第三章行列式

1、第三章第三章 行列式行列式*第一节第一节 线性方程组与行列式线性方程组与行列式*第二节第二节 排列排列*第三节第三节 n阶行列式阶行列式*第四节第四节 余子式与行列式展开余子式与行列式展开*第五节第五节 克莱姆规则克莱姆规则 *一一. 初等代数回顾初等代数回顾*1. 二阶行列式与二元一次方程组二阶行列式与二元一次方程组*2. 三阶行列式与三元一次方程组三阶行列式与三元一次方程组*二二. 线性方程组线性方程组*三三. 后续内容介绍后续内容介绍二阶行列式的定义二阶行列式的定义:2112221121211211aaaaaaaa二阶行列式与二元一次方程组的解的关系二阶行列式与二元一次方程组的解的关系:

2、当二元一次方程组当二元一次方程组22221211212111bxaxabxaxa的系数行列式的系数行列式021211211aaaa时时, 它的解为它的解为:222112112221211aaaaababx 222112112211112aaaababax 三阶行列式的定义三阶行列式的定义:322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式与三元一次方程组的解的关系三阶行列式与三元一次方程组的解的关系:当三元一次方程组当三元一次方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxax

3、axa的系数行列式的系数行列式0333231232222131211aaaaaaaaaD时时, 它的解为它的解为:322311332112312213aaaaaaaaaDDxDDxDDx332211 , ,其中其中:, 3332323222131211aabaabaabD 3333123222131112abaabaabaD 3323122222112113baabaabaaD 由若干个含有由若干个含有n个未知数的一次方程构成的方程组称为个未知数的一次方程构成的方程组称为n元线性元线性方程组方程组. 线性方程组中方程的个数未必等于未知数的个数线性方程组中方程的个数未必等于未知数的个数. n元线

4、性元线性方程组的一般形式是方程组的一般形式是:mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1)其中其中, x1, x2,xn表示未知数表示未知数, aij, bi (i=1,2,m, j=1,2, ,n)表示已知表示已知的常数的常数, 称为称为aij未知数的未知数的系数系数, 称称bi为为常数项常数项. 方程组方程组(1)的一个的一个解解是指这样的一组数是指这样的一组数(k1, k2,kn), 用它们依用它们依次代替方程组次代替方程组(1)的未知数的未知数x1, x2,xn后后, (1)中的每一个方程都成为中的每一个方程都成为恒等式恒

5、等式. 线性方程组及其解法是线性代数的基本内容之一线性方程组及其解法是线性代数的基本内容之一, 同时线同时线性代数的其它内容性代数的其它内容, 像矩阵、线性空间等像矩阵、线性空间等, 都与它有着十分密都与它有着十分密切的内在联系。切的内在联系。 关于线性方程组需要解决的问题有关于线性方程组需要解决的问题有: 线性方程组线性方程组是否有解是否有解?如果有解如果有解, 它它有多少个解有多少个解? 如何求如何求出这些出这些解解? 在初等代数中我们已经知道在初等代数中我们已经知道, 二、三元线性方程组可用系二、三元线性方程组可用系数行列式判断是否有唯一解数行列式判断是否有唯一解, 而且在有唯一解时还可

6、用行列而且在有唯一解时还可用行列式表示出这个唯一的解。式表示出这个唯一的解。 对一般的对一般的n元线性方程组是否也可元线性方程组是否也可用行列式判断它是否有唯一的解并用行列式表示出这个唯一用行列式判断它是否有唯一的解并用行列式表示出这个唯一的解的解? 回答是肯定的。回答是肯定的。本章将首先把二、三阶行列式的定义本章将首先把二、三阶行列式的定义推广到一般的推广到一般的n阶行列式并讨论其性质阶行列式并讨论其性质, 然后给出线性方程组然后给出线性方程组有唯一解的条件及这个唯一解的求解公式有唯一解的条件及这个唯一解的求解公式。在下一章我们将。在下一章我们将讨论一般的线性方程组的解法。讨论一般的线性方程

