二阶系统的时间响应

1、四四、二阶系统的时间响应1、二阶系统、二阶系统 222222121)(nnnssTssTsG其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期， 为阻尼比； n1/T为系统的无阻尼固有频率。二阶系统的特征方程：0222nnss极点（特征根）：122 , 1nnp 临界阻尼二阶系统： 1具有两个相等的负实数极点：np2 , 1系统包含两类瞬态衰减分量：ttnntee, 过阻尼二阶系统： 1具有两个不相等的负实数极点：122 , 1nnp系统包含两类瞬态衰减分量：tnn1exp2122 , 1nnp 欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 01具有一对共轭复数极点：dnnnjjp22 , 11系统时域响应含有衰

2、减的复指数振荡项：tjttjdndneee)(其中，21nd称为阻尼振荡频率。122 , 1nnp 零阻尼二阶系统： 0具有一对共轭虚极点：njp2 , 1系统时域响应含有复指数振荡项：tjne 负阻尼二阶系统： 0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。21,21nnp 122 , 1nnp2、二阶系统的、二阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应 0 1：012)(11222teetxttnonn3、二阶系统的、二阶系统的单位阶跃响应单位阶跃响应 ssXi1)()2()()()(222nnniossssXsGsX 欠阻尼（01）状态 0)11 (21)11 (211)()1(22)1(2222tee

3、txttonn，01txo(t)q 特点 单调上升，无振荡， 过渡过程时间长 xo () = 1，无稳态 误差。 无阻尼（=0）状态 0,cos1)(tttxno210txo(t)q 特点 频率为n的等 幅振荡。)2()()()(222nnniossssXsGsX 负阻尼（0）状态 0txo(t)-10t0 xo(t)-1q -10：输出表达式与欠阻尼状态相同。 q -1：输出表达式与过阻尼状态相同。 特点：振荡发散 特点：单调发散 几点结论 q 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性： 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；01时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，

4、但响应愈快； = 0时，出现等幅振荡。 q 工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过 大的振荡。q 一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越 迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应 的快速性越好。 例题例题 例1单位脉冲信号输入时，系统的响应为：求系统的传递函数。 toetx657)(解解：由题意Xi(s)=1，所以： 57)()()()()(6tooioeLtxLsXsXsXsG)6(422657sssss 例2解解：1）单位阶跃输入时 已知系统传递函数：求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应

5、。2) 1(12)(sssG11) 1(11) 1(12)()()(22sssssssXsGsXio从而： ttooetesXLtx1)()(2）单位脉冲输入时，由于)( 1 )(tdtdt 因此：ttooteetxdtdtx2)()(16、 二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标 控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N。 10tMp允许误差=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系统的时

6、域性能指标q 评价系统快速性的性能指标 上升时间tr响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。 峰值时间tp响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。 调整时间ts响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。 最大超调量Mp响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示： q 评价系统平稳性的性能指标 %100)()()(oopopxxtxM若xo(tp) xo()，则响应无超调。 振荡次数N在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。 欠阻尼二阶系

7、统的时域性能指标 上升时间tr1sin11)(2rdtrotetxrn根据上升时间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：0),sin(11)(2ttetxdton2221arccos11nndrarctgt从而：即：0sinrdt, 2, 1, 0,kktrd显然， 一定时，n越大，tr越小；n一定时， 越大，tr 越大。 峰值时间tp，并将t = tp代入可得： 0)(dttdxo令0)cos(1)sin(122pdtdpdtntetepnpn即： tgttgpd21)(, 2, 1, 0,kktpd根据tp的定义解上方程可得： 21ndpt可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td2/d的一半。且

8、一定，n越大，tp越小；n一定， 越大，tp 越大。 最大超调量 Mp%100%100)()()(21exxtxMoopop显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系统的平稳性越好，当 = 0.40.8时，可以求得相应的 Mp = 25.4%1.5%。00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10102030405060708090100Mp二阶系统Mp 图211lnpM 调整时间ts对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量 1 的指数曲线： 211tnet01xo(t)211tne211tn

