2015-2016届广西南宁市武鸣高中高三（上）9月月考数学试卷（理科）（解析版）

1、2015-2016学年广西南宁市武鸣高中高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数z满足（zi）（2i）=5则z=（）A22iB2+2iC22iD2+2i2（5分）已知集合A=x|0log4x1，B=x|x2，则AB=（）A（0，1）B（0，2C（1，2）D（1，23（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）A2B2C8D84（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递减函数是（）Af（x）=x

2、Bf（x）=x3Cf（x）=（）xDf（x）=3x5（5分）函数f（x）=log（x24）的单调递增区间为（）A（0，+）B（，0）C（2，+）D（，2）6（5分）设若f（x）=，f（f（1）=8，则a的值是（）A1B2C1D27（5分）函数的图象的大致形状是（）ABCD8（5分）下列说法不正确的是（）A若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B命题“x0R，x02x010”的否定是“xR，x2x10”C“=”是“y=sin（2x+）为偶函数”的充要条件Da0时，幂函数y=xa在（0，+）上单调递减9（5分）函数y=loga（x+3）1（a0，且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+n

3、y+2=0上，其中m0，n0，则的最小值为（）A2B4CD10（5分）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）AB1CD211（5分）设函数y=fn（x）在（0，+）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=，取函数f（x）=，恒有fK（x）=f（x），则（）AK的最大值为BK的最小值为CK的最大值为2DK的最小值为212（5分）如图，已知双曲线=1（a0，b0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AFBF，设ABF=，且，则双曲线离心率e的取值范围为（）A，2+B，C，D，+1二填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）设

4、数列an，bn都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=14（5分）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=15（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆=4sin和直线sin=a相交于A、B两点，若AOB是等边三角形，则a的值为16（5分）已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，已知sin（+A）=，cos（B）=（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值18（12分）为

5、了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选二人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望19（12分）如图，三角形ABC是边长为4的正三角形，PA底面ABC，点D是BC的中点，点E在AC上，且DEAC（1）证明：平面PDE平面PAC；（2）求直线AD和平面PDE所成角的正弦值20（12分）已知直线l：y=kx+1（k0）与

6、椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C（）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（）若=2，求AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程21（12分）已知函数f（x）=lnxx2+x （1）求函数f（x）的单调递减区间：（2）若对于任意的x0，不等式f（x）（1）x2+ax1恒成立，求整数a的最小值请考生在第22，23，24题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（）求证：BE=2AD；（）当AC=3，EC=6时，求AD的长选修4-

7、4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，曲线C：=2acos（a0），l：cos（）=，C与l有且仅有一个公共点（）求a；（）O为极点，A，B为C上的两点，且AOB=，求|OA|+|OB|的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x210（2）若g（x）=|x+3|+m，f（x）g（x）的解集非空，求实数m的取值范围2015-2016学年广西南宁市武鸣高中高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2012安徽）复数z满足（zi）（2

8、i）=5则z=（）A22iB2+2iC22iD2+2i【分析】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可【解答】解：（zi）（2i）=5zi=z=+i=+i=+i=2+2i故选D【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力2（5分）（2013辽宁）已知集合A=x|0log4x1，B=x|x2，则AB=（）A（0，1）B（0，2C（1，2）D（1，2【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集【解答】解：由A中的不等式变形得：log41log4xlog44，解得：1x4，即A=（1，4），B=（，2，AB=

9、（1，2故选D【点评】此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3（5分）（2015春蒙城县校级期末）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）A2B2C8D8【分析】由题意知函数的周期为4，故f（2015）=f（1），又由奇函数可求f（1）=f（1）=2【解答】解：f（x+4）=f（x），f（2015）=f（504×41）=f（1），又f（x）在R上是奇函数，f（1）=f（1）=2故选B【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题4（5分）（2014杭州三模）下

10、列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递减函数是（）Af（x）=xBf（x）=x3Cf（x）=（）xDf（x）=3x【分析】根据指数函数图象和性质，得到C单调递减，D单调递增，根据幂函数图象和性质得到A，B均为单调递增，再验证C是否满足f（x+y）=f（x）f（y）【解答】解：根据指数函数图象和性质，得到C单调递减，D单调递增，根据幂函数图象和性质得到A，B均为单调递增，对于C，f（x+y）=f（x）f（y），故C符合，故选：C【点评】本题考查了指数函数和幂函数的图象和性质，属于基础题5（5分）（2014天津）函数f（x）=log（x24）的单调递增区间为（）A（0，+）B（，

11、0）C（2，+）D（，2）【分析】令t=x240，求得函数f（x）的定义域为（，2）（2，+），且函数f（x）=g（t）=logt根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（，2）（2，+） 上的减区间再利用二次函数的性质可得，函数t在（，2）（2，+） 上的减区间【解答】解：令t=x240，可得 x2，或 x2，故函数f（x）的定义域为（，2）（2，+），当x（，2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，所以y=log（x24）随x的增大而增大，即f（x）在（，2）上单调递增故选：D【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题6（5分）（