7、组的解法。 一一. . 基本概念基本概念1. 1. 排列排列: n个数码个数码1,2,n的一个的一个排列排列是指由这是指由这n个数码个数码组成的一个有序组组成的一个有序组. n个数码的不同排列共有个数码的不同排列共有n!个个.2. 2. 反序数反序数: 在一个排列里在一个排列里, 如果一个较大的数排在一个较如果一个较大的数排在一个较小的数的前面小的数的前面, 则称这两数构成一个则称这两数构成一个反序反序. 一个排列中所一个排列中所有反序的个数称为这个排列的有反序的个数称为这个排列的反序数反序数. 例如排列例如排列213的反的反序数是序数是1, 而排列而排列231的反序数是的反序数是2.3. 3

8、. 奇排列奇排列, , 偶排列偶排列: 如果一排列的反序数是奇如果一排列的反序数是奇(偶偶)数数, 则则称这个排列为称这个排列为奇奇(偶偶)排列排列. 例如例如213是奇排列是奇排列, 231是偶排是偶排列列.4. 4. 对换对换: 把一个排列中的数码把一个排列中的数码i和和j的位置互换的位置互换, 而其它数而其它数码的位置保持不变则得到一个新的排列码的位置保持不变则得到一个新的排列. 对排列进行的这对排列进行的这样一种变换称为一个样一种变换称为一个对换对换, 并并用用符号符号(i, j)表示表示. 二二. . 基本性质基本性质定理定理1 1. 设设i1i2in和和j1j2jn是是n个数码的任

9、意两个个数码的任意两个排列排列, 那么总可以由那么总可以由i1i2in经过一系列对换而得经过一系列对换而得到到j1j2jn.定理定理2 2. 每一个对换都改变排列的奇偶性每一个对换都改变排列的奇偶性.定理定理3 3. 当当n 2时时, n个数码的奇排列与偶排列的个个数码的奇排列与偶排列的个数相等数相等, 各为各为n!/2.*一一. 定义定义*1. n阶行列式阶行列式*2. 转置行列式转置行列式*二二. n阶行列式的性质阶行列式的性质*三三. 例题例题一一. n阶行列式的有关定义阶行列式的有关定义1.1.n阶行列式阶行列式: 用符号用符号nnnnnnaaaaaaaaa212222111211表示

10、的表示的n阶行列式阶行列式是指是指代数和代数和nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)() 1(, 其中求和号是对其中求和号是对n个个数码的所有的排列求和数码的所有的排列求和, 共有共有n!项项; (j1j2jn)表示排列表示排列j1j2jn的反序数的反序数. 或者说或者说, n阶行列式是所有可能的取自不同行不同列上的阶行列式是所有可能的取自不同行不同列上的n个元素的乘积个元素的乘积nnjjjaaa2121的代数和的代数和, 当当j1j2jn是偶排列是偶排列时时, 这一项的符号为正这一项的符号为正, 否则这一项的符号为负否则这一项的符号为负.*例例1一一. n阶行列式的有关定义阶行列

11、式的有关定义2.2.转置行列式转置行列式: 把把n阶行列式阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211的行变为列的行变为列(或者列变为行或者列变为行)后得到的行列式后得到的行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111称为原行列式称为原行列式D的的转置行列式转置行列式.二二. n阶行列式的性质阶行列式的性质引理引理3.3.1 设设i1i2in和和j1j2jn都是都是n个数码的排列个数码的排列,则则nnjjjaaa2121是是n阶行列式中的一项阶行列式中的一项, 这一项的符号是这一项的符号是)()(2121) 1(nnjjjii i命题命题3.3.2 行列式与

12、它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.命题命题3.3.3 交换行列式的两行交换行列式的两行(或两列或两列)的位置的位置, 则行列式的绝对则行列式的绝对值不变而符号改变值不变而符号改变.推论推论3.3.4 如果一个行列式的两行如果一个行列式的两行(或两列或两列)完全相同完全相同, 则这个行则这个行列式等于零列式等于零.命题命题3.3.5 把一个行列式的某一行把一个行列式的某一行(列列)的所有元素乘以同一个的所有元素乘以同一个数数 k, 等于用等于用k乘这个行列式乘这个行列式.推论推论3.3.6 一个行列式中某一行一个行列式中某一行(列列)中所有元素的公因子可以中所有元素的公因子可以提到行

