chapter矩阵的初等变换与标准形,矩阵的秩

1、教学要求：教学要求：1. 掌握矩阵的初等变换掌握矩阵的初等变换;2. 了解矩阵等价的概念，了解初等矩阵的性质了解矩阵等价的概念，了解初等矩阵的性质;3. 掌握用初等变换求逆矩阵的方法掌握用初等变换求逆矩阵的方法;4. 了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩.矩矩阵阵的的初初等等变变换换一一 .矩阵的标准形矩阵的标准形二二 . .初初等等矩矩阵阵三三 .关系关系可逆矩阵与初等矩阵的可逆矩阵与初等矩阵的四四 .求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法五五 .矩阵的秩矩阵的秩六六矩矩阵阵的的初初等等变变换换一一 .定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

2、 ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称为统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换

3、成换成“c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或 312120121201 A如如 13122rrrr 432004101201 232rrB 4110004101201.010000100001C 定义定义3.3. 等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA 等价关系的性质：等价关系的性质：；反反身身性性）（A A 1; , 2ABBA 则则若若对对称称性性）（C. AC,B,BA 则 3若若）传传递递性性（矩阵的标

4、准形矩阵的标准形二二 . 320002010021121 ,000010001210 ,300120101都都是是阶阶梯梯形形矩矩阵阵 阶梯形矩阵的特点：阶梯形矩阵的特点：(1)可划出一条阶梯线，可划出一条阶梯线，线的下方全为零；线的下方全为零； 00000310003011040101(2)每个台阶只有一行每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.65301304231130213210 ,. 1 Aex其中其中化矩阵为阶梯形化矩阵为阶梯形Solu

5、tion. 41rrA 13210304231130265301 131232rrrr 1321015155201399006530142rr 13990015155201321065301 232rr 1399001399001321065301 00000139900132106530134rr(阶梯形矩阵阶梯形矩阵) 00000001000001000001列变换列变换(标准形标准形)定义定义4. 000000000000001000000010000001 OOOEIr形形如如的矩阵，称为标准形矩阵的矩阵，称为标准形矩阵.定理定理1. 任何矩阵任何矩阵A可以只用初等行变换化成阶梯形矩阵

6、可以只用初等行变换化成阶梯形矩阵.定理定理2. 任何矩阵任何矩阵A可以用初等变换化成标准形矩阵可以用初等变换化成标准形矩阵.定理定理3. 初等变换不改变方阵的可逆性与不可逆性初等变换不改变方阵的可逆性与不可逆性.定理定理4. .EAAn 可可逆逆阶阶方方阵阵 .初初等等矩矩阵阵三三定义定义5 5 由单位矩阵由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. .注意：注意： (1) 初等矩阵都是方阵；初等矩阵都是方阵；(2) 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵:三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三

7、种初等方阵. 行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一以以数数乘乘某某行行或或某某列列；以以数数对对调调两两行行或或两两列列；kk. 30. 2. 1 )(,，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调jirrjiE 1 对调两行或两列对调两行或两列、 1101111011),(jiE行行第第i行行第第 j1),( jiE，得得左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用nmijmaAjiEm )(),( 1101111011),(AjiEm mnmmjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211 mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE212

8、12111211),(行行第第i行行第第 j).( jirrjiAA行行对对调调行行与与第第的的第第把把：施施行行第第一一种种初初等等行行变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列列对对调调列列与与第第的的第第把把：施施行行第第一一种种初初等等列列变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵 02乘乘某某行行或或某某列列、以以数数 k).()(0 kiEkriki矩矩阵阵，得得初初等等行行乘乘单单位位矩矩阵阵的的第第以以数数 1

9、111)(kkiE行行第第ikkiE )(，左乘矩阵左乘矩阵以以AkiEm)( 1111)(kAkiEm miAAA1 mnmminiinaaakakakaaaa212111211行行第第i；行行的的第第乘乘相相当当于于以以数数)(kriAki ).( )(kciAkAkiEin 列列的第的第乘乘相当于以数相当于以数，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以数数)()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(,(kkjiE行行第第i行

10、行第第j1)(,( kjiE，左左乘乘矩矩阵阵以以AkjiEm)(,( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkjiE2121221111211)(,().(jikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第相相当当于于把把 ).()(,(jinkccikjAAkjiE 列上列上加到第加到第列乘列乘的第的第把把，其结果相当于，其结果相当于右乘矩阵右乘矩阵类似地，以类似地，以 mnmjmjmimnjjinjjinaakaaaaakaaaaakaaakjiAE1222221111111)(,( 定理定理5 5 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行

