2012年全国各地中考数学解析汇编28与圆有关的位置关系

1、第 1 页（共 72 页）ABCO2012 年全国各地中考数学解析汇编 28 与圆有关的位置关系 11.11.（20122012 山东省荷泽市，山东省荷泽市，1111，3 3）如图，PA、PB 是o 的切线，A、B 为切点，AC 是o 的直径，若P=46，则BAC=_.【解析解析】因为 PA、PB 是o 的切线，所以 PA=PB，OAPA，又因P=46，所以PAB=67，所以BAC=OAP-PAB=90-67=23，【答案答案】23【点评点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.14.（2012 连云港，14，3 分）

2、如图，圆周角BAC=55，分别过 B、C 两点作O 的切线，两切线相交于点 P，则BPC= 。OPBAC【解析解析】连结 OB，OC，则 OBPB，OCPC。则BOC=110，在四边形 PBOC 中，根据四边形的内角和为360，可得BPC=70。【答案答案】70】70【点评点评】本题考查了圆周角与圆心角的关系以及切线的性质。14. （2012 湖南湘潭，14，3 分）如图，ABC的一边AB是O的直径，请你添加一个条件，使BC是O的切线,你所添加的条件为 .【解析解析】根据切线的定义来判断，BCAB，或ABC=900。第 14 题图第 2 页（共 72 页）【答案答案】BCAB，或ABC=900

3、。【点评点评】此题考查此题考查切线的定义。圆的切线垂直于过切点的半径。20. （20122012 浙江丽水浙江丽水 8 8 分，分，2020 题）题） （本题 8 分）如图，AB 为O 的直径，EF 切O 于点 D，过点 B作 BHEF 于点 H，交O 于点 C，连接 BD.（1）求证：BD 平分ABH；（2）如果 AB=12，BC=8，求圆心 O 到 BC 的距离.【解析：】 （1）欲证 BD 平分ABH，只需证OBD=DBH.连接 OD，则OBD=ODB，为止只需证ODB=DBH 即可.（2）过点 O 作 OGBC 于点 G，在 RtOBG 中，利用勾股定理即可求得 OG 的值.【解】：（

4、1）证明：连接 OD.EF 是O 的切线，ODEF.又BHEF，ODBH，ODB=DBH.而 OD=OB，ODB=OBD，OBD=DBH，BD 平分ABH.（2）过点 O 作 OGBC 于点 G，则 BG=CG=4，在 RtOBG 中，OG=52462222 BGOB.【点评】：已知圆的切线，常作过切点的半径构造直角三角形，以便于利用勾股定理求解问题.20.（2012 福州，20，满分 12 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D，AD 交O 于点 E。（1）求证：AC 平分DAB；（2）若B=60，CD=2 3，求 AE 的长。第 3 页

5、（共 72 页）解析：（1）由 CD 是O 的切线，C 是切点，故优先考虑连接 OC，则 OCCD，ADOC，因此易证 AC 平分DAB；（2）由B=60，可联想到 30的直角三角形及用解直角三角形的方法求出 AE，由B=60，可得1=3=30，因为 CD=2 3，因此可得 AC=4 3，从而可求得 AB 的长，连接 OE，易知OEA 是等边三角形，故可求得 AE 的长，本题还可连接 CE、AB 等来求出 AE。答案：（1）证明：如图 1，连接 OC，CD 为O 的切线OCCDOCD=90ADCDADC=90OCD+ADC=180ADOC1=2OA=OC2=31=3即 AC 平分DAB。（2）

6、解法一：如图 2第 4 页（共 72 页）AB 为O 的直径ACB=90又B=601=3=30在 RtACD 中，CD=2 3AC=2CD=4 3在 RtABC 中，AC=4 304 38coscos30ACABCAB连接 OEEAO=23=60，OA=OEEAO 是等边三角形AE=OA=12AB=4.解法二：如图 3，连接 CEAB 为O 的直径ACB=90又B=601=3=30在 RtACD 中，CD=2 302 36tantan30CDADDAC第 5 页（共 72 页）四边形 ABCE 是O 的内接四边形B+AEC=180又AEC+DEC=180DEC=B=60在 RtCDE 中，CD

7、=2 302 32tantan60DCDEDECAE=AD-DE=4.点评：本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质及解直角三角形；考察逻辑思维能力及推理能力，具有较强的综合性，难度中等。23（2012 贵州铜仁，23，12 分） 如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E， ABCD，O 的切线BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F （1）求证：CD BF； （2）若O 的半径为 5， cosBCD=54，求线段 AD 的长【分析】 （1）由 BF 是圆 O 的切线，AB 是圆 O 的直径，根据切线的性质，可得到 BFAB，然