9、e21112111T2T3T4TT2当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用： 1112tnenst21lnln可以求得：由上式求得的ts包通常偏保守。当一定时，n越大，ts越小，系统响应越快。05. 0,302. 0,41lnln2nnnst当00.7时， 振荡次数NN 仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻尼特性。越大，N越小，系统平稳性越好。2122nddT对欠阻尼二阶系统，振荡周期02. 0,1205. 0,15 . 122dsTtN则 二阶系统的动态性能由n和决定。 结论 通常根据允许的最大超调量来确定。一般 选择在0.40.8之间，然后再调

10、整n以获得合 适的瞬态响应时间。 一定，n越大，系统响应快速性越好， tr、 tp、ts越小。 增加可以降低振荡，减小超调量Mp 和振荡 次数N ，但系统快速性降低，tr、tp增加；510150=0.2=0.4=0.6=0.8 例题1图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，M的位移时间响应如图b)。试求系统的质量M、弹性系数K和粘性阻尼系数C的值。 mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t /s13xo(t)/mtpb)解解：根据牛顿第二定律： 22)()()()(dttxdMdttdxCtKxtfooo2222211)()()(nnnossKKCsM

11、ssFsXsGKMCMKn2,其中，系统的传递函数为：sKCsMssXsGsXio9 . 81)()()(2由于F(s)=Lf(t)=L8.9=8.9/s，因此根据拉氏变换的终值定理：KKCsMsssXxsoso9 . 89 . 8lim)(lim)(200由图b)知 xo() = 0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m又由图b)知：%7 . 9%10003. 00029. 0%10021eMp解得： = 0.6212npt又由：代入，可得n=1.96rad/sKMCMKn2,根据解得 M = 77.3Kg，C = 181.8Nm/s 例题2已知单位反馈系统的开环传递函数为： 求

12、K=200时，系统单位阶跃响应的动态性能指标。若K 增大到1500或减小到13.5，试分析动态性能指标的变化情况。 )5 .34(5)(ssKsG解解：系统闭环传递函数为： KssKsGsGs55 .345)(1)()(21）K = 200时 10005 .341000)(2sssn=31.6rad/s，=0.545stnr081. 01arccos2)05. 0(174. 03stns%13%10021eMp21.5 10.731(0.05)N stnp12. 0122）K = 1500时 n=86.2rad/s，=0.2，同样可计算得： tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.

13、7%ts=0.174s，N=2.34可见，增大K，减小，n提高，引起tp减小，Mp增大，而ts无变化 即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组成，其中 T1=0.481s,T2=0.0308s3）K = 13.5时 n=8.22rad/s，=2.1 ，系统工作于过阻尼状态，传递函数可以改写为： ) 10308. 0)(1481. 0(15 .675 .345 .67)(2sssssG对于过阻尼系统，tp，Mp，N已无意义，而调整时间ts间可以通过其中时间常数大的一阶系统进行估算，即： ts=3T1=1.443s (=0.05)显然，ts比前两种情形要大得多，虽然系统无超调，但过渡过程缓

14、慢。五五、高阶系统的时间响应1、高阶系统的单位阶跃响应、高阶系统的单位阶跃响应 )()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考虑系统0011,)()(abKpszsKnjjmiinrqsspszsKrkkkkqjjmii2,)2()()(12211rkkkkqjjmiiosspsszsKsX12211)2()()()(假设系统极点互不相同。21kkkkjs其中，a, aj为Xo(s)在极点s = 0和s = -pj处的留数； bk、ck是与Xo(s)在极点 处的留数有关的常数。rkkkkkkkkkkkqjjjscsbpsasa122221)1

15、()(1)(当Xi(s)=1/s时，)0(1sin1cos)(12121ttectebeaatxrkkktkrkkktkqjtpjokkkkj其中，=arctg(bk/ck)。)0( )1sin(12221ttecbeaarkkktkkqjtpjkkj2、高阶系统的单位阶跃响应的特点、高阶系统的单位阶跃响应的特点 高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系 统的响应函数叠加而成。 如果所有闭环极点都在 s 平面的左半平面内，即所有闭环极点都具有负实部( pj 、 kk大于零)，则随着时间t，xo()=a。 即系统是稳定的。 极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态 分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；3、

