2015-2016届广东省揭阳三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

1、2015-2016学年广东省揭阳三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）等差数列an的前n项和为Sn若a2=1，a3=3，则S4=（）A12B10C8D62（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）Ay=x3By=|x+1|Cy=x2Dy=|x|+13（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）A1B2C3D44（5分）设函数f（x）=，则ff（4）=（）A2B4C8D165（5分）函数是（）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为2的奇函数D周期为2的偶函数6（5分）已知tan=

2、，则cos2的值为（）ABCD7（5分）设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）ABCD8（5分）函数y=cos2xsin2x 的一条对称轴为（）Ax=Bx=Cx=Dx=9（5分）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f（x）的图象是（）ABCD10（5分）已知函数f（x）=x3+ax2x1在（，+）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）ABCD11（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A1B2C3D412（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的

3、图象关于y=x对称，且f（2）+f（4）=1，则a=（）A1B1C2D4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知，若，则k=14（5分）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是15（5分）已知tan（+）=，tan=，则tan（+）的值为16（5分）下列四种说法：命题“xR，使得x2+13x”的否定是“xR，都有x2+13x”；设p、q是简单命题，若“pq”为假命题，则“¬p¬q”为真命题；若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；把函数y=sin（2x）（xR）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（xR）的

4、图象其中所有正确说法的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知an为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（）求an的通项公式（）记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值18（12分）已知：ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长19（12分）有编号为D1，D2，D10的10个零件，测量其直径（单位：mm），得到下面数据：其中直径在区间（148，152内的零件为一等品编号D1D2D3D4D5D6D7D8D9D

5、10直径151148149151149152147146153148（1）从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个用表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望20（12分）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知A=45°，C=90°，ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点（1）求证：DC平面ABC；（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；（3）求二面角BEFA的余弦21（12分）如图在直角坐标系xOy中，

6、过动点P的直线与直线l：x=1垂直，垂足为Q，点F（1，0）满足（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）证明：以线段PF为直径的圆与y轴相切22（12分）设a0，函数f（x）=x22ax2alnx（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）在区间（0，+）上有唯一零点，试求a的值2015-2016学年广东省揭阳三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）（2007安徽）等差数列an的前n项和为Sn若a2=1，a3=3，则S4=（）A12B10C8D6【分析】由等差数列的前n项和得到，求前四项的和要用

7、第一项和第四项的和，根据等差数列的性质第一项和第四项的和等于第二项与第三项的和，得到结果【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a4=a2+a3，a2=1，a3=3，s4=2（1+3）=8故选C【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解2（5分）（2014秋天津校级期末）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）Ay=x3By=|x+1|Cy=x2Dy=|x|+1【分析】根据偶函数的定义，奇函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：Ay=x3是奇函数，不是偶函数，该选项错误；

8、Bx=1时，y=0，x=1时，y=2，y=|x+1|不是偶函数，该选项错误；Cy=x2在（0，+）单调递减，该选项错误；Dy=|x|+1为偶函数，且x0时，y=|x|+1=x+1为增函数；即y=|x|+1在（0，+）上单调递增，该选项正确故选D【点评】考查奇函数和偶函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性3（5分）（2014香洲区校级模拟）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）A1B2C3D4【分析】由向量的坐标加法运算求得+的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值【解答】解：=（1，k），=（2，2），+=（3，k+2），又+与共线，1×（k

9、+2）3k=0，解得：k=1故选：A【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若=（a1，a2），=（b1，b2），则a1a2+b1b2=0，a1b2a2b1=0，是基础题4（5分）（2014香洲区校级模拟）设函数f（x）=，则ff（4）=（）A2B4C8D16【分析】本题可以根据不同的条件选择不同的解析式进行求值，得到本题结论【解答】解：函数f（x）=，f（4）=1log24=12=1，ff（4）=f（1）=21（1）=22=4故选B【点评】本题考查的是分段函数的函数值求法，本题难度不大，属于基础题5（5分）（

10、2015中山二模）函数是（）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为2的奇函数D周期为2的偶函数【分析】利用诱导公式化简函数，然后直接求出周期，和奇偶性，确定选项【解答】解：因为：=2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：故选B【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考查计算能力，是基础题6（5分）（2014香洲区校级模拟）已知tan=，则cos2的值为（）ABCD【分析】利用余弦的二倍角公式可求得cos2=cos2sin2，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2+cos2，分子分母同时除以cos2a，转化成正切，然后把tan的值代入即可【解答】解：cos2=cos2s

11、in2=故选：D【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化7（5分）（2015呼伦贝尔一模）设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）ABCD【分析】设与的夹角为，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得=，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角的值【解答】解：设与的夹角为，|+|=1，（+）2=2+2+2=1（*）向量、均为单位向量，可得|=|=1代入（*）式，得1+2+1=1=1，所以=根据向量数量积的定义，得|cos=cos=，结合0，得=故选C【点评】本题已知两个单

