BBD无穷小的比较

1、主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第九讲2 第一章 第八节无穷小的比较一、无穷小的阶一、无穷小的阶二、二、 等价无穷小等价无穷小3,0时xxxxsin,32都是无穷小,xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 引例引例 .一、无穷小的阶一、无穷小的阶4定义定义.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若, 1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作5例如例如 , 当)(o0 x时3

2、x26xxsinxxtan;xxarcsinx2cos1lim20 xxx220sin2limxx又如又如 ，22x1故0 x时xcos1221x2022sinlimxxx211lim0 xxx112lim0 xxxx1为等价无穷小。与xx21110 x6定理定理1 . 设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052二、等价无穷小的性质及其应用二、等价无穷小的性质及其应用7设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明:无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价可得简化某些极限

3、运算的下述规则. 若 = o() , 例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则证明证明lim）（1lim18(2) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界, 则)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 2cos12xx9例例2. 证明: 当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxx

4、n1nnba)(ba1(naban 2)1nb10. )1(lim2xxxx解解 ) 111(lim22xxx2221limxxx2122121111xx例例3. 求11例例4. 求.)1 (loglim0 xxax解解:原式)1 (log1lim0 xxaxealogaelnlnxx )1ln( xxax1)1 (loglim0 xxx)1ln(lim0aln11说明说明: 当, ea 时, 有0 x12.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttatealnln说明说明: 当, ea 时, 有0 xxexx1lim0 xex1例例5.

5、 求. 1tatt10)1 (log1limaln)1 (log11lim0ttat. 1ln1lim0axaxxaxaxln113231x221x例例6. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式3214例例7113tan21lnlim3220 xxxxxIxuu2111解解32203tan21lnlim2xxxxxIx3tan21lnlim22220 xxxxxx10)32(2xx221ln2233tanxx232 xxx 15例例8. 求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(s

6、in3xxex0limx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2)21 (lim(30 xxx16例例982lim232xbaxxIx试确定 a , b .解：解：此题分母的极限为0，当2x时)(lim232baxxx048ba84 ab8412a2)4()8(lim232xxaxIx)42)2(lim22axaxx1a4b可见分子的极限一定为0，则有17内容小结内容小结0lim,0, )0(C,11. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小182. 等价无穷