x2，由x10得x1B=x|y=lg（x1）=x|x1AB=x|1x2故选D【点评】本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力2（5分）（2015秋福建校级期中）已知和，若，则|=（）A5B8CD64【分析】由题意可得x+22x=0，解方程可得x，即可求出|【解答】解：和，x+22x=0，解得x=2，|=|（5，0）|=5故选：A【点评】本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题3（5分）（2014湖北模拟）等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A1

9、2B10C8D2+log35【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5答案可得【解答】解：a5a6=a4a7，a5a6+a4a7=2a5a6=18a5a6=9log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质解题的关键是灵活利用了等比中项的性质4（5分）（2011揭阳一模）如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（）ABCD【分析】根据正六边形对边平行且

10、相等的性质，可得，=ABF=30°，然后根据向量的数量积，即可得到答案【解答】解：由正六边形的性质可得，=ABF=30°=|cos30°=故选C【点评】本题考查的知识点是向量的加法及向量的数量积的定义的应用，其中根据正六边形的性质得到得，=ABF=30°，是解题的关键5（5分）（2015秋福建校级期中）将函数的图象向右平移（0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则的最小值是（）ABCD【分析】y=cosx+sinx=2cos（x），故将函数平移后得到y=2cos（x），由于平移后的新函数是偶函数，得cos（x）=cos（x），即cos（x+）=co

11、s（x）恒成立，于是x+=x+2k，解出=k【解答】解：y=cosx+sinx=2cos（x），将函数平移后得到的函数为y=2cos（x），y=2cos（x）的图象关于y轴对称，cos（x）=cos（x），即cos（x+）=cos（x）恒成立x+=x+2k，解得=k0，当k=1时，取最小值故选：D【点评】本题考查了三角函数的恒等变换及函数图象变换，利用图象变换规律找到平移后的函数是关键6（5分）（2016丹东二模）已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）AxR，f（x）f（x）BxR，f（x）f（x）Cx0R，f（x0）f（x0）Dx0R，f（x0）f（x0）【分

12、析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：xR，f（x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案【解答】解：定义域为R的函数f（x）不是偶函数，xR，f（x）=f（x）为假命题；x0R，f（x0）f（x0）为真命题，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性的定义，全称命题的否定，难度中档7（5分）（2015秋福建校级期中）下列四个结论：设为向量，若，则恒成立；命题“若xsinx=0，则x=0”的逆命题为“若x0，则xsinx0”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D0个【分析】由向量的运算性质判断出夹角是90&

13、#176;即可判断正确；由命题的逆否命题，先将条件、结论调换，再分别对它们否定，即可判断；由命题pq为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出pq为真，即可判断【解答】解：对于设为向量，若cos，从而cos，=1，即和的夹角是90°，则恒成立，则对；对于，命题“若xsinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x0，则xsinx0”而不是逆命题，则错；对于，命题pq为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出pq为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则错；故选：A【点评】本题考查了向量问题，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题8（5分）（201

14、5秋福建校级期中）对于函数y=g（x），部分x与y的对应关系如下表：x123456y247518数列xn满足：x1=2，且对于任意nN*，点（xn，xn+1）都在函数y=g（x）的图象上，则x1+x2+x2015=（）A4054B5046C5075D6047【分析】由题意易得数列是周期为4的周期数列，可得x1+x2+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3，代值计算可得【解答】解：数列x n满足x1=2，且对任意nN*，点（xn，xn+1）都在函数y=g（x）的图象上，xn+1=g（xn），由图表可得x1=2，x2=f（x1）=4，x3=f（x2）=5，x4=f（x3）=

15、1，x5=f（x4）=2，数列是周期为4的周期数列，故 x1+x2+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3=503×（2+4+5+1）+2+4+5=6047，故选：D【点评】本题考查函数和数列的关系，涉及周期性问题，属于中档题9（5分）（2015南充二模）设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t）处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）ABCD【分析】先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t，f（t）处切线的斜率为在点（t，f（t）处的导数值，可得答案【解答】解：f（x）=xsinx+cosxf'（x）=（xsinx）&

16、#39;+（cosx）'=x（sinx）'+（x）'sinx+（cosx）'=xcosx+sinxsinx=xcosxk=g（t）=tcost根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x0时g（t）0故选B【点评】本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系属基础题10（5分）（2015秋福建校级期中）已知向量，满足，且关于x的函数在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（）ABCD【分析】求导数，利用函数f（x）=2x3+3|a|x2+6abx+7在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用，利用向量的数量积，即可得到结论

