chapt(扭转)材料力学

1、第五节第五节 等直圆杆在扭转时的变形、刚度计算等直圆杆在扭转时的变形、刚度计算第一节第一节 概述概述第二节第二节 传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图第三节第三节 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转第四节第四节 等直圆杆在扭转时的应力、强度条件等直圆杆在扭转时的应力、强度条件ABABj jg gmmg g：剪切角：剪切角g g( (剪应变剪应变)j j：相对扭转角：相对扭转角外力偶作用平面和杆件横截面平行外力偶作用平面和杆件横截面平行第一节第一节 概概 述述R0 -薄壁圆筒薄壁圆筒规定：规定：矢量方向与横截面外矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正法线方向一致的扭矩为正mm

2、0R第二节第二节 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转mT11扭矩扭矩切应力切应力对应对应扭转实验前扭转实验前平面假设平面假设成立成立相邻截面绕轴线作相对转动相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的剪（切）应横截面上各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切。力的方向必与圆周线相切。纵线纵线圆周线圆周线扭转实验后扭转实验后结论结论eMr 0AdA得：得：02AMe其中：其中：200rAMer0 xdA由几何关系知：由几何关系知：lr /ggG剪切胡克定律剪切胡克定律（线弹性范围适用）（线弹性范围适用）OT TO另外有另外有：）（12EGG为材料的剪切弹性模量为材料的剪切弹性模量 一一、传动轴上的外力偶矩、传

3、动轴上的外力偶矩第三节第三节 传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图转速转速：n(转转/分分)输入功率输入功率：P(kW)T1分钟输入功：分钟输入功：PPW600001000601分钟分钟me作功作功eeenMnMMW2) 12(WW )(9550mNnPMe 例例一一 传动轴如图所示，主动轮传动轴如图所示，主动轮A输入功率输入功率PA=50kW，从，从动轮动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的，轴的转速转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。，计算各轮上所受的外力偶矩。 MAMBMCBCADMD解：解：计算外力偶

4、矩计算外力偶矩mN6379550mN5 .4779550mN15929550nPMnPMMnPMDDBCBAA 二二、扭矩及扭矩图、扭矩及扭矩图 1.横截面上的内力：横截面上的内力：扭矩扭矩(T) 2.扭矩图扭矩图：与轴力图作法完全相同：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小纵坐标改为扭矩大小)。例二例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBCADMD解：已知解：已知mN637mN5 .477mN1592DCBAMMMM477.5Nm955Nm637NmT+-作扭矩图如左图示。作扭矩图如左图示。abdxabTT 一一、横截面上的应力、横截面上

5、的应力1、变形几何关系变形几何关系第四节第四节 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件xddjgg gMeMedxO2jdg g g g 2、物理关系物理关系(剪切虎克定律剪切虎克定律)xGGddjggGOr3、力学关系力学关系p2ddddIxGdAxGdATAAjj极惯性矩极惯性矩AdAI2pdAdA：点到截面形心的距离：横截面上的扭矩TITptWTITrpmaxrIWpp应力公式应力公式1)横截面上任意点：横截面上任意点：2)横截面边缘点：横截面边缘点：其中：其中：maxd/2OT抗扭截面模量抗扭截面模量324pdI163pdW()1 (32324444pDdDI)

6、1 (1643pDWmaxD/2OTd/2空心圆空心圆实心圆实心圆 二二、斜截面上的应力、斜截面上的应力单元体单元体：微小的正六面体：微小的正六面体o dydzdxxyz 在扭转时，左右两侧面（杆的横截在扭转时，左右两侧面（杆的横截面）上只有切应力，方向与面）上只有切应力，方向与y轴平行，轴平行，前后无应力。前后无应力。由平衡知：由平衡知：= 切应力互等定理切应力互等定理：两个：两个 相互垂直平面上的剪应力相互垂直平面上的剪应力和和数值数值相等，且都指向（或背离）该两平面的交线。相等，且都指向（或背离）该两平面的交线。注意注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。：上述定理具有普

7、遍意义，在有正应力的情况下同样成立。 纯剪切状态纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有剪应：单元体在其两对互相垂直的平面上只有剪应力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力） abxn (0sinsindcoscosdd0cossindsincosddAAAtAAAn得：得：2cos2sin0045min45max，低碳钢扭转破坏低碳钢扭转破坏铸铁扭转破坏铸铁扭转破坏 三三、强度条件、强度条件强度条件强度条件： ， 许用切应力许用切应力；pmaxmaWTx 轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处

8、于纯剪切状纯剪切状态态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。根据强度条件可进行：根据强度条件可进行：强度校核强度校核; 选择截面选择截面; 计算许可荷载。计算许可荷载。 理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力 与与许用正应力许用正应力之间存在下述关系：之间存在下述关系：对于塑性材料对于塑性材料 (0.5一一0.577) 对于脆性材料，对于脆性材料， (0.81.0) l 式中，式中， l代表许用拉应力。代表许用拉应力。 例例三三 某汽车主传动轴钢管外径某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚

9、，壁厚t=2.5mm，传递扭矩，传递扭矩T=1.98kNm， =100MPa，试校核轴的强度。，试校核轴的强度。 33pp4444p103 .202/101 .77)1 (32mmDIWmmDI5 .97PMPaWTmaxmax解解：计算截面参数：计算截面参数： 由强度条件：由强度条件：故轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。 同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴空心轴较实心轴合理较实心轴合理。 MPadWTmaxmax5 .9716/1098. 133p(31334. 044)2(222dtDDAA实空MPa5 .97ma

10、x 若将空心轴改成实心轴，仍使若将空心轴改成实心轴，仍使，则，则由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。空心轴与实心轴的截面空心轴与实心轴的截面面积比面积比(重量比重量比)为：为： 一、扭转时的变形一、扭转时的变形计算目的计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。：刚度计算、为解超静定问题作准备。llxGIT0pddjj相对扭转角相对扭转角：GIp抗扭刚度抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。II、刚度条件刚度条件180maxmaxGIT 其中：其中： 许用扭转角，许用扭转角，取值可根据有关设计标淮或规范取值可根据有关设计标淮或规范确定。确定。第五节第五节 等直

11、圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件单位长度的扭转角单位长度的扭转角：pddGITxj 例四例四 图示圆截面轴图示圆截面轴AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA， MB与与MC 作用，作用，试计算该轴的总扭转角试计算该轴的总扭转角AC(即截面即截面C对截面对截面A的相对转角的相对转角)，并校核轴，并校核轴的刚度。的刚度。 已知已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解： 1扭转变形分析扭转变形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段段BC段的扭矩分别为：段的扭矩分别为：T1180 Nm， T2-140 Nm设其扭转角分别为设其扭转角分别为AB和和BC，则：，则：rad1050. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBCCmBmAmll 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。 由此得轴由此得轴AC的总扭转角为的总扭转角为rad100.33rad101.17-rad1050.