第3章轴向拉伸与压缩

1、轴向拉伸与压缩的概念及实例轴向拉伸与压缩的概念及实例 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图受轴向外力作用的等截面直杆受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆拉杆和压杆桁架的示意图桁架的示意图（未考虑端部连接情况）（未考虑端部连接情况）轴向拉伸与压缩的内力轴向拉伸与压缩的内力 材料力学中所研究的内力材料力学中所研究的内力物体内各质点间原物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。 根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连根

2、据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力该截面上的内力( (实实为分布内力系的合成为分布内力系的合成) )。轴力图轴力图步骤：步骤：（1 1）假想地截开指定截面；）假想地截开指定截面；（2 2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；（3 3）根据分离体的平衡求出内力值。）根据分离体的平衡求出内力值。mmmmmm或或 横截面横截面mm上上的内力的内力FN其作用线与杆的轴线其作用线与杆的轴线重合重

3、合( (垂直于横截面并通过其形心垂直于横截面并通过其形心) )轴力轴力。无论。无论取横截面取横截面mm的左边或右边为分离体均可。的左边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定规定: : 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形为负。轴力指向截面产生缩短变形为负。轴力背离截面轴力背离截面FN=+F 用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力用于物体上的外力( (荷载荷载) )不能任意移动或用静力等不能任意移动或

4、用静力等效的相当力系替代。效的相当力系替代。轴力指向截面轴力指向截面FN=-=-FF(c)F(f) 轴力图轴力图( (FN图图) )显示横截面上轴力与横截面位置显示横截面上轴力与横截面位置的关系。的关系。例题例题 试作此杆的轴力图。试作此杆的轴力图。(a)等直杆的受力示意图解：解：为求轴力方便，先求出为求轴力方便，先求出约束力约束力 FR=10 kN为方便，取横截面为方便，取横截面11左边为分离体，假设轴左边为分离体，假设轴力为拉力，得力为拉力，得FN1=10 kN(拉力拉力)FN2=50 kN( (拉力拉力) )为方便取截面为方便取截面33右边为右边为分离体，假设轴力为拉力。分离体，假设轴力

5、为拉力。FN3=-5 kN （压力）（压力），同理，同理，FN4=20 kN (拉力拉力)轴力图轴力图(FN图图)显示了各段杆横截面上的轴力。显示了各段杆横截面上的轴力。kN502NmaxN, FF应力的概念应力的概念 受力杆件受力杆件( (物体物体) )某一截面的某一截面的M点附近微面积点附近微面积A上分布内力的平均集度即上分布内力的平均集度即平均应力平均应力， ，其方向和大小一般而言，随所取其方向和大小一般而言，随所取A的大小而不同。的大小而不同。AFpmAFAFpAddlim0该截面上该截面上M点处分布内力的集度为点处分布内力的集度为 ，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称其方向

6、一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为为总应力总应力。总应力总应力 p法向分量法向分量正应力正应力s某一截面上法向分某一截面上法向分布内力在某一点处布内力在某一点处的集度的集度切向分量切向分量切应力切应力t t某一截面上切向分某一截面上切向分布内力在某一点处布内力在某一点处的集度的集度问题提出：问题提出：PPPP拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力实验：实验：为此：为此：1. 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉( (压压) )后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。且仍垂直

7、于杆的轴线。 2. 2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设平截面假设原为平面的横截面在杆变形后仍为原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉平面，对于拉( (压压) )杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。 3. 推论：拉推论：拉(压压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长的伸长(缩短缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉进一步推知，拉(压压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截横截面上各

8、点处的正应力面上各点处的正应力s s 都相等（拉正压负）都相等（拉正压负）。4. 等截面拉等截面拉( (压压) )杆横截面上正应力的计算公式杆横截面上正应力的计算公式 。AFNs注意：注意： 1. 1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件特定杆件, ,例如锲形变截面杆，受拉伸例如锲形变截面杆，受拉伸( (压缩压缩) )时，平截面假时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。 2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面

9、上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 3. 圣维南圣维南(Saint-Venant)原理：原理：“力作用于杆端方式的力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响影响”。圣维南原理圣维南原理FFFFFF22F2F2影响区影响区( a )( b )( c )集中集中力附近区域力附近区域的应力分布规律的应力分布规律比较复杂比较复杂，不是，不是均匀分布，均匀分布，影响影响的长度不超过杆的长度不超过杆的横向尺寸的横向尺寸杆端应力分布应力非均布区应力非均布区 应力均布区应力均布区

