第三讲 ARMA模型

1、1 第三讲第三讲 ARMA模型模型2预备知识预备知识差分方程：滞后算子与动态模型差分方程：滞后算子与动态模型一、一阶差分方程一、一阶差分方程 例如： （1） 一个差分方程指将一个变量的当期值定义为它的前一期和一个档期的随机扰动因素的函数。 求解差分方程就是想要得到以随机扰动项 表示的 表达式，方法是不断迭代。 一般地，一阶差分方程可以写为： 1yytttytt+1-1+1+1+ -1+yy+jjjt jtttt jt j 3tt+y=t jjt 动态乘数：在方程（1）中，一般假设 是服从某种分布的随机扰动项，在实践中，需要知道 对 的动态影响路径怎样。 动态乘数定义为： 当 j=0时，也叫影响

2、乘数。 脉冲响应函数：由动态乘数的定义，对应每一个时间跨度 j，有一个对应的动态乘数，那么如果将不同时间跨度 j 的动态乘数按 j 从小到大的顺序摆放一起，形成一个路径，就成为脉冲响应函数。应用很广！ 例如，可用之刻画通货膨胀或经济产出等在受到一个正向或负向的货币政策冲击后形成的动态路径和持续时间情况。二、动态乘数与脉冲响应函数二、动态乘数与脉冲响应函数yt1yyttt（1）4+-1-2+1+2+yyyy+=+ +1t jt jt jt jjjjtttt j 累计脉冲响应函数： 以此衡量随机扰动因素如果出现永久性变化后，即 都变化一个单位，对 造成的影响和冲击。+1+ttt j， ，yt 练习

3、练习：建立年度（19511983）数据文件，导入book1中数据x。利用Eviews创建一个程序，尝试生成不同的yt序列，还可尝试绘制出脉冲响应函数图： smpl first first series x=0 smpl first+1 last series x=0.7*x(-1)+0.8*nrnd（正态分布） 该程序是用一阶差分方程生成一个x序列，初始值设定为0，扰动项设定为服从均值为0，标准差为0.8的正态分布。5 滞后期增加，就复杂化。因为每个滞后项系数都会影响差分方程所刻画的序列变量的动态特征。尤其是在求解高阶差分方程和脉冲响应分析等问题，仅从原始方程入手很困难和繁琐。需矩阵知识，把高

4、阶化为一阶来处理。 滞后算子的一个重要而常用的性质(L是算子) （2） 上式成立条件：|1-1221-)1LLL （三、高阶差分方程三、高阶差分方程 高阶差分方程是学习AR(p)的基础。 p阶差分方程一般式：1122yyy+ytttptpt6（一（一）ARMA模型模型的引进的引进 注意：如果假设均值为零， 可以不写） 如果序列在其均值附近波动： Y t 可用 来预测 ，011ttkt ktARYYY：012.TTYYYFYT1TF789 注意注意：平稳指弱平稳，即方差、均值不随时间变化，这样yt永远不会“过分”偏离其均值水平。换言之，平稳序列表现出一种向均值水平恢复的特征，在金融时序分析中常称

5、为“均值回复”，英文是mean reverting，许多文献却译为“均值反转”，使读者一头雾水！1011 偏自相关函数的定义偏自相关函数的定义: 设zt为零均值平稳序列， zt+1 ， zt+2， zt+k-1对zt 和zt+k 的线性估计为： 用kk表示偏自相关函数，则：112211112211ktkttktktktttzzzzzzzz)var()var()(),cov(ktktttktktttkkzzzzzzzz12123456556065707580859095Y例例3：建文件：1952到1996（年度），调入book12的y。第一步：看图。y的时序图：13（1）数据量不大时，如70或8

