保险精算利息理论课件

1、1第二章 利息理论2累积函数n累积函数是单位本金的累计额，以 表示。 n其中， ， 。)(ta)0()()(AtAta1)0(a)()0()(taAtA3累积函数a(t)01ta(t)01ta(t)01t 图2-1 图2-2 图2-3na(t)通常为t 的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，如图2-1和图2-2所示na(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。n有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。4利息率n利息率l1年内1单位本金的利息就是实际年利息率 以 表示第n个基本计息时间单位的实际利率

2、 ) 1() 1()(1)(nAnAnAnainni)0()0() 1 (1) 1 (1AAAai5单利和复利n单利单利：只在本金上生息n设第t年实际利率it，1年末的累积额为:n n第2年末的累积额为:n当各年利率均为i时，有itta1)()1)(0()0()0() 1 (11iAiAAA1212(2)(0)(1)(0)(0)(1)AAiAiAii)1)(0()(itAtA6单利和复利n复利复利：在本金和利息上生息n设第t年实际利率it，1年末的累积额为:n n第2年末的累积额为:n当各年利率均为i时，有)1)(0()0()0() 1 (11iAiAAA)1)(1)(0()1)(0()1)(

3、0()2(21211iiAiiAiAAniAnA)1)(0()(tita)1 ()(7现值和贴现率8现值和贴现率n在复利下，tti)1 (19现值和贴现率n在单利下，10现值和贴现率n贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率。 d表示一年的贴现率: dn表示第n年贴现率: iiiiaaAAAd1111) 1 (1) 1 () 1 ()0() 1 ()() 1()()() 1()(nanananAnAnAdn11iiiiiaad111)1 () 1 (1) 1 (iiid11111ddi1可见， di现值和贴现率12现值和贴现率13现值和贴现率14名义利率与名义

4、贴现率n名义利率:一年结算多次的规定的年利率。 以 表示，m表示结算次数， )(mimmmii11)(15名义利率与名义贴现率n名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。 以 表示，m表示结算次数， ()mdid111mmmdd1 1)(16利息力n利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。 定义利息力为，)1ln(11)1 (lim 11 limlim11)(imiimimmmmmmie 1故， e17年金n年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式。 n期首付年金n期末付年金18期首付年金现值1321nna 11n=dn1=19期末付年金现值nna321)1 (n=in1=20期

5、首付年金终值(1)(1)1nnnnsaiid21期末付年金终值nnnias)1(nnii)1 (1iin1)1 (22等额确定年金的终值和现值n年定期的每年1单位元期首付年金、期末付年金的现值和终值间关系图 23一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金现值，以 表示，()1/2/(1) (1)/1/()11111111mmmnmmnnmnmammmmmd )(mna 24一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金现值以 表示，)(mna()1/2/()1111mmmnnnmammmi25一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年

6、收付m次，每次1/m 元的期首付年金在n 年末的终值为，()()1nmmnsd26一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金在n 年末的终值为，()()1nmmnsi27永续年金 定义：收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无穷大时的值。 每年一元期末付永续年金现值为， iaann1lim28永续年金daann1lim )()(1mmia )()(1mmda 其他永续年金现值为： 29变额年金变额年金是每次收付额不等的年金常见的有，n每次收付额等差递增或递减n每次收付额等比递增30变额递增年金如果在n年定期内，第一年末

7、收付1单位元，第2年末收付2单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现值以 表示。 （nIa)23()23nnIan 31变额递增年金21(1) ()1 23nniIan 21()1nnnnniIanan inaIannn )(dnaaInnn )(两者相减后得代入上式后得 上述年金期首付时，年金现值为32变额递减年金当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的n年定期递减的期末付年金为， ianDann)(上述定期递减年金在期首付时，为 iainaDnn )1 ()( 变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积 33等比递增年金对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付

8、额每年递增j比例，n年定期的年金现值为：2211211(1)(1)(1)(1)11111nnnnPVjjjjPVdiijdiij 设， 上 式 成 为 ：其 中 ，34等额分期偿还n等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内每次偿还相等数额的还款方式。n每次偿还金额为n第k 期末的未偿还本金余额 贷款本金是B0 ，是Bk,还款期限为n 年，每年末还款，年实际利率为i 35等额分期偿还表 时期时期 付款金额付款金额 支付利息支付利息 偿还本金偿还本金 未偿还贷款未偿还贷款余额余额 0 1 R R(1-vn)Rvnk R R(1-vn-k+1) Rvn-k+1 n R R(1-v) Rv0 总计总计

9、 nR innRRainRa1inRain kRa0inRaB36变额分期偿还n变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。 原始贷款金额为B0 ，第k 期偿还的金额为Rk （k=1，2， ,n）37例 2.26一笔金额为nR 元的贷款，年利率为i ，期限为n 年，每年偿还R 元本金，其分期偿还表如下： 时期时期 付款金额付款金额 支付利息支付利息 偿还本金偿还本金 未偿还贷款未偿还贷款余额余额 0 nR1 R (1+in)inRR(n-1)Rk R 1+i(n-k+1) i(n-k+1)R R(n-k)R n R (1+i)iR R0 总计总计 nR +i n(n+1)/2 i n(n+1)

10、/2 nR38偿债基金n偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期偿还贷款的利息，同时为了能够在贷款期末一次性偿还贷款的本金，定期向一个“基金”供款，使该“基金”在贷款期末的积累值正好等于贷款本金。这一基金称为偿债基金，其基金累计的利率与贷款利率可能相等，也可能不等。39等额偿债基金n等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金额相等，设为D ，如果该偿债基金每期的利率恒为j，n 为贷款期限，当期支付的利息设为I，则借款人每期支付总金额为：n假设偿债基金的利率与贷款利率相等，即j =i ，则借款人每期支付总金额为，40变额偿债基金n设原始贷款本金为B0 ，贷款利率为i ，偿债基金利率为j ，借

11、款人在第k 期末支付的总金额为Rk （k=1，2， ，n），则，第k 期末向偿债基金的储蓄额为(Rk iB0)，偿债基金在第n 期末的累积值等于原始贷款本金B0 ，即，n当i= j时，41债券价值n按利息的支付方式，债券可分为零息债券和附息债券两种。零息债券在债券到期前不支付利息，而是在债券到期时随本金一次性支付所累计的利息。附息债券由发行人在到期日前定期支付利息，投资者可定期获得固定的息票收入。n债券定价原理：债券定价原理：债券的理论价格就是债券未来息票收入的现值和到期偿还值的现值之和。n基本符号和概念：基本符号和概念：P债券的理论价格； i投资者要求的收益率或市场利率；F债券的面值；C债券的偿还值；r债券的息票率；rF每期