8、后利用平行线的判定得出 CDBF（2）由 AB 是圆 O 的直径，得到ADB=90 ，由圆周角定理得出BAD=BCD，再根据三角函数cosBAD= cosBCD=54=ADAB即可求出 AD 的长【解析】 （1）证明：BF 是圆 O 的切线，AB 是圆 O 的直径 BFAB CDAB23 题图第 6 页（共 72 页） CDBF （2）解：解：AB 是圆 O 的直径 ADB=90 圆 O 的半径 5 AB=10 BAD=BCD cosBAD= cosBCD=45=ADAB1054cosABBADAD=8 AD=8【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊

9、的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点. 23. (2012 湖北随州，23，10 分) 如图，已知直角梯形ABCD，B=90，ADBC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.（1）求证：以AB为直径的O与斜腰CD相切；（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长. 解析解析: :（1）

10、过AB的中点O作OECD于E.证明 OE 的长等于半径即可.（2）证明COD=900，运用勾股定理求值.答案答案: :证明： 过AB的中点O作OECD于E. S梯形ABCD=21(AD+BC) AB=(AD+BC) OA=2(21ADOA+21BCOB)第 7 页（共 72 页）=2(SOAD +SOBC)由S梯形ABCD =SOBC+ SOAD+ SOCDSOBC+ SOAD=SOCD21ADOA+21BCOA=21CDOE21(AD+BC) OA=21CDOE又AD+BC=CD OA=OE,E点在以AB为直径的O上，又OECDCD是O的切线即：CD与O相切 5 分 （2）DA、DE均为O的

11、切线，DA=DE，则1=2，同理3=4. COD=900.CD=)(10862222cmOCOD 5 分点评点评: :本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.（2012 四川成都，27，10 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作O 的切线交 AB 的延长线于 F切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K （1）求证：KE=GE； （2）若2KG=KDGE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若 sin

12、E=35，AK=2 3，求 FG 的长解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明EGK=EKG，然后根据等角对等边，即可证明第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求 FG 的长。答案：（1）如下图，连接 OG，第 8 页（共 72 页）EG 是O 的切线OGGEOGK+EGK90CDABOAG+AKH90OG=OAOGK=OAGEGK=AKH=EKGKE=GE；（2）ACEF理由如下：2KG=KDGE，GE=KEKGKEKDKGKGDKGEKGD

13、EKGDCECACEF（3）在（2）的条件下，ACEFCAFF，ECsinE=35sinC=35,sinF=45,tanE=tanC=34连接 BG，过 G 作 GNAB 于 N，交O 于 Q则弧 BQ=弧 BGBGNBAG设 AH=3k，则 CH=4k于是 BH=221616=33CHkkAHk，OG=+25=26BH AHk第 9 页（共 72 页）EG 是切线，CDABOGF90FOG+F=E+FFOG=ENG=OGsinFOG=25365k=52kBN=OB-ON=OG-OGcosFOG=25451-=656kkBG=22510+=6kNGBNcosBAG=cosBGN=53 1032

14、=105 102 36kBNkGBk30=5kFG=525 2 305 302=4sin81085kNGF点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础，同学们应争取做对。27 （2012 江苏泰州市，27，本题满分 12 分）如图，已知直线l与O 相离，OAl于点 A，OA=5，OA与O 相交于点 P，AB 与O 相切于点 B，BP 的延长线交直线l于点 C.（1）试判断线段 AB 与 AC 的数量关系，并说明理由；（2）若 PC=25，求O 的半径和线段 PB 的长；（3）若在O 上存在点 Q，使QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，求O 的

15、半径 r 的取值范围.QN第 10 页（共 72 页）llACPAOOB （第 27 题图） （备用图）【解析解析】 （1）由于 AB 是O 的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等，余角性质，推出AB,AC两底角相等；（2）设圆半径为r，利用勾股定理列方程求半径，再利用三角形相似求 PB（3）先作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，再利用勾股定理计算即可【答案答案】 （1）AB=AC; 连接OB，则 OBAB，所以CBA+OBP=900,又 OP=OB，所以OBP=OPB，又OPB=CPA，又 OAl于点 A，所以PCA+CPA=900，故PCA=CBA，所以 AB=

16、AC（2）设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r；AB2=OA2-OB2=52-r2,AC2=PC2-AP2=(25)2-（5-r）2，从而建立等量关系，r=3，AB=AC，AB2= AC2，利用相似，求出 PB=4 （3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，则可推出OD=1122ACAB=22152r；由题意，圆O要与直线MN有交点，所以2215,52ODrr r；又因为圆O与直线l相离；所以rr)，圆心距为 d，则：(1)dR+r 时，两圆外离；(2)d=R+r 时，两圆外切；(3)R-rdR+r 时，两圆相交；(4)d=R-r 时，两圆内切；(5)dr)，圆心距为 d，

