选修4-1 几何证明选讲

1、人教人教A A版数学版数学选修选修4-1 4-1 几何证明选讲几何证明选讲第一节第一节 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质第二节第二节 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学选修4-1 几何证明选讲人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学备考方向要明了备考方向要明了以解答题形式考查，一般以基础以解答题形式考查，一般以基础知识为主，难度不大，如知识为主，难度不大，如2012年新课年新课标全

2、国标全国T22.1.了解平行线截割了解平行线截割 定理定理2.会证明并应用直会证明并应用直 角三角形射影定角三角形射影定 理理.怎怎 么么 考考考考 什什 么么人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学归纳归纳知识整合知识整合 1平行线的截割定理平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理平行线等分线段定理 定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段 ，那么在任一条那么在任一条(与这组平行线相交的与这组平行线相交的)直线

3、上截得的线段直线上截得的线段也也 推论推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必必 推论推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_相等相等相等相等平分第三边平分第三边平分另一腰平分另一腰人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学 (2)平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 定理三条平行线截两条直线，所得的定理三条平行线截两条直线，所得的 成比成比例例 推论平行于三角

4、形一边的直线截其他两边推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的或两边的延长线延长线)所得的所得的 成比例成比例 探究探究1.平行线分线段成比例定理的推论的逆命题正平行线分线段成比例定理的推论的逆命题正确吗？确吗？ 提示：正确如果一条直线截三角形的两边或两边的提示：正确如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边，该命题正确形的第三条边，该命题正确对应线段对应线段对应线段对应线段人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科

5、科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学2相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理定理定理内容内容判定定理判定定理1 对应相等，两三角形相似对应相等，两三角形相似判定定理判定定理2 对应成比例且对应成比例且 相等，两三角形相似相等，两三角形相似判定定理判定定理3 对应成比例，两三角形相似对应成比例，两三角形相似两角两角两边两边夹角夹角三边三边探究探究2.三角形相似是否具有传递性？三角形相似是否具有传递性？提示：三角形相似具有传递性提示：三角形相似具有传递性人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学

6、科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学3相似三角形的性质定理相似三角形的性质定理定理与推论定理与推论内容内容性质定理性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于应角平分线的比都等于_ 相似三角形周长的比等于相似三角形周长的比等于 _相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的 _推论推论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的似比，外接圆的面积比等于相似比的 _相似比相似比相似比相似比平方平方平方平方人教人教A A版数

7、学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学4直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理定理定理内容内容判定定判定定理理1如果两个直角三角形如果两个直角三角形 对应相等，对应相等，那么它们相似那么它们相似判定定判定定理理2如果两个直角三角形的如果两个直角三角形的 对应成比对应成比例，那么它们相似例，那么它们相似判定定判定定理理3 和一条直角边对应和一条直角边对应 的两个直的两个直角三角形相似角三角形相似一组锐角一组锐角两直角边两直角边斜边斜边成比例成比例 5直角三角形射

8、影定理直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积边上的射影的乘积人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学自测自测 牛刀小试牛刀小试1.如图所示，如图所示，E是是 ABCD的边的边AB延长线上的延长线上的 一点，且一点，且 DC BE3 2，求，求AD BF.人教人

9、教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学2.如图，已知在如图，已知在ABC中，中，CDAB于于D点，点， BC2BDAB， 求求ACB.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学3.如图，在如图，在ABC中，中，M、N分别是分别是AB、 BC的中点，的中点，AN、 CM交于点交于点O，求，求 MON与与AOC的面积的比的面

10、积的比人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学4如图所示，在如图所示，在ABC中，中，ACB90， CDAB于于D， AC6，DB5，求，求AD 的长的长解：在解：在RtABC中，中，ACB90，CDAB，AC2ADAB，设，设ADx，则，则ABx5，又，又AC6，62x(x5)，即，即x25x360，解得解得x4.AD4.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相

11、似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学5.如图所示，在如图所示，在ABC中，中，ADBC于于D，DEAB于于E，DFAC于于F.求证：求证：AEABAFAC.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学平行线截割定理的应用平行线截割定理的应用 例例1如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，ADBC，BD与与AC相交于点相交于点O，过点，过点O的直线分别交的直线分别交AB，CD于于E，F，且，且EFBC，若，若AD12，BC20，求，求EF.人教人

12、教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学本例条件不变，求证：本例条件不变，求证：OEOF.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学平行线截割

13、定理的作用平行线截割定理的作用 平行线截割定理一方面可以判定线段成比例，平行线截割定理一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比比 人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学1.已知已知E是正方形是正方形ABCD的边的边AB延长线上一点，延长线上一点， DE交交CB于于M，MNAE交交CE于于N，