17、【解答】解：求导数可得f（x）=6x2+6|x+6，则由函数f（x）=2x3+3|a|x2+6abx+7在实数集R上单调递增，可得f（x）=6x2+6|x+60恒成立，即 x2+|x+0恒成立，故判别式=240 恒成立，再由，可得8|28|2cos，cos，0，故选：C【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查向量的数量积，解题的关键是利用判别式小于等于0在R上恒成立，属于中档题11（5分）（2015秋福建校级期中）如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2a，b，若f（x1）=f（x2），有，则（）Af（x）在上是增函数Bf（x）在上是减函数Cf（x）在上是增函数Df（x）在上是

18、减函数【分析】利用图象得出对称轴为：x=整体求解x1+x2=，代入即可得出f（x）=2sin（2x）根据正弦函数的单调性得出不等式+kx+kkz即可判断答案【解答】解：根据函数图象得出；A=2，对称轴为：x=2sin（x1+x2+）=2，x1+x2+=，x1+x2=，2sin（2（）+）=即sin（）=，|，f（x）=2sin（2x）+2k2x+2k，kz，+kx+kkz故选：A【点评】本题考察了三角函数的图象和性质的运用，关键是利用图象得出对称轴，最值即可，加强分析能力的运用12（5分）（2011新余一模）若关于x的不等式a3x+4b的解集恰好是a，b，则a+b的值为（）A5B4CD【分析】

19、确定f（x）=3x+4的对称轴，然后讨论对称轴是否在区间a，b内，分别求解即可【解答】解：令f（x）=3x+4对称轴为x=2，若a2，则a，b是方程f（x）=x的两个实根，解得a=，b=4，矛盾，易错选D；若b2，则f（a）=b，f（b）=a，相减得a+b=，代入可得a=b=，矛盾，易错选C；若a2b，因为f（x）min=1，所以a=1，b=4因为x=0时与x=4时，函数值相同：4，所以a=0，a+b=4，故选：B【点评】本题考查一元二次不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上13（5分）（2014碑林区校级

20、模拟）若z=（sin）+i（cos）是纯虚数，则tan的值为【分析】根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为0，虚部不为0，解出关于的正弦的值和余弦不等于的值，从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系，得到正切值【解答】解：是纯虚数，sin=0，cos0，sin，cos，cos，tan，故答案为：【点评】本题考查复数的概念，考查同角三角函数之间的关系，是一个基础题，解题的过程中注意纯虚数的等价条件14（5分）（2015秋福建校级期中）若幂函数f（x）过点（2，8），则满足不等式f（2a）f（1a）的实数a的取值范围是【分析】2=8=3，则f（x）=x3通过f（2a）f（a1），利用函数

21、f（x）的单调性可得a范围；【解答】解：2=8=3，则f（x）=x3，由f（2a）f（a1），2aa1a；则满足不等式f（2a）f（1a）的实数a的取值范围是故答案为：【点评】本题考查函数的单调性，转化思想的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）（2015秋福建校级期中）函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为【分析】利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算即可【解答】解：，函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为+=+=故答案为：【点评】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是利用定积分表示出封闭图形的面积，然后计算16（5分）（2015秋福建校级期中）已知函数f（x）是定义在

22、R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），考查下列结论：f（1）=1；f（x）为奇函数；数列an为等差数列；数列bn为等比数列以上命题正确的是【分析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可【解答】解：（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），令x=y=1，得f（1）=0，故错误，（2）令x=y=1，得f（1）=0；令y=1，有f（x）=f（x）+xf（1），代入f（1）=0得f（x）=f（x），故f（x）是（，+）上的奇函数故正确，（3）若，则anan1=为常数，故数列an为等差数列，故

23、正确，f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），当x=y时，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），则f（22）=4f（2）=8=2×22，f（23）=22f（2）+2f（22）=23+2×233×23，则f（2n）=n×2n，若，则=2为常数，则数列bn为等比数列，故正确，故答案为：【点评】本题主要考查抽象函数的应用，结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（2014秋周村区校级期末）设p：关于x的不等式ax1的解