17、则：(1)dR+r 时，两圆外离；(2)d=R+r 时，两圆外切；(3)R-rdR+r 时，两圆相交；(4)d=R-r 时，两圆内切；(5)d4，Rr=14，满足 RrdR+r两圆相交点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法6. ( 2012 年四川省巴中市,6,3)已知两圆的半径分别为 1 和 3,当这两圆内含时,圆心距 d 的范围是( )A.0d2 B.1d2 C.0d3 D.0d2【解析解析】内含时，满足关系 0dRr,得 d2，【答案答案】D【点评点评】本题易错选为 A,即忽略同心圆是内含的特例.第 37 页（共 72 页）10 （2012 湖南衡阳市，10，3）已知O 的直

18、径等于 12cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与O 的交点个数为（）A0B1C2D无法确定解析：首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行解析判断若 dr，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离，进而利用直线与圆相交有两个交点，相切有一个交点，相离没有交点，即可得出答案答案：解：根据题意，得该圆的半径是 6cm，即大于圆心到直线的距离 5cm，则直线和圆相交，故直线 l 与O 的交点个数为 2故选：C点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，这里要特别注意 12 是圆的直径；掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的

19、关键.16 （2012 山东东营，16，4 分）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图 1） ，若不计木条的厚度，其俯视图如图 2 所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm 【解析解析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于ABC；连接外心与 B 点，可通过勾股定理即可求出圆的半径连接 OB，如图，当O 为ABC 的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大AD 垂直平分 BC，AD=BC=48cm，O 点在 AD 上，BD=24cm；在 RtOBD 中，设半径为 r，则 OB=r，OD=48-r，r2=（48-r）2+242，解得 r=

20、30即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为 30cm【答案答案】30【点评点评】此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及垂径定理和勾股定理的综合应用8(2012 贵州黔西南州，8，4 分)如图 3，O 的半径为 2，点 A 的坐标为(2，2)，直线 AB 为O 的3切线，B 为切点，则 B 点的坐标为( )BDCA（第 16 题图 2）（第 16 题图 1）第 38 页（共 72 页）A(， ) B(，1) 853C( ， ) D(1，)45953【解析解析】设O 与 x 轴的正半轴交于 C 点，与 x 轴的负半轴交于 D 点，连接 AC由于O 的半径为 2，且A(2，2)，所以 ACOC则 AC

21、=2，tanAOC，所以AOC60由于 AB 也为O 的切线，333所以AOCAOB=60，所以BOD60作 BEOD 于 F 点，OB=2，可以求得 OF=1，BF=所以，B 点的坐标为(1，)33【答案】D D【点评】本题在平面直角坐标系中考查圆的切线性质的运用，一般出现圆的切线时，考虑作“过切点的半径，必垂直于切线” ；另外本题还运用了图形的对称性解题9 （20122012 山西，山西，9 9，2 2 分）分）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 上一点，CDB=20，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则E 等于（）A 40B 50C 60D 70【解析解析】解：连接 O

22、C，如图所示：圆心角BOC 与圆周角CBD 都对，BOC=2CBD，又CDB=20，BOC=40，又CE 为圆 O 的切线，OCCE，即OCE=90，则E=9040=50故选 B第 39 页（共 72 页）【答案答案】B【点评点评】本题主要考查了圆的切线的性质、同圆中同弧所对的圆周角相等及等边对等角等性质；解决本题的关键是熟悉圆中常见辅助线作法及相关性质.难度中等9. （2012 年广西玉林市，9，3）如图，RtABC 的内切圆O 与两直角边 AB、BC 分别相切于点 D，E，如图，RtABC 的内切圆O 与两直角边 AB，BC 分别相切于点 D，E，过劣弧 DE （不包括端点 D，E）上任一

23、点 P 作O 的切线 MN 与 AB，BC 分别交于点 M，N，若O 的半径为 r，则 RtMBN 的周长为（）Ar B23r C2r D25r分析：连接 OD、OE，求出ODB=DBE=OEB=90，推出四边形 ODBE 是正方形，得出 BD=BE=OD=OE=r，根据切线长定理得出 MP=DM，NP=NE，代入 MB+NB+MN 得出 BD+BE，求出即可解：连接 OD、OE，O 是 RtABC 的内切圆，ODAB，OEBC，ABC=90，ODB=DBE=OEB=90，四边形 ODBE 是矩形，OD=OE，矩形 ODBE 是正方形，BD=BE=OD=OE=r，O 切 AB 于 D，切 BC

24、 于 E，切 MN 于 P，MP=DM，NP=NE，第 40 页（共 72 页）RtMBN 的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，故选 C点评：本题考查的知识点是矩形的判定、正方形的判定、三角形的内切圆和内心、切线长定理等，主要考查运用这些性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中23. （2012 年广西玉林市，23，8 分）如图，已知点 O 为 RtABC 斜边 AC 上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的O 与 BC 相切于点 E，与 AC 相交于点 D，连接 AE （1）求证：AE 平分CAB；（2）探求图中1 与C 的数量关系，并求当

