中考总复习：二次函数--知识讲解(基础)

1、精选优质文档-倾情为你奉上中考总复习：二次函数知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1二次函数的概念常为中档题主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现【知识网络】 【考点梳理】考点一、二次函数的定义 一般地，如果（a、b、c是常数，a0），那么y叫做x的二次函数要点诠释： 二次函数(a0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2(2)二次项系数a0考点二、二次函数的图

2、象及性质1.二次函数(a0)的图象是一条抛物线，顶点为2.当a0时，抛物线的开口向上；当a0时，抛物线的开口向下3.|a|的大小决定抛物线的开口大小|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大 c的大小决定抛物线与y轴的交点位置c0时，抛物线过原点；c0时，抛物线与y轴交于正半轴；c0时，抛物线与y轴交于负半轴 ab的符号决定抛物线的对称轴的位置当ab0时，对称轴为y轴；当ab0时，对称轴在y轴左侧；当ab0时，对称轴在y轴的右侧4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到将向上移动k个单位得：将向左移动h个单位得：将先向上移动k(k0)个单位，再向右移动h(h0)个单位，即得函数的

3、图象要点诠释：求抛物线（a0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用考点三、二次函数的解析式1.一般式：(a0) 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值2.交点式（双根式）： 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式3.顶点式： 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待

4、定系数，最后将解析式化为一般形式4.对称点式：若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式要点诠释： 已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a0）.(由此得根与系数的关系：).考点四、二次函数(a0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系1.开口方向：a0时，开口向上，否则开口向下2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交

5、点；时，没有交点要点诠释： 当x1时，函数ya+b+c； 当x-1时，函数ya-b+c； 当a+b+c0时，x1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方； 当a-b+c0时，x-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方考点五、二次函数的最值1.当a0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，2.当a0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，要点诠释： 在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值1二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，且图象的对称轴在y轴的右侧，则k的值是 2【思路点拨】因为图象的对称轴在y

6、轴的右侧，所以对称轴x=k+10，即k-1；又因为二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，所以y最小值= =-4，可以求出k的值【答案与解析】解：图象的对称轴在y轴的右侧，对称轴x=k+10，解得k-1，二次函数y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4，y最小值= =k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4，整理得k2+k-6=0，解得k=2或k=-3，k=-3-1，不合题意舍去，k=2【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法举一反三：【变式】已知是二次函数，求k的值【答案】是二次函数，则由得，即，得，显然，当k

7、-3时，原函数为y0，不是二次函数 k2即为所求类型二、二次函数的图象及性质的应用2把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( ) A B C D【思路点拨】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式【答案】 D；【解析】根据抛物线的平移规律可知：向左平移1个单位可变成，再向上平移3个单位后可变成【总结升华】(1)图象向左或向右平移|h|个单位，可得的图象(h0时向左，h0时向右) (2)的图象向上或向下平移|k|个单位

8、，可得的图象(k0时向上，k0时向下)举一反三：【变式】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是( )A B C D【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得故选A.类型三、求二次函数的解析式3已知二次函数的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为，求这个二次函数的解析式 【思路点拨】将点（1，0），（-5，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，再由 ，从而求得a，b，c的值，即得这个二次函数的解析式【答案与解析】解法一：由题意得 解得所以二次函数的解析式为解法二：由题意得 把代入，得，解得所以二次函数的解析式为，即 解法三：因为二次函数

9、的图象与x轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知，对称轴是直线所以，抛物线的顶点是可设函数解析式为即【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式举一反三：【高清课程名称：二次函数与中考 高清ID号：关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1】【变式】已知：抛物线经过点（1）求的值；（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式（提示：请画示意图思考）【答案】解：（1）依题意得：， （2）当时， 抛物线的顶点坐标是 yxOBPA（3）解法1：当时，抛物线对称轴，对称轴在点的左侧因为抛物线是轴对称图

10、形，且 又，抛物线所对应的二次函数关系式 解法2：当时，对称轴在点的左侧因为抛物线是轴对称图形，且 又，解得：这条抛物线对应的二次函数关系式是 解法3：， 轴， 即：解得：，即 由，这条抛物线对应的二次函数关系式. 类型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系4（2015包头）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：当x3时，y0；3a+b0；1a；4acb28a；其中正确的结论是（）ABCD【思路点拨】先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），从

11、而可知当x3时，y0；由抛物线开口向下可知a0，然后根据x=1，可知：2a+b=0，从而可知3a+b=0+a=a0；设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3），则y=ax22ax3a，令x=0得：y=3a由抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可知23a3由4acb28a得c20与题意不符【答案】B；【答案与解析】解：由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x3时，y0，故正确；抛物线开口向下，故a0，x=1，2a+b=03a+b=0+a=a0，故正确；设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3），则y=ax22ax3a，令x=0得：y=3a抛物线与y轴的交

12、点B在（0，2）和（0，3）之间，23a3解得：1a，故正确；抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，2c3，由4acb28a得：4ac8ab2，a0，c2c20c2，与2c3矛盾，故错误故选：B【总结升华】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键举一反三：【变式】如图所示是二次函数图象的一部分，图象经过点A(-3，0)，对称轴为给出四个结论：；其中正确结论是（ ） A B C D【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a、b、c的和、差、积的符号问题，其中利用直线， 交抛物线的位置来判断，的符号问题应注意理解和掌握由图象开

13、口向下，可知a0，图象与x轴有两个交点，所以， 确对称轴为，所以，又由a0，b2a，可得5ab，正确故选B.类型五、求二次函数的最值5某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为)y元(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围 (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2

14、200元?【思路点拨】（1）每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件，当每件商品的售价上涨x元时，每个月可卖出（210-10x）件，每件商品的利润为x+50-40=10+x；（2）每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即（210-10x）（10+x），当每个月的利润恰为2200元时得到方程（210-10x）（10+x）=2200求此方程中x的值【答案与解析】(1)y(210-l0x)(50+x-40)-10x2+110x+2100(0x15且x为整数) (2)y-10(x-5.5)2+2402.5 a-100， 当x5.5时，y有最大值2402.5 00），同时将直线：沿轴正方向平移个单位.平移后的直线为，移动后、的对应点分别为、.当为何值时，在直线上存在点