16、系统零极点分布对时域响应的影响、系统零极点分布对时域响应的影响0j-n-8n-5n-10np1p2p3p4p5z10txo(t)p1 、p2p3p4 、p5 通常如果闭环零点和极点的距离比其模值 小一个数量级，则该极点和零点构成一对 偶极子，可以对消。 系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小，所以一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。这对零极点称为偶极子。 综上所述，对于高阶系统，如果能够找到 主导极点（通常选为一对共轭复数极点，即二阶系统），就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为二阶系统

17、进行处理。 主导极点（ 距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用。 4、 例题例题已知系统的闭环传递函数为：65234651024. 6104 . 480001001025. 61012. 3)()()(ssssssXsXsio求系统近似单位阶跃响应。解解：系统闭环传递函数的零极点形式为：)4 .7110)(4 .7110)(60)(20()03.20(1012. 3)(5jsjsssss-10-20-20.03-6071.4-71.40j由系统零极点分布图可见，零点z1-20.03和极点p1-20 构成一对偶极子，

18、可以消去，共轭复数极点p3,4-10j71.4与极点p2-60相距很远， p3,4 为系统的主导极点， p2对响应的影响可以忽略，从而系统简化为：3235102 . 520102 . 5)4 .7110)(4 .7110(601012. 3)(ssjsjss系统的近似单位阶跃响应为：0),43. 14 .71sin(01. 11)(10ttetxton=72.11rad/s，=0.139txo (t)0原系统等效二阶系统单位阶跃响应txo(t)0-10j71.4-60-20瞬态输出分量六六、误差分析和计算1、控制系统的偏差与误差、控制系统的偏差与误差考虑图示反馈控制系统H(s)Xi(s)Xo(

19、s)B(s) (s)G(s) 偏差信号(s)(s)= Xi(s)B(s) Xi(s)H(s) Xo(s)偏差信号(s)定义为系统输入Xi(s)与系统主反馈信号B(s)之差，即： 误差信号E(s)误差信号e(s)定义为系统期望输出Xor(s)与系统实际输出Xo(s)之差，即： E(s)= Xor(s) Xo(s)控制系统的期望输出Xor(s) 为偏差信号(s)0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望输出： Xo(s)Xor(s)由：(s)=Xi(s)H(s)Xor(s)0可得：Xor(s)Xi(s)/H(s) 对于单位反馈系统，H(s)1，Xor(s)Xi(s) 偏差信号(s

20、)与误差信号E(s)的关系)()()()()()()()(sHssXsHsXsXsXsEoioor对单位反馈系统：E(s) (s) 2、稳态误差及其计算、稳态误差及其计算 稳态误差ess稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t）下的差值，即误差信号e(t) 的稳态分量：)(limteetss当sE(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：)(lim)(lim0ssEteestss 稳态误差的计算系统在输入作用下的偏差传递函数为： )()(11)()()(sHsGsXssiii)()()(11)(sXsHsGsii即：)()()(11lim)(lim

21、)(lim00sXsHsGssstisstss利用拉氏变换的终值定理，系统稳态偏差为：稳态误差：)0()(1lim)()()(11)(1lim)()(lim)(lim)(lim0000HsHsXsHsGsHssHssssEteesssssissstssH(s)Xi(s)Xo(s)B(s) (s)G(s)()(11lim0sXsGseisssss对于单位反馈系统：显然，系统稳态偏差(误差)决定于输入Xi(s)和开环传递函数G(s)H(s)，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。 例题已知单位反馈系统的开环传递函数为： G(s)=1/Ts求其在单位阶跃输入、单位单位速度输入、单位加速度输入以及

