计算机图形学第11讲二维变换及二维观察课件

1、2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察1The class is begin !2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察2第第6章章 二维变换及二维观察二维变换及二维观察提出问题提出问题 如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察图形变换的作用图形变换的作用 可由简单图形得到复杂图形，方便用户观察可由简单图形得到复杂图形，方便用户观察 可应用户需求随时对图形进行连续几何变换可应用户需求随时对图形进行连续几何变换2022-3-2

2、4计算机图形学第11讲二维变换及二维观察36.1.1 齐次坐标齐次坐标引入目的：引入目的： 将齐次坐标技术引入到计算机图形学中，图将齐次坐标技术引入到计算机图形学中，图形的变换可以转化为形的变换可以转化为表示图形的点集矩阵与某一变表示图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘换矩阵进行矩阵相乘这一单一问题，便于借助于计这一单一问题，便于借助于计算机的高速计算功能得到变换后的图形，从而为高算机的高速计算功能得到变换后的图形，从而为高动态的计算机图形显示提供了可能性。动态的计算机图形显示提供了可能性。6.1 基本概念基本概念2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察4 齐次坐标表示齐次

3、坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。如：在二维平面中，点px,y的齐次坐标表示为hx,hy,h，h为任一不为0的比例系数。 在三维、四维n维空间中依此类推。可见，某点的齐次坐标是不唯一的。可见，某点的齐次坐标是不唯一的。2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察5 保证齐次坐标惟一性的办法保证齐次坐标惟一性的办法就是定义规范化齐次坐标表示。 规范化齐次坐标表示规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。 规范化齐次坐标表示提供了用矩阵运算把二维、三维规范化齐次坐标表示提供了用矩阵运算把二维、三维甚至更高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另甚至更高维空间中的一个点集从一个

4、坐标系变换到另一个坐标系的有效办法一个坐标系的有效办法。2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察6 在定义了规范化齐次坐标后，图形变换可以在定义了规范化齐次坐标后，图形变换可以表示为图形点集的表示为图形点集的规范化齐次坐标矩阵与某一变规范化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘的形式。换矩阵进行矩阵相乘的形式。 如，二维齐次变换矩阵，简称为二维变换矩阵为：如，二维齐次变换矩阵，简称为二维变换矩阵为：smlqdcpbaTD22022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察7图形的图形的几何变换几何变换是指对图形的几何信息经过平是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换

5、后产生新的图形，是移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺寸和形状方面的变换。图形在方向、尺寸和形状方面的变换。6.1.2 几何变换几何变换2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察86.1.3 二维变换矩阵二维变换矩阵 smlqdcpbayxTyxyxD1112设设p(x,y)为为xOy平面上二维图形变换前的一点，变换平面上二维图形变换前的一点，变换后该点为后该点为p(x,y)，通过引入规范化齐次坐标可进通过引入规范化齐次坐标可进行如下变换：行如下变换：比例、旋转、比例、旋转、对称、错切等对称、错切等变换变换平移变换平移变换投影变换投影变换整体比例变换整体比例变换2

6、022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察96.2 基本几何变换基本几何变换基本几何变换都是相对于坐标原点坐标原点和坐标轴坐标轴进行的几何变换【声明声明】在以下的讲述中，均假定用在以下的讲述中，均假定用p(x, y)表示平面表示平面xOy上一个未被变换点，该点经某种变换后变为新上一个未被变换点，该点经某种变换后变为新点用点用p(x, y)表示。表示。2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察106.2.1 平移变换平移变换平移平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。YXTxTy图6-1 平移变换PPTp点经平移变换后有： x=x+Tx y

7、=y+TyTx、Ty分别为x方向、y方向的平移矢量平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换（rigid-body transformation）2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察111010001yxTT引入齐次坐标和二维变换矩阵后，平移变换的计算引入齐次坐标和二维变换矩阵后，平移变换的计算形式可写为形式可写为：6.26.2.1.1 平移变换平移变换x y 1 =x y 1*=x+Tx y+Ty 1平移变换矩阵平移变换矩阵2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察126.2.2 比例变换比例变换比例变换比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y