6、0数据，取M=n/4。（2）数据量较大时，如300个数据，可取M=n/10。（3）数据量很大时，如成千上万，可取M=根号n此例有45个数据，最大滞后期取12即可。可得相关图如下：从偏自相关函数来看，相邻两项的相关性很强（指的是滞后一期）。而自相关函数则不同。14 例例4：季度数据文件：1979:11999:2，调入book8中1个数据y。 同样，输入序列名y，滞后期取20。可得自相关图： 可见：自相关程度缓慢减弱。而偏自相关相邻两项相关程度很高。15例例5：建月度文件：1972:011982:12，调入book18 的y（汗衫背心零售量），滞后期36。自相关图为： 从自相关函数看： 12、24

7、、36很大，即相同月份有很强季节性，无明显趋势。 从偏自相关函数看，k=1时一样，k=2时“自”和“偏”自相关差距很大。16 下面从自相关和偏相关来研究序列特性：（二）（二）时序特性分析时序特性分析 1. 平稳性分析 （1）平稳时序定义与特点 描述性定义：序列的统计特征不随时间而变化，均值恒为常数；自相关系数只与时间间隔有关，与时间起始点无关。 平稳序列自相关的特点：自相关系数在k较小值时就迅速趋于零。 （2）消除趋势方法 若其非平稳是趋势，可逐期差分或短期差分（也叫短差）。17例例6：建季度文件：1979:1-1999:2，导入book8的y。第一：看图01,0002,0003,0004,0

8、005,0006,0007,0008,0009,00080828486889092949698Y可见，趋势很强。下面从自相关图也可得出此结论。18趋势看自相关，19第二，做差分输入：genr iy=y-y(-1)，序列图：-800-40004008001,2001,60080828486889092949698IY 可见，无趋势但有季节性，还可从iy自相关图可见。如下：20 易见，趋势基本消除，但有明显季节性。月度数据类似。4,8,12等地方，有季节性，21 注意：用自相关研究时间序列季节性时，得先消除趋势性。 对于季节性，也可采用差分，此时叫季节差分。 对于季度数据，就用genr sy=y-

9、y(-4)，对月度数据，就用genr iy=y-y(-12) 第三，对逐期差分后的数据iy再做一阶季节差分 输入：genr sy=iy-iy(-4)， 先看sy的图形：-300-200-100010020030040080828486889092949698SY可见，即去除了趋势也去除了季节。22 再看sy的自相关图，如下：23 注意注意： （1）很多递增序列，如GDP，一阶差分难平稳。可先取对数再差分。 （2）用自相关函数可判断序列完全随机。（三）（三）ARMA模型及其改进模型及其改进24 例如例如：AR(1)： （1）1yytttc2-122-12+12-1-1-2-yy = y =(1+

10、 +) +y+tttttttnnnt ntttt nccccc （）在|1条件下，则有 ，则上式变为：lim=0nn2-1-2y+1-ttttc 即无穷阶移动平均过程，即MA()。 即当|1时，AR(1)中的yt可写成扰动项的和。 实际上，在一般条件都满足的情况下，|1是是AR(1)平平稳的充要条件稳的充要条件。252-1-2y -+tttt 可见，只要|1，则yt方差保持恒定不变。=, ()1-tcEy即如果令： ，则有2220-1-222242-1-224222= (y - )(+) = ()() +() + =(1+) =1-tttttttEEEEE yt的方差为262210.5, (0

11、,), =0.5ttttyyN 20210.5=3.414=11-1-1-0.51- 5c和 为了对AR(1)的均值和方差有更感性的认识，可模拟AR(1)数据生成过程，使用的AR(1)过程为 分别生成两组观测值，容量n=30和n=1000，二序列（模拟图如下）均值和方差分别为： 但是，发现模拟数据的均值和方差与理论上的均值和方差不等。但是，n越大越接近，为什么？27程序为：smpl first first：选取序列的第一个值series x=1：令第一个值为1smpl first+1 last：选取第二个值到最后一个值series x=1+0.50.5*x(-1)+0.5*nrnd：令第二个值