12、位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题8（5分）（2015秋揭阳月考）函数y=cos2xsin2x 的一条对称轴为（）Ax=Bx=Cx=Dx=【分析】化简可得y=cos（2x+）令2x+=k可得x=，kZ，结合选项给k取值可得答案【解答】解：化简可得y=cos2xsin2x =（cos2xsin2x ）=（coscos2xsinsin2x ）=cos（2x+）令2x+=k可得x=，kZ，结合选项可知当k=0时，函数的一条对称轴为x=故选：C【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的对称性，属基础题9（5分）（2014秋

13、贞丰县期末）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f（x）的图象是（）ABCD【分析】先根据二次函数的判断出a，b的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，a0，0，b0，f（x）=2ax+b，函数f（x）的图象经过一，三，四象限，A符合，故选A【点评】本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题10（5分）（2010吴川市模拟）已知函数f（x）=x3+ax2x1在（，+）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）ABCD【分析】由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口

14、向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点或只有一个交点，即小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围【解答】解：由f（x）=x3+ax2x1，得到f（x）=3x2+2ax1，因为函数在（，+）上是单调函数，所以f（x）=3x2+2ax10在（，+）恒成立，则=，所以实数a的取值范围是：，故选B【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题11（5分）（2006天津）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值

15、点的个数为（）A1B2C3D4【分析】根据当f'（x）0时函数f（x）单调递增，f'（x）0时f（x）单调递减，可从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，然后得到答案【解答】解：从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点故选：A【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系属基础题12（5分）（2015新课标）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=x对称，且f（2）+f（4）=1，则a=（）A1B1C2D4【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析

16、式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决【解答】解：与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2xa（x0），即g（x）=log2xa，（x0）函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=x对称，f（x）=g（x）=log2（x）+a，x0，f（2）+f（4）=1，log22+alog24+a=1，解得，a=2，方法二：故选：C【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）

17、（2009秋扬州期末）已知，若，则k=6【分析】先根据向量的线性运算可求得与，再由可得到（2+2k）×（1）=7（4k），进而可求得k的值【解答】解：=（2，1）+2（k，3）=（2+2k，7）=2（2，1）（k，3）=（4k，1）（2+2k）×（1）=7（4k），k=6故答案为6【点评】本题主要考查向量的线性运算和向量平行的坐标运算考查基础知识的综合应用和灵活能力考查对向量的掌握程度和计算能力14（5分）（2012吴中区校级模拟）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是【分析】对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值【解答】解：y=x

18、+2cosx，y=12sinx令y=0而x则x=，当x0，时，y0当x，时，y0所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题15（5分）（2014香洲区校级模拟）已知tan（+）=，tan=，则tan（+）的值为【分析】利用两角和与差的正切函数，结合已知条件求出tan，然后求解tan【解答】解：tan（+）=，tan=，tan（+）=，解得tan=，tan（+）=故答案为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正切函数公式的应用，考查计算能力16（5分）（2014香洲区校级模拟）下列四种说法：命题“xR，使得x2+13x”的否

19、定是“xR，都有x2+13x”；设p、q是简单命题，若“pq”为假命题，则“¬p¬q”为真命题；若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；把函数y=sin（2x）（xR）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（xR）的图象其中所有正确说法的序号是【分析】利用命题的否定判断的正误；复合命题的真假判断的正误；充要条件判断的正误；三角函数图象的平移判断的正误；【解答】解：对于，命题“xR，使得x2+13x”的否定是“xR，都有x2+13x”；满足命题的否定形式，所以正确对于，设p、q是简单命题，若“pq”为假命题，说明两个命题都是假命题，命题

20、的否定是真命题，则“¬p¬q”为真命题；所以正确对于，若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；满足充要条件的关系，所以正确；对于，把函数y=sin（2x）（xR）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（xR）的图象符号平移原则，所以正确；故答案为：【点评】本题考查命题的子啊的判断，特称命题与全称命题的否定关系，充要条件以及复合命题的真假，三角函数图象的平移，基本知识的考查三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）（2012重庆）已知an为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（）

21、求an的通项公式（）记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值【分析】（）设等差数列an的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到an的通项公式（） 由（）可得 an的前n项和为Sn =n（n+1），再由=a1 Sk+2 ，求得正整数k的值【解答】解：（）设等差数列an的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2an的通项公式 an =2+（n1）2=2n（） 由（）可得 an的前n项和为Sn =n（n+1）若a1，ak，Sk+2成等比数列，=a1 Sk+2 ，4k2 =2（k+2）（k+3），k=6 或k=1（舍去），故 k=6【点评】本