10、 应力非均布区应力非均布区圣维南原理 力作用于杆端的分力作用于杆端的分布方式，只影响杆端布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，局部范围的应力分布，影响区约距杆端影响区约距杆端 1 12 2倍杆的横向尺寸。倍杆的横向尺寸。 端镶入底座，横向变形端镶入底座，横向变形受阻，杆应力非均匀分布。受阻，杆应力非均匀分布。纵向变形、纵向线应变纵向变形、纵向线应变FFbhh1 lllll 1 1泊松比泊松比 bbbbb 1 1 FFbhh1 bbb 1纵向变形、纵向线应变纵向变形、纵向线应变胡克定律胡克定律 s s AFN ll s sE EAlFlN 例例钢制阶梯轴如图钢制阶梯轴如图a所示，已知轴所示，已知

11、轴向外力向外力F1=50kN;F2=20kN；各段杆长为；各段杆长为l1=l2=0.24m，l3=0.3m；直径；直径d1=d2=25mm，d3=18mm；钢的弹性模量；钢的弹性模量E=200GPa，试，试求各段杆的纵向变形和线应变。求各段杆的纵向变形和线应变。解：解：(1)求如图求如图a所示截面所示截面l-1、 2-2、3-3的轴力，得到的轴力，得到 FNl=-30kN， FN2=FN3=20kN 画轴力图，如图画轴力图，如图b所示。所示。 (2)计算各段杆的纵向变形计算各段杆的纵向变形31 1192130 100.240.0733mm200 100.0254NF llmEA 32 2292

12、220 100.240.0489mm200 100.0254NF llmEA33 3392320 100.300.118mm200 100.0184NF llmEA(3)计算各段杆的线应变计算各段杆的线应变341117.33 103.05 100.24ll 542224.89 102.04 100.24ll443331.18 103.93 100.30ll拉伸试验简介拉伸试验简介试验标准：试验标准： 标准拉伸试样：标准拉伸试样：规定标距规定标距: 10ld或者或者 5ldGB/T 2282002 金属材料室温拉伸试验方法金属材料室温拉伸试验方法 标距：标距： 试样工作段的原始长度试样工作段的原

13、始长度低碳钢在拉伸时的力学性能低碳钢在拉伸时的力学性能试验设备试验设备 试验设备试验设备 液压式液压式 电子式电子式 低碳钢拉伸低碳钢拉伸 曲线曲线 线弹性阶段（线弹性阶段（Ob 段）段）性能特点性能特点 弹性变形弹性变形弹性变形：卸载后会消失的变形弹性变形：卸载后会消失的变形 应力与应变成正比（应力与应变成正比（Oa 段）段）性能参数性能参数 比例极限比例极限 s sp 胡克定律适用范围：胡克定律适用范围：s s s s p 弹性模量弹性模量 E弹性模量弹性模量 E 就等于就等于 Oa 直线段的斜率，即直线段的斜率，即tanEs屈服阶段（屈服阶段（bc 段）段）性能特点性能特点 塑性变形塑性

14、变形塑性变形：卸载后不会消失塑性变形：卸载后不会消失 屈服现象屈服现象性能参数性能参数 屈服极限屈服极限 s ss ：下屈服点的应力，发生屈服现象的最小应力。：下屈服点的应力，发生屈服现象的最小应力。屈服现象：材料暂时丧失了屈服现象：材料暂时丧失了的变形的变形 变形抗力变形抗力 强化阶段（强化阶段（ ce 段）段）性能特点性能特点 弹弹塑性变形塑性变形 强化现象强化现象性能参数性能参数 强度极限强度极限 s s b ：s s 曲线曲线最高点的应力，即断裂前所能承受最高点的应力，即断裂前所能承受强化现象：材料恢复了变形强化现象：材料恢复了变形抗力。抗力。 的最大应力。的最大应力。缩颈阶段（缩颈阶

15、段（ef 段）段）缩颈现象：缩颈现象：变形抗力急剧下降，直至断裂变形抗力急剧下降，直至断裂变形局部化变形局部化缩颈与断裂缩颈与断裂dsd卸载规律与冷作硬化现象卸载规律与冷作硬化现象冷作硬化现象：冷作硬化现象：卸载规律：卸载规律：线性卸载，如图中线性卸载，如图中 dd直线段直线段材料预加塑性变形后重新加载，材料预加塑性变形后重新加载，比例极限提高，塑性变形降低。比例极限提高，塑性变形降低。d卸载与再加载规律卸载与再加载规律 p塑性应变塑性应变s s e弹性极限弹性极限 e 弹性应变弹性应变冷作硬化：冷作硬化：由于预加塑性变形由于预加塑性变形, 使使s s e 或或s s p 提高的现象提高的现象