12、到最后一个值为服从正态分布的随机数， 可以想象，如果按一定规则的数据生成过程生成足够多的观测序列（比如1万次或10万次），然后再求样本均值，应该可以得到较高精度的结果，从而尽量捕捉真实过程的特性。 该思想与计量经济学的另一重要概念不谋而合，即蒙特卡洛模拟。 28（2）AR (p) 序列的自相关和偏自相关：k截尾性：AR(p)为p阶截尾。由AR(1)的稳定性知|1，当k时，呈指数形衰减。该现象叫拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinite memory）。注意：1jtt jttt jtjtt jtt jtt jttjE y c ycEEjj 41MA(1)的自相关函数为：1210=11+=01

13、jjjj42 AR(2)示例：用ARMA模型模拟我国1983年1月2007年8月的CPI ，用随后的单位根检验知CPI非平稳，但一阶差分CPI平稳。其中cpi在工作文件框中用D_CPI表示，则建立cpi的AR(2)， 为此，在公式栏输入：D_CPI=AR(1)=C(1),AR(2)=C(2)，则120.420.19ttttCPICPICPIu t = (7.25) (3.29) R2=0.286 D.W.=2.03即模型为： 还可做残差LM检验，发现以消除自相关。另外，预测后，可以画出D_CPI和D_CPIf的图形进行比较。4345的下标k只考虑在季节时滞上的值。4647-800-400040

14、08001,2001,60080828486889092949698IY 可见，趋势已去除，但有季节性（也可从看iy自相关图看出，在4、8、12、16、20等自相关函数很大，有明显季节性）。 再做季节差分：genr sy=iy-iy(-4)48-300-200-100010020030040080828486889092949698SY 可见，不仅无趋势，且季节也已消除。 再看sy的自相关图也会发现，季节性已不明显。 所以，d=D=1。49 为此，观察sy的自相关和偏自相关，好像p、q都是零，但不论自相关还是偏自相关后面均出现较大值，这时可考虑p、q试着取1（这是经验） 下面根据上述选择的模型

15、形式，作参数估计。 特别注意：做模型时，可先取对数，再做逐期差分和步长为4的季节差分，这样更容易使序列平稳。具体来讲：（上述例例7）50第一步： genr ly=log(y) genr ily=ly-ly(-1) genr sly=ily-ily(-4)被解释变量就是sly，即Yt。 下面做一个简单模型：选择：P=0，q=0，P=2，Q=1输入：ls d(log(y),1,4) sar(4) sar(8) sma(4)，或输入：d(LOG(Y),1,4) SAR(4) SAR(8) SMA(4)得如下表：5152 注意注意：d(y,n,s)=(1-B)n(1-B s)y表示对序列做n次一阶逐期

16、差分和一次步长为s的季节差分后的新序列。 这里：假设p=q=0，若p=2，q=3，则需输入： d(LOG(Y),1,4) ar(1) ar(2) ma(1) ma(2) ma(3) SAR(4) SAR(8) SMA(4) 如果季节为12，则对应P=2，Q=1，上述后三项应为：SAR(12) SAR(24) SMA(12)。 53 出于拟合的目的，估计出的ARIMA模型通常不做参数显著性检验。另外，R2=0.2左右，故拟合不太好。 同样，也可预测。点击forecast，Method处“静态” 。02,0004,0006,0008,00010,000828486889092949698YF 2

17、S.E.Forecast: YFActual: YForecast sample: 1979Q1 1999Q2Adjusted sample: 1982Q2 1999Q2Included observations: 69Root Mean Squared Error 108.1534Mean Absolute Error 76.31120Mean Abs. Percent Error 3.082479Theil Inequality Coefficient 0.014320 Bias Proportion 0.010138 Variance Proportion 0.126457 Covariance Proportion 0.863404 MAPE=3.08，不错。通常，ARMA和ARIMA模型预测精度都很高。 54再看一下y和yf的图形： 01,0002,0003,0004,0005,0006,0007,0008,0009,00080828486889092949698YYF55 上述完成了识别、估计，还需残差检验，即自相关检验。 需注意，在回归模型中自相关检验是检验残差序列的一阶自相关，即DW检验。 但对于ARMA或ARIMA模型，这种检验不