22、正弦信号sint输入下的稳态误差。解解：该单位反馈系统在输入作用下的误差传递函数为：1)(11)(TsTssGse在单位阶跃输入下的稳态误差为：011lim)()(11lim00sTsTsssXsGsesisss在单位速度输入下的稳态误差为：TsTsTsssXsGsesisss20011lim)()(11lim在单位加速度输入下的稳态误差为：30011lim)()(11limsTsTsssXsGsesissssint输入时：)(1()()(11)(22sTsssXsGsEi由于上式在虚轴上有一对共轭极点，不能利用拉氏变换的终值定理求稳态误差。tTTtTTeTTteTtsin1cos11)(22

23、222222对上式拉氏变换后得：tTTtTTtesssin1cos1)(222222稳态输出为：而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得到错误得结论：01lim220sTsTssesss此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差也不相同。3、稳态误差系数、稳态误差系数 稳态误差系数的概念q 稳态位置误差（偏差）系数psisssKsHsGsXsHsGs11)()(11lim)()()(11lim00单位阶跃输入时系统的稳态偏差称为稳态位置误差（偏差）系数。)0()0()()(lim0HGsHsGKsp其中，q 稳态速度误差（偏差）系数vsisssKsHssGssXsHsGs1)()(1lim)()()

24、(11lim00单位速度输入时系统的稳态偏差称为稳态速度误差（偏差）系数。)()(lim0sHssGKsv其中，)0(,11GKKeppssss对于单位反馈系统，pssKHe11)0(1易知：)(lim,10ssGKKesvvssss对于单位反馈系统，vssKHe1)0(1易知：q 稳态加速度误差（偏差）系数asisssKsHsGsssXsHsGs1)()(1lim)()()(11lim2200单位加速度输入时系统的稳态偏差称为稳态加速度误差（偏差）系数。)()(lim20sHsGsKsa其中，q 结论当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数。 )(lim,120sG

25、sKKesaassss对于单位反馈系统，assKHe1)0(1易知： 系统类型将系统的开环传递函数写成如下形式： )() 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sGsKsTsTsTssssKsHsGvvnvm)()(1)(lim)(lim)(lim00sHsGssXsstisstss则： )()(lim0sXsGKsssivvsKssXsvsivs010lim)(lim即系统的稳态偏差（误差）取决于系统的开环增益、输入信号以及开环传递函数中积分环节的个数v。根据系统开环传递函数中积分环节的多少，当 v = 0, 1, 2, 时，系统分别称为0型、I型、型、系统。 不同类型系统

26、的稳态误差系数及稳态误差q 0型系统) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTsssKsHsGvnmKsHsGKsp)()(lim0KKpss11110)()(lim0sHssGKsvvssK10)()(lim20sHsGsKsaassK1q I型系统) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTssssKsHsGvnm)()(lim0sHsGKsp011pssKKsHssGKsv)()(lim0KKvss110)()(lim20sHsGsKsaassK1q 型系统) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(21221sTsTsT

27、ssssKsHsGvnm)()(lim0sHsGKsp011pssK)()(lim0sHssGKsv01vssKKsHsGsKsa)()(lim20KKass11表1、系统的稳态误差系数及稳态偏差00KII型00KI型00K0型单位加速度输入单位速度输入单位阶跃输入KaKvKp稳态偏差稳态误差系数系统类型K11K1K1q 几点结论 不同类型的输入信号作用于同一控制系统， 其稳态误差不同；相同的输入信号作用于 不同类型的控制系统，其稳态误差也不同。 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环 增益越大，稳态误差越小。 在阶跃输入作用下， 0型系统的稳态误差 为定值，常称为有差系统； I型系统的稳 态误

28、差为0，常称为一阶无差系统； 在速度输入作用下，II 型系统的稳态误差 为 0，常称为二阶无差系统。 11ssKxi(t)xo(t)t0 xi(t) xo(t)0型系统的单位阶跃响应Kss1xi(t)xo(t)t0 xi(t) xo(t)I型系统的单位速度响应Kss1xi(t)xo(t)t0 xi(t) xo(t)II型系统的单位加速度响应 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。 221)(CtBtAtxi如：avpssKCKBKA1总的稳态偏差： 如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。 稳态误差系数只对相应的阶跃、速度及加 速度