12、2015河北二模）设若f（x）=，f（f（1）=8，则a的值是（）A1B2C1D2【分析】直接利用分段函数，以及方程求解即可【解答】解：f（x）=，f（f（1）=8，f（1）=lg1=0，f（f（1）=f（0）=0=t3=a3=8，解得a=2故选：B【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点以及定积分的运算，考查计算能力7（5分）（2015安康二模）函数的图象的大致形状是（）ABCD【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案【解答】解：y=当x0时，其图象是指数函数y=ax在y轴右侧的部分，因为a1，所以

13、是增函数的形状，当x0时，其图象是函数y=ax在y轴左侧的部分，因为a1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题8（5分）（2015日照二模）下列说法不正确的是（）A若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B命题“x0R，x02x010”的否定是“xR，x2x10”C“=”是“y=sin（2x+）为偶函数”的充要条件Da0时，幂函数y=xa在（0，+）上单调递减【分析】分别根据复合命题真假之间的关系，含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：A若“p且q

14、”为假，则p、q至少有一个是假命题，正确B命题“x0R，x02x010”的否定是“xR，x2x10”，正确，C“=”是“y=sin（2x+）为偶函数”的充分不必要条件，故C错误Da0时，幂函数y=xa在（0，+）上单调递减，正确故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，比较基础9（5分）（2015河北二模）函数y=loga（x+3）1（a0，且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m0，n0，则的最小值为（）A2B4CD【分析】由题意可得点A（2，1）；故2mn+2=0；从而得=+=+2+；利用基本不等式求解【解答】解：由题意，点A（2，1）；故2m

15、n+2=0；故2m+n=2；=+=+2+4+=；当且仅当m=n=时，等号成立；故选D【点评】本题考查了函数的性质应用及基本不等式的应用，属于基础题10（5分）（2012福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）AB1CD2【分析】根据题意，由线性规划知识分析可得束条件确定的区域，由指数函数的性质分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），结合图形分析可得m的最大值，即可得答案【解答】解：约束条件确定的区域为如图阴影部分，即ABC的边与其内部区域，分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点（1，2），若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约

16、束条件，即y=2x图象上存在点在阴影部分内部，则必有m1，即实数m的最大值为1，故选B【点评】本题考查线性规划的应用与指数函数的性质，关键是得到函数y=2x与阴影部分边界直线的交点11（5分）（2015宜宾县模拟）设函数y=fn（x）在（0，+）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=，取函数f（x）=，恒有fK（x）=f（x），则（）AK的最大值为BK的最小值为CK的最大值为2DK的最小值为2【分析】由已知条件可得kf（x）max，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果【解答】解：函数fK（x）=，等价为Kf（x）max，f（x）=，f（x

17、）=，设g（x）=，则g（x）在（0，+）单调递减，且g（1）=0，令f（x）=0，即，解出x=1，当0x1时，f（x）0，f（x）单调递增，当x1时，f（x）0，f（x）单调递减故当x=1时，f（x）取到极大值同时也是最大值f（1）=故当k时，恒有fk（x）=f（x）因此K的最小值为故选：B【点评】本题考查与函数有关的新定义题目，利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力，解题时要认真审题，仔细解答综合性较强，有一定的难度12（5分）（2016大庆校级模拟）如图，已知双曲线=1（a0，b0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AFBF，设ABF=

18、，且，则双曲线离心率e的取值范围为（）A，2+B，C，D，+1【分析】利用SABF=2SAOF，先求出e2=，再根据，即可求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：设左焦点为F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，则|BF|=|F'A|=r2，r2r1=2a，点A关于原点O的对称点为B，AFBF，|OA|=|OB|=|OF|=c，r22+r124c2，r1r2=2（c2a2）SABF=2SAOF，r1r22c2sin2，r1r22c2sin2c2sin2=c2a2e2=，sin2，e2=2，（+1）2e，+1故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题

19、，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用二填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）（2012江西）设数列an，bn都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=35【分析】根据等差数列的通项公式，可设数列an的公差为d1，数列bn的公差为d2，根据a1+b1=7，a3+b3=21，可得2（d1+d2）=217=14最后可得a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=2+14=35【解答】解：数列an，bn都是等差数列，设数列an的公差为d1，设数列bn的公差为d2，a3+b3=a1+b1+2（d1+d2）=21，而a1+b1=7，可得2（d1+d2）=217=14a

20、5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=21+14=35故答案为：35【点评】本题给出两个等差数列首项之和与第三项之和，欲求它们的第五项之和，着重考查了等差数列的概念与通项公式和等差数列的性质，属于基础题14（5分）（2012福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=2【分析】根据（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4r xr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，由此解得a的值【解答】解：（a+x）4的展开式的通项公式为 Tr+1= a4r xr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于 ×a=8，解得a=2，故答案