22、题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题18（12分）（2009秋揭阳期末）已知：ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长【分析】（1）利用两角和公式和诱导公式整理题设等式求得sin（A+B）=sin2C，进而整理求得cosC的值，进而求得C（2）利用sinA，sinC，sinB成等差数列求得三者的关系式，利用正弦定理转化成边的关系式，利用求得ab的值，进而分别代入余弦定理求得c【解答】解：（1）由cos（A）cosB+sinBsin（+A）=sin（2C）得sinAcosB+sinB

23、cosA=sin2Csin（A+B）=sin2C，A+B=C，sin（A+B）sinCsinC=sin2C=2sinCcosC，0CsinC0cosC=C=（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得2c=a+b，即abcosC=18，ab=36由余弦弦定理c2=a2+b22abcosC=（a+b）23ab，c2=4c23×36，c2=36，c=6【点评】本题主要考查了解三角形问题，三角函数恒等变换及化简求值考查了考生分析问题的能力和基本的运算能力19（12分）（2015秋揭阳月考）有编号为D1，D2，D10的10个零件，测量其直径（

24、单位：mm），得到下面数据：其中直径在区间（148，152内的零件为一等品编号D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10直径151148149151149152147146153148（1）从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取2个用表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望【分析】（1）由所给数据可知，10个零件中一等品零件共有5个从上述10个零件中，随机抽取2个，基本事件总数n=，2个零件均为一等品包含的基本事件个数m=，由此能求出这2个零件均为一等品的概率（2）的可能取值为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此

25、能求出的分布列和数学期望E【解答】（本题满分12分）解：（1）由所给数据可知，10个零件中一等品零件共有5个（1分）设“从上述10个零件中，随机抽取2个，2个零件均为一等品”为事件A，则（4分）（2）的可能取值为：0，1，2，3，（5分）且，（9分）的分布列为：0123P（）数学期望E=（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查整体思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题20（12分）（2010揭阳学业考试）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知A=45°，C=90°，ADC=105&

26、#176;，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点（1）求证：DC平面ABC；（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；（3）求二面角BEFA的余弦【分析】（1）根据题设中的条件，用线面垂直的判定定理证明DC平面ABC；（2）点E、F分别为棱AC、AD的中点可得出EFCD，由（1）知，EF平面ABC，由此证得FBE即为所求线面角，正弦值易求；解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴，BA所在直线为Z轴建立如图的空间直角坐标系，给出有关各点的坐标，由题设条件求出线段BF的方向向量，面ABC的法向量，由公式求出线面角的正

27、弦；（3）由题意可证得AEB为二面角BEFA的平面角，在直角三角形中求出AEB，【解答】解：（1）证明：在图甲中AB=BD且A=45°ADB=45°，ABD=90°即ABBD（2分）在图乙中，平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDC=BDAB底面BDC，ABCD（4分）又DCB=90°，DCBC，且ABBC=BDC平面ABC（5分）（2）解法1：E、F分别为AC、AD的中点EFCD，又由（1）知，DC平面ABC，EF平面ABC，垂足为点EFBE是BF与平面ABC所成的角（7分）在图甲中，ADC=105°，BDC=60°，DBC=3

28、0°设CD=a则， （9分）在RtFEB中，即BF与平面ABC所成角的正弦值为（10分）解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD=a，则BD=AB=2a，（6分）可得B（0，0，0），D（2a，0，0），A（0，0，2a），F（a，0，a），（8分）设BF与平面ABC所成的角为由（1）知DC平面ABC（10分）（3）由（2）知FE平面ABC，又BE平面ABC，AE平面ABC，FEBE，FEAE，AEB为二面角BEFA的平面角（12分）在AEB中，即所求二面角BEFA的余弦为（14分）（其他解法请参照给分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法

29、，解答本题，关键是掌握求二面角的方法，即作出平面角，证明平面角，再求平面角，尤其是中间一步证明平面角易漏掉，做题时要注意，本题涉及到了线面角的求法，线面垂直的证明，涉及到的知识点较多，对推理论证能力要求较高21（12分）（2015秋揭阳月考）如图在直角坐标系xOy中，过动点P的直线与直线l：x=1垂直，垂足为Q，点F（1，0）满足（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）证明：以线段PF为直径的圆与y轴相切【分析】（1）设P（x，y），则Q（1，y），通过向量的数量积求出动点P的轨迹C的方程；（2）根据题意，利用抛物线的定义与线段中点的坐标公式，算出PF中点到y轴的距离等于PF长的一半，即可得出以PF为直径的圆与y轴相切【解答】（1）解：设P（x，y），则Q（1，y），F（1，0），（x+1，0）（2，y）=（x1，y）（2，y），（2分）2（x+1）=2（x1）+y2，y2=4x，即动点P的轨迹C的方程为y2=4x；（5分）（2）证明：根据题意，可得抛物线y2=2px的焦点为F（1，0），设P（m，n），PF的中点为A（x1，y1），可得