14、求证：，求证： MNMB.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质 例例2如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，ADBC，ABCD，DECA，且交，且交BA的延长的延长线于线于E，求证：，求证：EDCDEABD.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学证明等积式的方法证

15、明等积式的方法 证明等积式的一般方法是化为等积的比例式证明等积式的一般方法是化为等积的比例式 (1)若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明证明 (2)若所证比例线段所在的两三角形不相似，需考若所证比例线段所在的两三角形不相似，需考虑能否利用线段替换或等比替换等虑能否利用线段替换或等比替换等 人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学 2.如图所示，已知如图所示，已知 ABCD中，中，G是是DC延延 长线上一点，

16、长线上一点，AG分别交分别交BD和和BC于于E， F两点，证明：两点，证明：AFADAGBF.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学射影定理及其应用射影定理及其应用人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学

17、科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学巧用射影定理解题巧用射影定理解题 已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项的等式，并分清比例中项人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A

18、版数学版数学3. 如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90， CDAB于点于点D， CD6，E为为AB的中的中 点，点，AD DB2 3，求，求AC及及CE.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学 (1)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用的不同位置，以及在三

19、角形与四边形中的灵活应用 (2)证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等如角相等，有相等的比例式等)，常考，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学 (1)条件中若有一对角相等，可找另一对角相等或找条件中若有一对角相等，可找另一对角相等或找夹这对角的两边成比例夹

20、这对角的两边成比例 (2)条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或证明条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或证明另外一组对应边的比等于已知两边的比另外一组对应边的比等于已知两边的比 (3)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找一对条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找一对底角相等或两个三角形的底和腰的比对应相等底角相等或两个三角形的底和腰的比对应相等 人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学 证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母证明等积式，化成比例

21、式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两三角形相似不能构成三角形或三角形不相似需转化三角形相似不能构成三角形或三角形不相似需转化.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学答题模板答题模板相似三角形的判定的答题模板相似三角形的判定的答题模板 典例典例 (2012新课标全国卷新课标全国卷满分满分1010分分)如如图所示，图所示，D，E分别为分别为ABC边边AB，AC的中的中点，直

22、线点，直线DE交交ABC的外接圆于的外接圆于F，G两点两点若若CFAB， 证明：证明：(1)CDBC； (2)BCDGBD.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学 快速规范审题快速规范审题 第第(1)问：问： 1审条件，挖解题信息审条件，挖解题信息 观察条件：由观察条件：由D，E分别为分别为AB，AC的中点的中点DEBC；由由D为为AB的中点的中点CFAD. 2审结论，明确解题方向审结论，明确解题方向 观察所求结论：证明观察所求结论：证明CDBC.人教

23、人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学 第第(2)问：问： 1审条件，挖解题信息审条件，挖解题信息 观察条件：观察条件：FGBC，由，由(1)可知可知BDCF. 2审结论，明确解题方向审结论，明确解题方向 观察所求结论：观察所求结论：BCDGBD. 3建联系，找解题突破口建联系

24、，找解题突破口 分析条件：分析条件：FGBCGBCF，由，由(1)可知可知BDCFGBBDDGBEFCDBCBCDGBD.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学准确规范答题准确规范答题(1)因为因为D，E分别为分别为AB，AC的中点，的中点，所以所以DEBC.(2分分)又已知又已知CFAB，故四边形，故四边形BCFD是平行四边形，是平行四边形，所以所以CFBDAD.而而CFAD，连结，连结AF， 所以四边形所以四边形ADCF是平行四边形，故是平行四边形

25、，故CDAF.因为因为CFAB，所以，所以BCAF，故，故CDBC.(5分分)(2)因为因为FGBC，故，故GBCF.由由(1)可知可知BDCF，所以所以GBBD.(8分分)从而从而DGBEFCDBC，故，故BCDGBD.(10分分)本题中的平本题中的平行关系比较行关系比较多，易分辨多，易分辨不清而致错不清而致错.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学答题模板速成答题模板速成第一第一步审步审条件条件尽量多的找尽量多的找出角相等、出角相等、边成比例的边成

26、比例的情况情况第二第二步审步审结论结论三角形相三角形相似需角相似需角相等或边成等或边成比例比例第三第三步建步建联系联系找出或证明找出或证明三角形相似三角形相似的条件是已的条件是已具备的具备的第四第四步写步写步骤步骤将过程按将过程按要求写出要求写出答题过程答题过程判断三角形相似的一般步骤：判断三角形相似的一般步骤：“演练知能检测演练知能检测” ” 见见“限时集训限时集训（七十一）（七十一）”人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学