16、材料的塑性指标材料的塑性指标 （1）伸长率）伸长率 1100%lll l 为为标距；标距； l1 为试件拉断为试件拉断后后工作段的长度工作段的长度（2）断面收缩率）断面收缩率 1100%AAA A 为为原始横截面积；原始横截面积； A1 为试件拉断为试件拉断后后断口处的最小横截面积断口处的最小横截面积工程中通常将材料划分为两类：工程中通常将材料划分为两类：塑性材料塑性材料： 5 % 5 % 例如结构钢与硬铝等例如结构钢与硬铝等脆性材料脆性材料： 5 % 5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等例如灰口铸铁与陶瓷等名义屈服极限名义屈服极限 有些塑性材料不存在明显有些塑性材料不存在明显的屈服阶段，工程中通常以

17、的屈服阶段，工程中通常以产生产生 0.2% 的塑性应变所对的塑性应变所对应的应力作为屈服强度指标，应的应力作为屈服强度指标，称为称为名义屈服极限名义屈服极限或条件屈或条件屈服极限，记作服极限，记作s s 0.2。铸铁拉伸时的力学性能铸铁拉伸时的力学性能 性能特点性能特点 铸铁拉伸铸铁拉伸 s s 曲线曲线 (1) 塑性变形很小塑性变形很小 (2)强度指标：强度极限强度指标：强度极限 s sb(3)抗拉强度很低抗拉强度很低(4) 弹性模量弹性模量/%/MPas 以以s s 曲线开始部分的割线曲线开始部分的割线的斜率作为的斜率作为弹性模量，即对于弹性模量，即对于铸铁，胡克定律近似成立。铸铁，胡克定

18、律近似成立。金属材料压缩时的力学性能金属材料压缩时的力学性能ctEE csts)()(s ss s 愈压愈扁愈压愈扁ctEE 低碳钢压缩低碳钢压缩 铸铁压缩铸铁压缩 曲线曲线s 抗压强度极限抗压强度极限 s sbc 明显高于抗拉明显高于抗拉强度极限强度极限s sb（约为（约为 34 倍）倍） 断口方位角大致为断口方位角大致为 45 55 脆性材料适宜制作承压构件脆性材料适宜制作承压构件 什么原因？什么原因？主要结论：主要结论：灰口铸铁压缩( (s sb)c= 3 4 (s sb)t断口与轴线约成断口与轴线约成45o材料强度、弹性常数随温度变化的关系中炭钢中炭钢硬铝硬铝构件形状尺寸变化而引起局部

19、应力急剧增构件形状尺寸变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为大的现象，称为应力集中应力集中保证保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件拉压杆不致因强度不够而破坏的条件 maxNmaxs ss s AF maxN,s s AF校核强度校核强度 已知杆外力、已知杆外力、A与与 s s ，检查杆能否安全工作检查杆能否安全工作截面设计截面设计 已知杆外力与已知杆外力与 s s ，确定杆所需横截面面积确定杆所需横截面面积maxN,s sFA Ns sAF 确定承载能力确定承载能力 已知杆已知杆A与与 s s ，确定杆能承受的确定杆能承受的FN,max常见强度问题类型强度条件 变截面变轴力拉压杆变截面变轴力拉

20、压杆 等截面拉压杆等截面拉压杆断裂与屈服，相应极限应力断裂与屈服，相应极限应力脆性材料塑性材料-bsus ss ss s 构件工作应力的最大容许值构件工作应力的最大容许值nus ss s n 1 安全因数安全因数脆性材料脆性材料塑性材料塑性材料-bbssnns ss ss ss s 静荷失效许用应力 例例如图如图a所示，结构包括钢杆所示，结构包括钢杆1和铜杆和铜杆2，A、B、C处为铰链连接。处为铰链连接。在节点在节点A悬挂一个悬挂一个G=20kN的重物。钢杆的重物。钢杆AB的横截面面的横截面面A1=75 mm2，铜杆的横截面面积为铜杆的横截面面积为A2=150 mm2 。材料的许用应力分别为。材料的许用应力分别为 ， ，试校核此结构的强度。试校核此结构的强度。 解：解：求各杆的轴力，取求各杆的轴力，取节点节点A为研究对象，做出为研究对象，做出其受力图其受力图(如图如图b)，图中假，图中假定两杆均为拉力。定两杆均为拉力。 由平衡方程由平衡方程 1 160M Pas 2 100MPas 2110,sin30sin450nixNNiFFF 1210,cos 45cos300niyNNiFFFG 解得解得两杆横截面上的应力分别为两杆横截面上的应力分别为 1210.4kN,14.6kN