25、 AE=EC 时 tanC 的值分析：（1）连接 OE，则 OEBC，由于 ABBC，故可得出 ABOE，进而可得出2=AEO，由于 OA=OE，故1=AEO，进而可得出1=2；（2）由三角形外角的性质可知1+AEO=EOC， ，因为1=AEO，OEC=90，所以 21+C=90；当 AE=CE 时，1=C，再根据 21+C=90即可得出C 的度数，由特殊角的三角函数值得出 tanC 即可解：（1）证明：连接 OE，O 与 BC 相切于点 E，OEBC，ABBC，ABOE，2=AEO，OA=OE，1=AEO，1=2，即 AE 平分CAB；（2）解：21+C=90，tanC= 33 EOC 是A

26、OE 的外角，1+AEO=EOC，1=AEO，OEC=90，21+C=90，当 AE=CE 时，1=C，21+C=90，3C=90，C=30，tanC=tan30=33点评：本题考查的是切线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，在解答此类题目时要熟知“若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系” 13.（2012 四川泸州，13，3 分）两个圆的半径分别为 5 和 7，圆心距为 2，则两个圆的位置关系（ ）第 41 页（共 72 页）A. 内含 B. 内切 C.相交 D. 外切解析：圆与圆的几种位置关系中，可以根据两圆半径、圆心距的数量关系来判断.解答：因为 7-5=2，

27、满足 R-r=d，两圆内切.故选 B.点评：熟悉圆与圆的五种位置关系是解题关键.需要简单计算两圆半径和、差，再与圆心距比较判断.4. （20122012 山东省青岛市，山东省青岛市，4 4，3 3）已知，O1与O2的半径分别是 4 和 6，O1O2=2，则O1与O2的位置关系是（ ）. A内切 B相交 C外切 D外离【解析解析】两圆半径差为 6-4=2，圆心距为 2，因此两圆相切.故选A【答案答案】A【点评点评】本题主要考查两圆的位置关系两圆的位置关系有：相离（dR+r） 相切（外切：d=R+r或内切：d=Rr） 相交（RrdR+r） 15 （2012 江苏省淮安市，15，3 分）如图，M与N

28、外切，MN=l0cm，若M的半径为 6cm，则N的半径为 cm【解析】M与N外切，圆心距MN=l0cm，M的半径为 6cm，则N的半径为=10-6=4(cm)，【答案】4【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，设两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为d：外离dR+r；外切d=R+r；相交RrdR+r；内切d=Rr；内含dRr，难度适中掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键21 （2012 山东省滨州中考，21,8 分）如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 为切点，AC 是O 的直径，P=50，求BAC 的度数第 42 页（共 72 页） 【解析解析】由于切线

29、的性质可得PAC，切线长定理得 PA=PB，P=50，PAB 和PBA 的大小，进而求出BAC 的大小解：PA，PB 分别切O 于 A，B 点，AC 是O 的直径，PAC=90，PA=PB，又P=50，PAB=PBA=65，BAC=PACPAB=9065=25【点评点评】本题考查切线的性质和切线长定理；及等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，此题考查的知识点较多，但是难度不大.21.21. （20122012 珠海，珠海，2121，9 9 分）分）已知，AB 是O 的直径，点 P 在弧 AB 上（不含点 A、B） ，把AOP 沿 PO 对折，点 A 的对应点 C 恰好落在O 上.（1）当 P、

30、C 都在 AB 上方时（如图 1） ，判断 PO 与 BC 的位置关系（只回答结果） ；（2）当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时（如图 2） ， （1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 3） ，过 C 点作 CD直线 AP 于 D，且 CD 是O 的切线，证明：AB=4PD. 21 3 21 2 21 1CABDCBACBAOOOPPP【解析解析】(1) POBC.证POCOCB 即可;(2) （1）中结论成立.证明CPOPCB 或OPBB 即可; 第 43 页（共 72 页）(3) 先证 OCAP.再证CPDCPOOPA60,最后证 AB=

31、4PD.【答案答案】(1) POBC.(2) （1）中结论成立.证明:由对折,得APOCPO,AOPO,APOA.:PBPB,APCB.CPOPCB.POBC. (3) 证明:CD 为切线,OCCD.CDAP,OCDCDP90.OCAP.CPDOCP.由对折,得AOCP. CPDA.又AOPA, OPCOCP, APD 是平角,CPDCPOOPA60.CPOP12AB.在RtCPD中，PDCPcos6012PC.AB4PD.【点评点评】这是一道与圆与关的几何综合题.主要考点有圆的有关性质,切线的性质,图形变换,直角三角形的性质,锐角三角函数等.属中档题.16 （2012 湖北武汉，16，3 分

32、）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 是第一象限内一点，且AC=2，设 tanBOC=m，则 m 的取值范围是 解析：解答本题可先画出图形，以 A 为圆心，2 为半径作圆，过 O 作A 切线 AC ，显然当 C 与 C重合时 m 取最小值，此时 m=tanBOC=tanOAC=25，故 m25答案 m25点评：本题看似考察三角函数，由于 C 为一动点，解题时需掌握其运动规律，故需构建相应的圆，题目实质是对圆与切线以及三角函数的综合考察，难度较大24. （2012 呼和浩特，24，8 分） （8 分）如图，已知AB为O的直径，PA与O相切于