27、回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学2.如图所示，平行四边形如图所示，平行四边形ABCD中，中，AE EB1 2，若，若AEF的面积等于的面积等于1 cm2， 求求CDF的面积的面积人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第一节 相似三角形的判定及有关性质人教人教A A版数学版数学3如图所示，已知直线如图所示，已知直线FD和和ABC的的BC 边交于边交于D，与，与AC边交于边交于E，与，与BA的

28、延长的延长 线交于线交于F，且，且BDDC，求证：，求证：AEFB BCFA.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学备考方向要明了备考方向要明了与圆有关的切线、割与圆有关的切线、割线以及三角形问题是高考线以及三角形问题是高考的热点内容以解答题形的热点内容以解答题形式考查，一般以基础知识式考查，一般以基础知识为主，难度不大，如为主，难度不大，如2012年新课标年新课标T22等等.1.会证明并应用圆周角定理，会证明并应用圆周角定理， 圆的切线的判定定理与性质圆的切

29、线的判定定理与性质 定理定理2.会证明并应用相交弦定理，会证明并应用相交弦定理， 圆内接四边形的性质定理与圆内接四边形的性质定理与 判定定理、切割线定理判定定理、切割线定理.怎怎 么么 考考考考 什什 么么人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学归纳归纳知识整合知识整合1圆周角圆周角一半一半人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学

30、推推论论1同弧或等弧所对同弧或等弧所对的圆周角的圆周角 _ O为圆心，为圆心，A、B、C、 D为圆上任意四点，为圆上任意四点， 则则 有有ACBADB _同圆或等圆中，同圆或等圆中，相等的圆周角所相等的圆周角所对的弧也对的弧也 _ O为圆心，为圆心，A、B、C、 D为圆上任意四点，为圆上任意四点， 且且CADACB，则有则有 _相等相等相等相等人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学推推论论2半圆半圆(或直径或直径)所对所对的圆周角是的圆周角是_ O 为圆心，为

31、圆心，A、B、 C为圆上三点，且为圆上三点，且 BC为圆的直径，则为圆的直径，则 有有BAC_90的圆周角所对的圆周角所对的弦为的弦为 _ O为圆心，为圆心，A、B、 C为圆上三点，且为圆上三点，且 BAC90，则，则BC为圆的为圆的 _直角直角90直径直径直径直径 探究探究1.圆周角具有的两个特征是什么？圆周角具有的两个特征是什么？ 提示：顶点在圆上，角的两边与圆相交是圆周角的提示：顶点在圆上，角的两边与圆相交是圆周角的两个基本特征两个基本特征人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人

32、教人教A A版数学版数学2.圆的切线圆的切线判定判定定理定理过圆的半径的外端过圆的半径的外端且与这条半径且与这条半径 _的直线是圆的切线的直线是圆的切线 O 为圆心，为圆心，A为圆上一点，为圆上一点， 直线直线l经过点经过点A且且 _ OA，则直线，则直线l是圆的一条是圆的一条 切线，切点为切线，切点为A性质性质定理定理圆的切线圆的切线 经经过切点的半径过切点的半径 O为圆心，直线为圆心，直线l与圆相切与圆相切 于点于点A， 则则l OA切线切线长定长定理理从圆外一点引圆的从圆外一点引圆的两条切线，切线两条切线，切线长长 ，圆心，圆心和这一点的连线平和这一点的连线平分两条切线的夹角分两条切线的

33、夹角 O为圆心，为圆心，C为圆外的为圆外的 一点，由一点，由C向圆作切线，向圆作切线，分别切圆于点分别切圆于点A、B，则有，则有 ，OCA .垂直垂直垂直于垂直于相等相等垂直于垂直于垂直于垂直于CACBOCB人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学3弦切角定理及其推论弦切角定理及其推论一半一半 圆圆周角周角ADC人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教

34、人教A A版数学版数学4圆中的比例线段圆中的比例线段相交相交弦定弦定理理圆内的两条相交弦，每条弦被交圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积点分成的两条线段长的积 _ PAPBPCPD割线割线定理定理从圆外一点引圆的两条割线，该从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积线段长的积 _PAPBPCPD切割切割线定线定理理从圆外一点引圆的切线和割线，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的两条线段长的 _PAPBPC2相等相等相等相等比例中项比例中项人教人教A A版数学版数学回回扣

