高数中的重要定理与公式及其证明

1、高数中的重要定理与公式及其证明(一)考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。1)常用的极限liminex 0 x1,limx 0ax 1In a , lim

2、(1x 0x)a 1 x.1 cosxa , lim2x 0x21xx 0 xln a【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想1过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x)，e与x0sinxlims1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x0x巧。证明：l(1)ln(1)limln(1是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x,再取倒数即得limU 1。x 0 x1：由极限lim(1x)xe两边同时取对数即得lim1n(1x)1。x0xx0x0xlime1:在等式lim1n(1x)1中，令ln(1x)t,则xet1。由于极限x

3、0xx0xxa 1 lim x 0 xln a :利用对数恒等式得xa 1 limxlnae 1limx 0 x再利用第二个极限可xln a exln ae 1ln a lim ln a因此有xa 1lim ln a 。x 0 x过程是x0,此时也有t0,因此有lim41。极限的值与取极限的符号t0et1帆a:利用对数恒等式得moHx一 am。Hx a一 am。Hx amo ix0 x上式中同时用到了第一个和第二个极限1 cosx lim x 0 x21 一、小 ，2:利用倍角公式得xim01 cosx2sin2-22xllim2 x o2.一 x sin2x22)导数与微分的四则运算法则(u

4、 v) uv,d(u v) dudv(uv)uv,d( uv)vdu udv(u)vvuuv2 vd(u) vvdu udv, 2(vv0)【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3)链式法则设yf(u),u(x),如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u(x)处可导,则复合函数yf(x)在x处可导可导，且有:f( (x)f(u) (x)或 dx Mdu【点评】：同上。4)反函数求导法则设函数yf(x)在点x的某领域内

5、连续，在点Xo处可导且f(x)0,并令其反函数为xg(y),且xo所对应的y的值为yo,则有:g (y0)1f (Xo)1 f dx,、或二f (g(y。)dy1 dy dx【点评】：同上5)常见函数的导数sin xcosx , cosx sin x,ln x1xlna -,logaxxlna【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：x1:导数的定义是f(x)limxI3一x)f(x),代入该公式得11m0(xx)x(1-)xx(11lim一x0-)xx1。最后一步用到了极限limg)ax0xa。注意，这里的推导过程仅适用于0的情形。sin(xx)sinx由和差化积公式得limx0似。sin(xx)sinxlimx0x、.x2cos(x-)sincosxcosxsinx的证明类Inx1:利用导数定义lnxlimlnxxx0x)Inxlimoln(1)xxlOgax1一、一，的证明类似xlna(利用换底公式lOgaxInxIna:利用导数定义ex.elimx0