33、点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC。（1）求证：PAC=B，且PABC=ABCD第 44 页（共 72 页）（2）若PA=10，sinP=35，求PE的长。EDPOBAC【解析】切线的性质，三角形相似，对应边成比例，锐角三角函数【答案】（1）证明： PA是O的切线 ，AB是直径PAO=90，C=90PAC+bac=90且B+BAC=90PAC=B又OPACADP=C=90PADABCAP：AB=AD：BC在O中，ACODAD=CDAP：AB=CD：BCPABC=ABCD（2）解：sinP=35，且PA=1035ADAPAD=6AC=2AD=12在RtADP

34、中，PD=228APAD又AP：AB=PD：AC第 45 页（共 72 页）AB=10 12158AO=152OP=252PE=OPOE=252152=5【点评】本题(1)考查了利用切线的性质求得直角，利用直径所对圆周角是 90，得到直角，并得出一对相似三角形，利用相似三角形对应边成比例得出要证明的结论。(2) 中利用现有的直角三角形三角函数求出线段的长。3. （2012 甘肃兰州，3，4 分）已知两圆的直径分别为 2和 4，圆心距为 3，则这两个圆的位置关系是（ ）A. 相交 B. 外切 C. 外离 D.内含 解析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直

35、接得出答案由题意知，两圆圆心距 d=3R-r=2 且 d=3R+r=6，故两圆相交答案：A点评：本题主要考查两圆之间的位置关系。两圆外离，则 dR+r；外切，则 d=R+r；相交，则 R-rdR+r；内切，则 d=R-r；内含，则 0dR-r （d 表示圆心距，R，r 分别表示两圆的半径） 19、 （2012 甘肃兰州，19，4 分）如图，已知O 是以坐标原点 O 为圆心，1 为半径的圆，AOB=45，点P 在 x 轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与O 有公共点，设 P（x，0） ，则 x 的取值范围是 。解析：解析：由题意得 x 有两个极值点，过点 P 的直线与O 相切时，x 取

36、得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可如图，设过点 P 且与 OA 平行的直线与O 相切于点 D，连接 OD，由题意得，OD=1，DOP=45，ODP=90，故可得 OP=2，即 x 的极大值为2，同理当点 P 在 x 轴左边时也有一个极值点，第 19 题图第 46 页（共 72 页）此时 x 取得极小值，x=2，综上可得 x 的范围为： 22x答案：答案：22x点评：点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别求出直线与圆相切时 OP 的长是解决问题的关键，注意两个极值点的寻找，难度一般。23. （2012湖北省恩施市，题号 23 分值 12）如图 11，AB 是O 的弦，D 是半径 OA

37、 的中点，过 D 作CDOA 交弦 AB 于点 E，交O 于 F，且 CE=CB。（1）求证：BCO 是的切线；（2）连接 AF、BF，求ABF 的度数；（3）如果 CD=15，BE=10，sinA=135，求O 的半径。【解析】 （1）连接 OB，证 OBBC，即证OBE+EBC=90。通过 OA=OB，CE=CB，AED=BEC，可将OBE、EBC 分别转化为A、AED，结合 CDOA 可证OBE+EBC=90；（2）连接 OF，由 CD 垂直平分 OA 得 AF=OF=OA，再结合圆心角与圆周角关系易求ABF 的度数；，（3）作 CGBE 于 G，得A=ECG，CG 是 BE 垂直平分线

38、，由 CD=15，BE=10，sinA=135，可求EG、CE、CG、DE 长度，通过ADECGE 可求 AD，从而计算半径 OA。【答案】 （1）证明：连接 OB。OA=OB，A=OBE。CE=CB，CEB=EBC，AED =EBC，AED = EBC，又CDOA A+AED=OBA+EBC=90，BCO 是的切线；第 47 页（共 72 页）（2）CD 垂直平分 OA，OF=AF，又 OA=OF，OA=OF=AF，O=60，ABF=30；（3）作 CGBE 于 G，则A=ECG。CE=CB，BD=10，EG=BG=5，sinECG=sinA=135，CE=13，CG=12.又CD=15，D

39、E=2。ADECGE，EGDECGAD，即5212AD，AD=524，OA=548，即O 的半径是548。【点评】本题将多个知识点结合在一起，问题设计层层递进，梯度鲜明，是一道中档偏上的题，有一定区分度我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形，以及在不能直接根据已知条件解决问题时，要学会运用转化的思想。26、 （2012 甘肃兰州，26,10 分）如图，RtABC 中，ABC=90，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，E 是BC 的中点，连结 DE、OE。（1）判断 DE 与O 的位置关系并说明理由；（2）求证：BC2=2CDOE；（3）若 tanC=52，DE=2，求 AD