35、扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学5圆内接四边形的性质定理和判定定理圆内接四边形的性质定理和判定定理性质性质定理定理圆内接四边形圆内接四边形对角对角_ 四边形四边形ABCD内接于内接于 O，AC， B D判定判定定理定理如果四边形的如果四边形的对角互补，则对角互补，则此四边形内接此四边形内接于圆于圆 在四边形在四边形ABCD中，中， AC或或B D，则四边，则四边 形形ABCD内接于圆内接于圆互补互补 探究探究2.任意一个四边形是否有外接圆，三角形呢？任意一个四边形是否有外接圆，三角形呢

36、？ 提示：任意一个四边形不一定有外接圆，但一个三角形提示：任意一个四边形不一定有外接圆，但一个三角形一定有外接圆，并且外接圆惟一一定有外接圆，并且外接圆惟一人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学自测自测牛刀小试牛刀小试解：由切割线定理，得解：由切割线定理，得PA2PCPB.所以所以PC1.从而从而BC2，圆圆O的半径的半径R1，周长为周长为2R2.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科

37、素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学2.如图，已知如图，已知 O的弦的弦AB交半径交半径OC于点于点D， 若若AD3， BD2，且，且D为为OC的中点，的中点， 求求CD的长的长人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学3.如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABC中，中，B90， AB4，以，以BC为直径的圆交边为直径的圆交边AC于点于点D， AD2，求，求C的大小的大小解：连结解：连结BD，则有，则有ADB90.在在RtABD中，中，A

38、B4，AD2，所以，所以A60；在在RtABC中，中，A60，于是有，于是有C30.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学5.如图，已知如图，已知EB是半圆是半圆O的直径，的直径，A是是 BE延长线上一点，延长线上一点，AC是半圆是半圆O的切线，的切线， 切点为切点为D，BCAC于于C，若

39、，若BC6， AC8，求，求AE.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学圆周角及弦切角的性质圆周角及弦切角的性质人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学弦切

40、角定理的应用弦切角定理的应用 弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理似处理人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学1.如图，已知直线如图，已知直线MN与以与以AB为直径的半圆相切于点为直径的半圆相切于点C， CAB28

41、. (1)求求ACM的度数；的度数； (2)在在MN上是否存在一点上是否存在一点D，使，使ABCDACBC？为什么？为什么？人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学圆的切线的判定及性质圆的切线的判定及性质 例例2如图，已知弦如图，已知弦AB与与 O的半径相等，连结的半径相等，连结OB并延长使

42、并延长使BCOB. (1)问问AC与与 O的位置关系是怎样的；的位置关系是怎样的； (2)试在试在 O上找一点上找一点D，使，使ADAC.人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学证明直线是圆的切线的方法证明直线是圆的切线的方法 证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上证明直线是圆的切线的

43、方法：若已知直线经过圆上某点某点(或已知直线与圆有公共点或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确直线与圆的公共点不明确(或没有公共点或没有公共点)，则应过圆心，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆的半径等于圆的半径人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学

44、版数学2.如图，如图， O1和和 O2内切于点内切于点P，且，且 O1过过 点点O2，PB是是 O2的直径，的直径，A为为 O2上的上的 点，连结点，连结AB，过，过O1作作O1CAB于点于点C，连，连 结结CO2，若，若PA，PB4，求证：，求证：BA是是 O1的切线的切线人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学与圆有关的比例线段问题与圆有关的比例线段问题人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升

45、学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学与圆有关的比例线段问题的解题方法与圆有关的比例线段问题的解题方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定

46、理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理到切线和割线时要注意应用切割线定理人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学3.如图所示，如图所示，PA切切 O于点于点A，割线，割线PBC交交 O于点于点B，C， APC的角平分线分别的角平分线分别 与与AB，AC相交于点相交于点D，E，求证：，求证： (1)ADAE； (2)AD2DBEC. 人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节

47、直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学 (1)切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心；圆的切线垂直的直线过圆心； (2)相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长；于两圆外公切线的长； (3)若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两

48、个端点共圆，特别地，对定线段张角为此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆直角的点共圆人教人教A A版数学版数学回回扣扣主主干干知知识识突突破破热热点点题题型型演演练练知知能能检检测测提提升升学学科科素素养养第二节 直线与圆的位置关系人教人教A A版数学版数学(1)有弦，作弦心距；有弦，作弦心距；(2)有直径，作直径所对的圆周角；有直径，作直径所对的圆周角；(3)有切点，作过切点的半径；有切点，作过切点的半径；(4)两圆相交，作公共弦；两圆相交，作公共弦；(5)两圆相切，作公切线两圆相切，作公切线 (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；直接应用相交弦、切割线定理及其推论； (2)当比例式当比例式(等积式等积式)中的线段分别在两个三角形中时，中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，