21、为 2【点评】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题15（5分）（2014天津）在以O为极点的极坐标系中，圆=4sin和直线sin=a相交于A、B两点，若AOB是等边三角形，则a的值为3【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y2）2=4，可得a的值【解答】解：直线sin=a即y=a，（a0），曲线=4sin，即2=4sin，即x2+（y2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，AOB是等边三角形，B（a，a），代入x2+（y2）2=4，可得（a）2+（a2）2=4，a0，a=3故答案为：3【点评】本题考查把极坐标

22、方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题16（5分）（2012辽宁）已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【解答】解：正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直，此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，圆O的半径为，正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距

23、离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥PABC的体积V=SABC×h=SPAB×PC=××2×2×2=ABC为边长为2的正三角形，SABC=×h=正方体中心O到截面ABC的距离为=故答案为 【点评】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2015日照二模）在ABC中，已知sin（+A）=，cos（B）=（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，

24、b，c，且a=5，求b，c的值【分析】（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出【解答】解：（1），又0A，且0B，（2）由正弦定理得，另由b2=a2+c22accosB得49=25+c25c，解得c=8或c=3（舍去），b=7，c=8【点评】本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题18（12分）（2015西安模拟）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组

25、的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选二人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望【分析】（1）设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，根据前3个小组的频率之比为1：2：3和所求频率和为1建立方程组，解之即可求出第二组频率，然后根据样本容量等于 进行求解即可；（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p，通过X服从二项分布p（x=k），从而求出x的分布列，最后利用数学期望公式进行求解【解答】解：（1）设该校报

26、考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375又因为p2=0.25=，故n=48（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p=p3+（0.0375+0.0125）×5=所以X服从二项分布，P（X=k）=，随机变量X的分布列为：则EX=（或EX=2×=）【点评】本题主要考查了频率分布直方图，以及离散型随机变量的概率分布和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题19（12分）（2015秋南宁月考）如图，三角形ABC是边长为4的正三角形，PA底面ABC，点D是BC的中点，点E在AC上，且

27、DEAC（1）证明：平面PDE平面PAC；（2）求直线AD和平面PDE所成角的正弦值【分析】（1）先证明PADE，再证明DEAC，可得DE平面PAC，再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面PDE平面PAC（2）过点A作AFPE，连结DF，先证明ADF为直线AD和平面PDE所成的角，解直角三角形，求得该角的正弦值【解答】解：（1）证明：PA底面ABC，DE底面ABC，PADE又DEAC，PAAC=A，DE平面PAC又DE平面PDE，平面PDE平面PAC（2）解：过点A作AFPE，连结DF平面PDE平面PAC，平面PDE平面PAC=PE，AF平面PAC，AF平面PDE，ADF为直线AD和平面PDE

28、所成角ABC是边长为4的正三角形，又，即直线AD和平面PDE所成角的正弦值为【点评】本题主要考查平面和平面垂直的判定定理的应用，直线和平面所成的角的定义和求法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题20（12分）（2016南昌校级二模）已知直线l：y=kx+1（k0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C（）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（）若=2，求AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程【分析】（）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=，即可求实数a的值；（）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即

29、可【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），（）由得4x2+2x+1a=0，则x1+x2=，x1x2=，则|AB|=，解得a=2（）由，得（3+k2）x2+2kx+1a=0，则x1+x2=，x1x2=，由=2得（x1，1y1）=2（x2，y21），解得x1=2x2，代入上式得：x1+x2=x2=，则x2=，=，当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=2x22=2×，又x1x2=，则=，解得a=5所以，AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x2+y2=5【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键21（

30、12分）（2015秋张家口期末）已知函数f（x）=lnxx2+x （1）求函数f（x）的单调递减区间：（2）若对于任意的x0，不等式f（x）（1）x2+ax1恒成立，求整数a的最小值【分析】（1）f（x）=2x+1，（x0）令f（x）0，即2x+10，解出即可得出；（2）x0，不等式f（x）（1）x2+ax1化为：a=g（x），可得：对于任意的x0，不等式f（x）（1）x2+ax1恒成立，ag（x）max，x0利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】解：（1）f（x）=2x+1，（x0）令f（x）0，即2x+10，解得1x函数f（x）的单调递减区间是1，+）（2）x0，不等式f（x）（1

31、）x2+ax1化为：a=g（x），对于任意的x0，不等式f（x）（1）x2+ax1恒成立，ag（x）max，x0g（x）=，令g（x）0，解得0xe，此时函数g（x）单调递增；令g（x）0，解得ex，此时函数g（x）单调递减当x=e时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（e）=a整数a的最小值为1【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第22，23，24题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2016太原一模）如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，AD

32、C的外接圆交BC于点E，AB=2AC（）求证：BE=2AD；（）当AC=3，EC=6时，求AD的长【分析】（）连接DE，证明DBECBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（）根据割线定理得BDBA=BEBC，从而可求AD的长【解答】（）证明：连接DE，ACED是圆内接四边形，BDE=BCA，又DBE=CBA，DBECBA，即有，又AB=2AC，BE=2DE，CD是ACB的平分线，AD=DE，BE=2AD；（5分）（）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BDBA=BEBC，即（6t）×6=2t（2t+6），即2t2+9t18=0，解得或6（舍去），则（