40、 的长.第 26 题图第 48 页（共 72 页）解析：（1）连接 OD，BD，求出ADB=BDC=90，推出 DE=BE=CE，推出EDB=EBD，OBD=ODB，推出EDO=EBO=90即可；（2）由题意可得 OE 是ABC 的中位线，即 AC=2OE，易证ABCBDC，可得 BC2=CDAC，把 AC=2OE 代入即可；（3）由 tanC= 52，可设 BD=5x，CD=2x，在 RtBCD 中，由勾股定理得出22( 5 )(2 )16xx，求出 x，求出 BD，再根据 tanABD=tanC 求出52ADBD，代入求出即可解：（1）DE 与O 相切.理由如下：连接 OD,BDAB 是直

41、径， ADB=BDC=90.E 是 BC 的中点,DE=BE=CE.EBD=EDB.OD=OB,OBD=ODB.EDO=EBO=90. （用三角形全等也可得到）DE 与O 相切.（2）由题意可得 OE 是ABC 的中位线，AC=2OEABC=BDC=90, C=CABCBDCBCACCDBC,即 BC2=CDAC (另：用射影定理直接得到也可)BC2=2CDOE（3）tanC=52，可设 BD=5x，CD=2x，在 RtBCD 中，BC=2DE=4，BD2+CD2=BC2(5x)2+（2x）2=16，解得：x=43（负值舍去）BD=5x=453ABD=C，tanABD=tanC第 49 页（共

42、 72 页）5541052233ADBD答：AD 的长是103点评：本题综合考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，切线的判定等知识点，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，注意：证切线的方法，方程思想的运用24 （2012 贵州遵义，24, 分）如图，OAC 中，以 O 为圆心，OA 为半径作O，作 OBOC 交O 于 B，垂足为 O，连接 AB 交 OC 于点 D，CAD=CDA（1）判断 AC 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 OA=5，OD=1，求线段 AC 的长解析： （1）根据已知条件“CAD=CDA” 、对顶角BDO=CDA 可以推知BDO=CA

43、D；然后根据等腰三角形 OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知B+BDO=OAB+CAD=90，即OAC=90所以线段 AC 是O 的切线；（2）根据“等角对等边”可以推知 AC=DC，所以由图形知 OC=OD+CD；然后利用（1）中切线的性质可以在在 RtOAC 中，根据勾股定理来求 AC 的长度答案： 解：（1）线段 AC 是O 的切线；理由如下：CAD=CDA（已知） ，BDO=CDA（对顶角相等） ，BDO=CAD（等量代换） ；又OA=OB（O 的半径） ，B=OAB（等边对等角） ；OBOC（已知） ，B+BDO=OAB+CAD=90，即OAC=90，线段 AC

44、是O 的切线；（2）设 AC=xCAD=CDA（已知） ，第 50 页（共 72 页）DC=AC=x（等角对等边） ；OA=5，OD=1，OC=OD+DC=1+x；由（1）知，AC 是O 的切线，在 RtOAC 中，根据勾股定理得，OC2=AC2+OA2，即（1+x）2=x2+52，解得 x=12，即 AC=12点评： 本题综合考查了勾股定理、切线的判定与性质欲证某线是圆的切线，只需证明连接圆心与此线过圆上的点的线段（圆的半径）与该直线垂直即可22.（2012湖北黄冈，22，8）如图，在ABC 中，BA=BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连结DB，过点D作DEBC，垂足为点E.（1）求

45、证：DE 为O 的切线；（2）求证：DB2=ABBE.【解析】 （1）连接 OD，根据切线的判定定理来证明；（2）证明ABDDEB 推得 DB2=ABBE.【答案】证明：（1）连接 OD.AB 为半圆O 的直径 ADB=90.AB=BC D 为 AC 中点.又 O 为 AB 的中点 ODBC DEBC ODDEDE 是O 的切线.（2）AB=BC，ADB=90CBDDBA 又ADB=DEC=90ABDDEB ABDBDBEB即2DEAB EB【点评】本题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的“三线合一” 、切线的判定定理、相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、平行线的性质等，较为综合，但属

46、于常规题.难度中等.第 51 页（共 72 页）22（2012 湖北武汉，22，8 分）在锐角ABC 中，BC5, sinA 541、如图 1,求ABC 的外接圆的直径；2、如图 2,点 I 为 ABC 的内心，若 BABC，求 AI 的长解析：第(1)小题要求直径，可过点（或 B）作直径，根据同弧所对圆周角相等，以及题目所给三角函数关系即可求解；第(2)小题点 I 是内心，即角平分线的交点,又 BA=BC,故可作B 的角平分线即 BI 得到RtABH,借助角平分线性质及勾股定理求解.解：(1）过 C 作外接圆直径 CD，连接 BD则CBD=90，D=ACDBC = sinD = sinA 5