24、集是x|x0；q：函数的定义域为R若pq是真命题，pq是假命题，求实数a的取值范围【分析】根据指数函数的单调性求得命题p为真时a的取值范围；利用求出命题q为真时a的范围，由复合命题真值表知：若pq是真命题，pq是假命题，则命题p、q一真一假，分p真q假和q真p假两种情况求出a的范围，再求并集【解答】解：关于x的不等式ax1的解集是x|x0，0a1；故命题p为真时，0a1；函数的定义域为R，a，由复合命题真值表知：若pq是真命题，pq是假命题，则命题p、q一真一假，当p真q假时，则0a；当q真p假时，则a1，综上实数a的取值范围是（0，）1，+）【点评】本题借助考查复合命题的真假判定，考查了指数

25、函数的单调性及一元二次不等式恒成立的条件，解题的关键是求出组成复合命题的简单命题为真时a的范围18（12分）（2015秋福建校级期中）已知向量=（sinx，1），向量=（cosx，），函数f（x）=（+）（1）求f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在0，上的最大值，求A和b【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出最小正周期；（2）根据x的范围，求

26、出这个角的范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的最大值，以及此时x的值，由f（A）为最大值求出A的度数，利用余弦定理求出b的值即可【解答】解：（1）向量=（sinx，1），向量=（cosx，），f（x）=（+）=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=sin2xcos2x+2=sin（2x）+2，=2，函数f（x）的最小正周期T=；（2）由（1）知：f（x）=sin（2x）+2，x0，2x，当2x=时，f（x）取得最大值3，此时x=，由f（A）=3得：A=，由余弦定理，得a2=b2+c22bccosA，12=b2+164b，即（b2）2=0，b=2【点评】此题考查了余弦定理，平

27、面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握余弦定理是解本题的关键19（12分）（2015秋福建校级期中）已知数列an与bn满足：a1=1，bn=且anbn+1+an+1bn=1+（2）n，（1）求a2，a3的值：（2）令ck=a2k+1a2k1，kN*，证明：ck是等比数列【分析】（1）根据数列的递推关系即可求a2，a3的值：（2）分别令n=2k，n=2k1，化简条件，利用构造法先求出ck=a2k+1a2k1，kN*的通项公式，即可证明：ck是等比数列【解答】解：（1）a1=1，bn=，b1=1，b2=2，b3=1，b4=2，anbn+1+an+1bn

28、=1+（2）n，当n=1时，a1b2+a2b1=12=1，即2+a2=1，则a2=3，当n=2时，a2b3+a3b2=1+4=5，即3+2a3=5，则a3=4（2）由（1）知当n为奇数时，bn=1，当n为偶数时，bn=2，anbn+1+an+1bn=1+（2）n，令n=2k，则a2kb2k+1+a2k+1b2k=1+（2）2k，即a2k+2a2k+1=1+（2）2k，令n=2k1，则a2k1b2k+a2kb2k1=1+（2）2k1即2a2k1+a2k=1+（2）2k1，一得2a2k+12a2k1=1+（2）2k1+（2）2k1=4k4k=4k，即a2k+1a2k1=4k，ck=a2k+1a2k

29、1，kN*，ck=4k，kN*，则当k2时，=4为常数，即ck是等比数列【点评】本题主要考查递推数列的应用，利用构造法结合等比数列的定义是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力20（12分）（2015秋福建校级期中）罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元（1）试写出y关于x的函数关系式；（2）当m=96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？【分析】（1）根

30、据题意设出桥墩和桥面工程量，然后根据题意建立工程总费用与工程量的函数关系（2）当m=96米时，代入已知函数表达式，求出此时的函数表达式，并求导，根据导数与函数单调性的关系求出最值以及此时x的值【解答】解：（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x=m，即n=1，（2分）所以y=f（x）=32n+（n+1）（2+）x=32（1）+（2+）m=m（+）+2m32，（ 0xm）（6分）（2）当m=96时，f（x）=96（+）+160则f（x）=（8分）令f（x）=0，得=64，所以x=16当0x16时，f（x）0，f（x）在区间（0，16）内为减函数；当16x96，f（x）0，f（x）在区间（16，96

31、）内为增函数所以f（x）在x=16处取得最小值此时n=1=5（10分）故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小（12分）【点评】本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题本题需要构建一个工程总费用与工程量的函数关系并注明取值范围需要对知识熟练的掌握并应用，属于中档题21（12分）（2015秋福建校级期中）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，（）求ABC的面积（）已知等差数列an的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求的前n项和Sn【分析】（）由正弦定理得b2+c2a2=bc，由余弦定理得，由此能求出ABC的面积（）数列an的公差为d且d0，由a1cosA=1得a1=2，由a2，a4，a8成等比数列，得d=2，从而，由此利用裂项求和法能求出的前n项和Sn【解答】（本小题满分