29、输入有意义。v有扰动存在时的稳态偏差1.仅由扰动产生的偏差)()()(sXsHsoN)()()(sNsGsHBN)()()()(1)()(212sNsGsGsHsGsH)()()()(1)()(212sNsGsGsHsGsH2.仅由扰动产生的稳态偏差)(lim0sssss)()()()(1)()(lim2120sNsGsGsHsGsHss)()()(1)()(lim20sNsHsGsGsHss3.输入和扰动共同作用下的稳态误差（单位反馈）)()()(1)()(lim)()()(11lim200sNsHsGsHsGssXsHsGsesisss六 系统误差分析和计算 系统总误差 ssnssiss当

30、系统同时受到输入信号Xi(s)和扰动信号N(s)作用时，由叠加原理，系统总的稳态偏差：ssnssisseee稳态误差：六 系统误差分析和计算减小系统误差的途径，方法。1 按干扰补偿2 按输入补偿 Xi(s) E(s) Xo(s)+ -G1(s) G2(s)Gc(s)(1sG)(sGn)(2sG+)(sR)(sC)(sN 例题系统结构图如下，其中K1、K2 、K3、 K4、 T为常数，试求当输入xi(t)=1+t以及扰动作用下，使系统稳态误差为零的K4值和G0(s)。sK213TsKK1G0(s)Xi(s)Xo(s)+_+_K4N(s)解解：n(t)=0时sK213TsKK1Xi(s)Xo(s)

31、_+K4321232143)(KKKsTsKKKsKKsi系统闭环传递函数：)()1 ()()(1)()()(3212432sXKKKsTssKKTssXssXsXsEiiioori2321243211)1 (ssKKKsTssKKTssKKKsTsKKTsKKKsTsKKTs1)1 ()1 (32124332124301)(lim321430KKKKKssEesssi341KK 注：已知输入作用下闭环传递函数时，稳态误差也可由其等效单位反馈系统的开环传递函数通过稳态误差系数求解。sKKTsKKKsKKsssGiii)1 ()(1)()(43232143)(1)()(sGsGs)(1)()(s

32、ssG要使系统对输入xi(t)=1+t无稳态误差，Gi(s)需为II型系统，即1K3 K4 =0 K4=1/K3 。只有扰动作用时(xi(t)=0)sKK2113TsK+G0(s)N(s)Xon(s)_3212021321)(1)()()(KKKsTssGsKKKKKsNsXsonn0)()()(sNssXnonsKKsG2101)(q 减小稳态误差的方法 提高系统开环增益； 增加系统开环传递函数中积分环节的个数； 通过顺馈控制或复合控制进行补偿；第三章第三章 例题讲解例3.1 已知系统的单位阶跃响应为：ttoeetx10602 . 12 . 01)(求：1）系统的闭环传递函数； 2）系统阻尼

33、比和无阻尼固有频率n。解解：1） ssXi1)()10)(60(600102 . 1602 . 01)()(sssssstxLsXoo60070600)10)(60(600)()()(2sssssXsXsio2）对比二阶系统的标准形式： 2222)(nnnsss7026002nn429. 1/5 .24sradn有： 例3.2 已知系统方框图如下：图中虚线方框称为“比例微分”控制。求系统的上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts 及最大超调量Mp。并分析“比例微分”控制对二阶系统性能的影响。)2(2nnssdsXi(s)Xo(s)01解解：系统开环传递函数为：)2() 1()(2ndnssssG闭环传递函数为：22222222) 1()2() 1()(nnddnnndndnsssssss其中：2ndd注意到上式为有零点的二阶系统，不可应用典型二阶系统的时域性能指标求解公式。ssssssnndnndnndnn22222222)2()2()(当d1时，系统单位阶跃响应为：)sin()sin(11)(21ttetxdndddtond0)sin(1211222ttednddnddtnd其中，21dndddarctg21ndddarctg211) 上升