47、4BC5, CD=425,即ABC 的外接圆的直径为425(2)连接并延长 BI 交 AC 于 H，过 I 作 IEAB 于 E点 I 为内心，平分BAC，BI 平分ABC又 BA=BC， BIAC, IH=IE AE=AH, 在 RtABH 中，BH=ABsinBAH=4,AH=322 BHAB BE=AB-AH=2令 IE=IH=x,则 BI=4-x,在 RtBIE 中,有 BI2=BE2+IE2 即(4-x)2=x2+22解得 x=1.5在 RtAIH 中，AI= =52322 IHAH(注:其他解法依据情况酌情给分)点评：本题以基本图形:三角形与圆相结合为背景,综合考查了圆周角的性质,

48、在三角函数的性质,角平分线性质,等腰三角形三线合一,勾股定理等知识(也可以利用三角形面积计算求解), 知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力.2 个小题设问方式较常规,所考察知识点也是平时学生用得较多的知识点,难度都不大,但把这些放在一起综合考虑,对学生综合思维能力要求较高.对于在几何图形的证明与求解中,辅助线的添加成为部分学生的一大难题,本题中的 2 条辅助线添法是关键,就这 2 条辅助线就可以将中下层面的学生拒之题外.难度较大.24、 （2012湖南省张家界市24 题10 分） ）如图，O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作O的切线DC，P 点为优弧C

49、BA上一动点（不与 A、C 重合） （1）求AEC与ACD的度数； （2）当点 E 移动到 CB 弧的中点时，求证：四边形OBEC是菱形 第 52 页（共 72 页）（3）P 点移动到什么位置时，AEC 与ABC 全等，请说明理由.【分析】 （1）显然ACO 是等边三角形，结合切线性质可求；（2）只要证明 AC=CP=OA=OP 即可.【解答】解：（1）AC=OA=OC=2，ACO 为等边三角形.AOC=ACO=OAC=60，APC=21AOC=30.又DC 切O 于点 C，OCDC.DCO=90.ACD=DCO-ACO=90-60=30.（2）AB 为直径，AOC=60，COB=120.当点

50、 P 移动到 CB 的中点时，COP=POB=60，COP 为等边三角形.AC=CP=OA=OP.四边形 AOPC 为菱形.（3）当点 P 与 B 重合时，ABC 与APC 完全重合.ABCAPC.当点 P 继续运动到 CP 经过圆心时，也有ABCCPA.因为此时，AB=CP，AC 为公共边，ACB=CAP=90，根据直角三角形斜边直角原理即得.【点评】本题是是一道与圆有关的动态试题，综合考查了圆的切线性质、等边三角形的判定性质、菱形的判定、全等三角形等知识.（2012 北海,25，10 分）25如图，AB 是O 的直径，AE 交O 于点 E，且与O 的切线 CD 互相垂直，垂足为 D。（1）

51、求证：EACCAB；（2）若 CD4，AD8：求O 的半径；求 tanBAE 的值。_ D_ C_ P_ O_ B_ A第 53 页（共 72 页）【解析解析】 （1 1）在圆中遇到切线，经常做的辅助线是连接过切点的半径，连）在圆中遇到切线，经常做的辅助线是连接过切点的半径，连 OCOC，OCCDOCCD，CDAECDAE，易得，易得OCADOCAD，两直线平行，内错角相等，两直线平行，内错角相等，1133，又有，又有OACOAC 是等腰三角形，是等腰三角形，2233，所以结论成立。，所以结论成立。（2 2）在圆中，遇到直径，经常作直径所对圆周角，连在圆中，遇到直径，经常作直径所对圆周角，连

52、BCBC，则，则ACB=90ACB=90，利用勾股定理求出，利用勾股定理求出 ACAC2 2=80=80，易得易得ACDABCACDABC，得到，得到ADACACAB，求出，求出 AB=10AB=10，圆的半径为，圆的半径为 5 5 。若求若求 tanBAEtanBAE 的值，必须把的值，必须把BAEBAE放在直角三角形中。连放在直角三角形中。连 BFBF、CFCF，利用，利用DCFDACDCFDAC 求出求出 DF=2DF=2，所以，所以 AF=6AF=6，再利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出 BFBF 的长的长度，在度，在 RtABFRtABF 中，求出中，求出 tanBAEtanBAE

53、 的值。的值。【答案答案】 （1 1）证明：连接）证明：连接 OCOC。1 1 分分CDCD 是是OO 的切线的切线CDOCCDOC又又CDAECDAEOCAEOCAE11332 2 分分OCOCOAOA22331122即即EACEACCABCAB3 3 分分（2 2）解：）解：连接连接 BCBC。ABAB 是是OO 的直径，的直径，CDAECDAE 于点于点 D DACBACBADCADC90901122ACDABCACDABCADACACAB5 5 分分ACAC2 2ADAD2 2CDCD2 24 42 28 82 28080ABAB2ACAD8081010OO 的半径为的半径为 1021