13、列式符号的外边提到行列式符号的外边.推论推论3.3.7 如果一个行列式中有一行如果一个行列式中有一行(列列)的所有元素都是零的所有元素都是零, 那那么这个行列式等于零么这个行列式等于零.推论推论3.3.8 如果一个行列式有两行如果一个行列式有两行(列列)的对应元素成比例的对应元素成比例, 那么那么这个行列式等于零这个行列式等于零.二二. n阶行列式的性质阶行列式的性质命题命题3.3.9 设某行列式的第设某行列式的第i行的所有元素都是两项之和行的所有元素都是两项之和, 则则:nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa21221111211对于列也有类似的性质对于列也有类似的性质.nnnn

14、iniinnnnniniinaaacccaaaaaabbbaaa212111211212111211命题命题3.3.10 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的元素乘以同一数后加到另的元素乘以同一数后加到另一行一行(列列)的对应元素上的对应元素上, 行列式不变行列式不变.*例例2,例例3三三. 行列式例题行列式例题 例例1 根据行列式的定义计算根据行列式的定义计算:hgfedcba00000000 例例2 计算行列式计算行列式:333222111321321321aaaaaaaaa 例例3 计算计算n阶行列式阶行列式:0111101111011110*参阅行列式的性质参阅行列式的性质*一一

15、. 基本定义基本定义*1. 子式子式, 例例1*2. 余子式余子式, 例例2*3. 代数余子式代数余子式, 例例3*二二.按行按行(列列)展开行列式展开行列式*1. 定理定理3.4.1*2. 定理定理3.4.2*3. 定理定理3.4.3*三三. 例例4,5,6一一. 基本定义基本定义 1.1.子式子式: 在行列式在行列式D中任意选定中任意选定k行和行和k列列, 位于这些行和列的位于这些行和列的相交处的元素所构成的相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式阶行列式叫做行列式D的一个的一个k阶子式阶子式. 例例1.1. 在四阶行列式在四阶行列式4443424134333231242322211431

16、1211aaaaaaaaaaaaaaaaD 中中, 取定第二行和第三行取定第二行和第三行, 第一列和第四列第一列和第四列. 则位于这些行列相交则位于这些行列相交处的元素就构成处的元素就构成D的一个的一个2阶子式阶子式:.34312421aaaaM 2.2.余子式余子式: n(n 1)阶行列式阶行列式D的某一元素的某一元素aij的的余子式余子式Mij是指是指在在D中去掉中去掉aij所在的第所在的第i行和第行和第j列后所得到的列后所得到的n1阶子式阶子式. 例例2.2. 在四阶行列式在四阶行列式44434241343332312423222114311211aaaaaaaaaaaaaaaaD 中中

17、a23的余子式是的余子式是:.44424134323114121123aaaaaaaaaM一一. 基本定义基本定义一一. 基本定义基本定义 3.3.代数余子式代数余子式: 设设Mij是是n(n 1)阶行列式阶行列式D的元素的元素aij的余子式的余子式, 则称则称Aij=(1)i+jMij是是aij的的代数余子式代数余子式. 例例3.3. 在四阶行列式在四阶行列式44434241343332312423222114311211aaaaaaaaaaaaaaaaD 中中a23的代数余子式是的代数余子式是:.) 1(444241343231141211233223aaaaaaaaaMA二二. .按行按

18、行( (列列) )展开展开行列式行列式 定理定理3.4.13.4.1 如果如果n(n 1)阶行列式阶行列式D的第的第i行行(或第或第j列列)中的元中的元素除素除aij外都是零外都是零, 则则D=aijAij=(1)i+j aij Mij. 定理定理3.4.23.4.2 n(n 1)阶行列式阶行列式D等于它的任一行等于它的任一行(列列)的所有元的所有元素与它们的对应的代数余子式的乘积的和素与它们的对应的代数余子式的乘积的和. 即即 :. 2211122111njnjjjjjniijijininiiiinjijijAaAaAaAaAaAaAaAaD 定理定理3.4.33.4.3 n(n 1)阶行列式阶行列式D的某一行的某一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零. 即即, 当当i j时时 :, 022111jninjijinkjkikAaAaAaAa. 022111njnijijinkkjkiAaAaAaAa三三. .例题例题 例例4 4 计算行列式计算行列式:3351110243152113D 例例5 5 计算行列式计算行列式:12211000000000100001axaaaaxxxxnnnn 例例6 6 计算行列式计算行列式:1121122221