8、方向放缩Sy倍。p点经比例变换后有： x=x.Sx y=y.SySx和Sy称为比例系数比例系数YX图6-2 比例变换(Sx=2,Sy=3)P(4,3)P(2,1)2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察13引入齐次坐标和二维变换矩阵后，比例变换的计算引入齐次坐标和二维变换矩阵后，比例变换的计算形式如下形式如下：6.2.2 比例变换比例变换x y 1 =x y 1*=x.Sx y.Sy 1比例矩阵比例矩阵1000000yxSS2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察14(a) Sx=Sy比例原图(b) SxSy比例原图图6-3 比例变换SxSySx=Sy1Sx=S

9、y1、0S1、S0：图形沿+x方向作错切位移。ABCDA1B1C1D1n当c0：图形沿+y方向作错切位移。ABCD A1B1C1D1n当b0：图形沿-y方向作错切位移。ABCD A2B2C2D22022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察31两个方向错切错切当b0且c0时，n(x y 1)=(x+cy bx+y 1) ：图形沿x,y两个方向作错切位移。n错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生变形。2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察32过过 渡渡以上的分析均是以点的变换为基础的，但得到的以上的分析均是以点的变换为基础的，但得到的变换矩阵是完全可以推广到

10、直线、多边形等二变换矩阵是完全可以推广到直线、多边形等二维图形的几何变换的变换中维图形的几何变换的变换中即即二维图形的几何变换均可表示成齐次坐标与二维图形的几何变换均可表示成齐次坐标与3阶阶的二维变换矩阵的二维变换矩阵T的乘法形式。的乘法形式。2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察336.2.6 二维图形几何变换的计算二维图形几何变换的计算一般，几何变换均可表示成一般，几何变换均可表示成P=P*T的形式，的形式，其中，其中，P为变换前二维图形的规范化齐次坐标，为变换前二维图形的规范化齐次坐标，P为变换后二维图形的规范化齐次坐标，为变换后二维图形的规范化齐次坐标，T为变换矩阵。

11、为变换矩阵。2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察34点的变换点的变换将点表示为规范化齐次坐标形式，可为行矩阵将点表示为规范化齐次坐标形式，可为行矩阵（或列矩阵），则（或列矩阵），则P=P*T的形式可写为：的形式可写为：x y 1 =x y 1*T2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察35直线的变换直线的变换直线的变换可通过对直线两端点进行变换，从直线的变换可通过对直线两端点进行变换，从而改变直线的位置和方向。而改变直线的位置和方向。直线两端点的规范化齐次坐标矩阵为：直线两端点的规范化齐次坐标矩阵为：与变换矩阵相乘，与变换矩阵相乘， P=P*T，即即x1 y

12、1 1x2 y2 1x1 y1 1x2 y2 1x1 y1 1x2 y2 1.T=2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察36多边形的变换多边形的变换多边形的变换是将变换作用于每个顶点的坐标多边形的变换是将变换作用于每个顶点的坐标位置，并按新的顶点坐标和当前属性设置来生位置，并按新的顶点坐标和当前属性设置来生成新的多边形。成新的多边形。具体操作为：首先将各个顶点坐标写成矩阵形具体操作为：首先将各个顶点坐标写成矩阵形式，然后集中一起与变换矩阵相乘。式，然后集中一起与变换矩阵相乘。例如：有例如：有n个顶点的多边形，顶点矩阵为：个顶点的多边形，顶点矩阵为：2022-3-24计算机图形学第11讲二维变换及二维观察37多边形的变换多边形的变换与变换矩阵相乘，与变换矩阵相乘， Pn=Pn*T，即即x1 y1 1x2 y2 1 xn yn 1.T=x1 y1 1x2 y2