54、025 5。6 6 分分连接连接 CFCF 与与 BFBF。四边形四边形 ABCFABCF 是是OO 的内接四边形的内接四边形F321OEDCBA第 54 页（共 72 页）ABCABCAFCAFC180180DFCDFCAFCAFC180180DFCDFCABCABC22ABCABC9090， DFCDFCDCFDCF909022DCFDCF112211DCFDCFCCDFDFCDFCDFDCFDACDCFDACCDDFADCD8 8 分分DFDF22CDAD482 2AFAFADADDFDF8 82 26 6ABAB 是是OO 的直径的直径BFABFA9090BFBF2222ABAF106

55、8 8tanBADtanBADBFAF8463。 1010 分分【点评点评】本题是关于圆的大题，综合性比较强，涉及到的知识点有：圆中两条关键性的辅助线，相似三本题是关于圆的大题，综合性比较强，涉及到的知识点有：圆中两条关键性的辅助线，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等。难度偏大，在教学过程中，多训练，注重指导学生解题的角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等。难度偏大，在教学过程中，多训练，注重指导学生解题的方法，弄问题的来龙去脉。方法，弄问题的来龙去脉。26.（2012 贵州省毕节市，26，14 分）如图，AB 是O 的直径，AC 为弦，D 是 的中点，过点 D 作EFAC 的延长线

56、于 E，交 AB 的延长线于 E，交 AB 的延长线于 F.（1）求证：EF 是O 的切线.（2）若sinF=31,AE=4,求O 的半径和 AC 的长.解析：（1）连接 OD，根据圆周角定理，可得BOD=A，则 ODAC，从而得出ODF=90，即 EF 是O 的切线；（2）先解直角AEF，由 sinF= 31，得出 AF=3AE=12，第 55 页（共 72 页）再在直角ODF 中，由 sinF= 31，得出 OF=3OD，设O的半径为 R，由 AF=12 列出关于 R 的方程，解方程即可求出O 的半径；连接 BC，证明 BCEF，根据平行线分线段成比例定理得出 AC：AE=AB：AF，即可

57、求出 AC 的长解答：（1）证明：连接 OD，D 是 的中点，BOD=A，ODAC，ODAC，EFAC，E=90，ODF=90，即 EF 是O 的切线；（2）解：在AEF 中，E=90，sinF=31，AE=4，AF=12sinFAE设O 的半径为 R，则 OD=OA=OB=R，AB=2R在ODF 中，ODF=90，sinF=31，OF=3OD=3ROF+OA=AF，3R+R=12，R=3连接 BC，则ACB=90E=90，BCEF，AC：AE=AB：AF，AC：4=2R：4R，AC=2故O 的半径为 3，AC 的长为 2点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形及平行线分线段成比例

58、定理，难度中等，综合性较强24(2012 山东日照，24，10 分)在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，AB=5.（)探究新知如图 O 是ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G.（1）求证：内切圆的半径r1=1; （2）求 tanOAG的值；第 56 页（共 72 页）（）结论应用（1）如图若半径为r2的两个等圆O1、O2外切，且O1与AC、AB相切，O2与BC、AB相切，求r2的值；（2）如图若半径为rn的n个等圆O1、O2、On依次外切，且O1与AC、AB相切，On与BC、AB相切，O1、O2、On均与AB相切，求rn的值.解析：（） （1）运用切线长定理可得；（2）连接

59、OA,OG，构造直角三角形求解；（）(1)联想（） （2）的解题方法，用r2表示 AB 的长列方程求解；（2）寻找规律，用rn表示 AB 的长列方程求解解： （） （1）证明：在图中，连结OE,OF,OA. 四边形 CEOF 是正方形， CE=CF=r1.又AG=AE=3-r1，BG=BF=4-r1，AG+BG=5，（3-r1）+（4-r1）=5.即 r1=1. （2）连结OG，在 RtAOG 中，r1=1， AG= 3-r1=2，tanOAG=AGOG=21； （）(1)连结O1A、O2B，作O1DAB交于点D、O2EAB交于点E，AO1、BO2分别平分CAB、ABC.第 57 页（共 72

60、 页）由 tanOAG=21，知 tanO1AD=21，同理可得：tanO2BE=BEEO2= 31， AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2. AD+DE+BE=5，r2=75; (2)如图，连结O1A、OnB，作O1DAB交于点D、O2EAB交于点E、OnMAB交于点M.则AO1、BO2分别平分CAB、ABC.tanO1AD=21，tanOnBM=31, AD=2rn，DE=2rn，,MB=3rn，又AD+DE+MB=5，2rn+2rn+3rn=5,(2n+3) rn=5,rn=325n. 点评：本题考查了切线长定理、切线的性质以及解直角三角形的相关知识，运用了从特殊到一般的归纳思想，解