11、一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA注意：注意：初等矩阵还是可逆的，且逆矩阵还是初等矩阵初等矩阵还是可逆的，且逆矩阵还是初等矩阵.)(,()(,( ,)1()( ,),(),(EkjiEkjiEEkiEkiEEjiEjiE .关系关系可逆矩阵与初等矩阵的可逆矩阵与初等矩阵的四四定理定理6.阵的乘积阵的乘积可表示成有限个初等矩可表示成有限个初等矩可逆可逆矩阵矩阵AA证：证：,可可逆逆若

12、若A,EA 则则即即A可经过一系列初等行列变换化成单位矩阵可经过一系列初等行列变换化成单位矩阵. ,;,11使使故存在初等矩阵故存在初等矩阵srQQPP ,11EQAQPPsr .111111 QQPPAsr ,11为为初初等等矩矩阵阵其其中中若若ttRRRRA , 0 1 tRRA则则.可逆可逆所以所以A定理定理7.可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵.证：证：因为因为A可逆，可逆， ,11为为初初等等矩矩阵阵其其中中mmQQQQA . 111EAQQm 则则有有同理同理，可逆矩阵总可以经过一系列初等列变换化成单位矩阵可逆矩阵总可以经过

13、一系列初等列变换化成单位矩阵.定理定理8. BPAQQnPmBAnm 使得使得阶可逆矩阵阶可逆矩阵与与矩阵矩阵阶可逆阶可逆存在存在等价等价与与阶矩阵阶矩阵证：证：,等价等价与与BA则则A可经过有限次的初等行、列变换得到可经过有限次的初等行、列变换得到B， ,;,11使得使得即存在初等矩阵即存在初等矩阵srQQPP ,11BQAQPPsr ,11srQQQPPP 令令. , BPAQQP 且且可可逆逆则则, , BPAQQP 且且可逆可逆则则P，Q可表示成有限个初等矩阵的乘积，可表示成有限个初等矩阵的乘积，即即A可经过有限次的初等行、列变换得到可经过有限次的初等行、列变换得到B，所以所以A与与B

14、等价等价. .求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法五五 ,11为初等矩阵为初等矩阵其中其中则则可逆可逆若若mmQQQQAA . 111EAQQm 则则有有 1111 QQAm且且 . 1111 AEQQm即即 ).,(),(1111 AEEAQQm注意注意: (1). )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对(2) 用初等行变换法求逆矩阵不必事先知道逆矩阵用初等行变换法求逆矩阵不必事先知道逆矩阵 存在，可在求逆矩阵的过程中作出判断存在，可在求逆矩阵的过程中作出判断. ,343122321 21 AAex求求设设 Solut

15、ion. 103620012520001321 100343010122001321EA21rr 23rr 122rr 133rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r.)( ,52031000221 . 31*1 AAAAex求求已知已知Solution.,41)1210()21(3 A,251023210001 A而而,2406100001 1 A,41*EEAAA 又

16、又,)4(*EAA 即即AA4)(1* .1040620004 .3)2()2( 23 ),()1( .31,3. 4*13112321AAAAAAAAAAAAAex 求求计计算算按按列列分分块块为为将将且且阶阶方方阵阵为为设设Solution. 311223 )1(AAAA311312232AAAAAA .322 A., 031 )2(可可逆逆AA 11*13213)2( AAAAA1121 AA123 A.881)23(13 A . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行

17、变换ex5.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵Solution.1BAXA 可可逆逆，则则若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr .矩阵的秩矩阵的秩六六定义：定义：矩阵矩阵A中不等于中不等于0的子式的最高阶数，称为矩的子式的最高阶数，称为矩阵阵A的秩，记

18、为的秩，记为r(A)或或rank(A).注意：注意：(1) 零矩阵的秩为零矩阵的秩为0;(2) 若若n阶方阵阶方阵A的秩为的秩为n，则，则A为满秩方阵；为满秩方阵； 否则为降秩方阵否则为降秩方阵;(3) 可逆方阵为满秩方阵；可逆方阵为满秩方阵；(4) 若若A中所有中所有r+1阶子式都为阶子式都为0，则高于，则高于r+1阶的子式阶的子式 也必然都是也必然都是0.结论结论1. 设矩阵设矩阵A中有一个中有一个r阶子式阶子式D 0，而，而所有包含所有包含D的的 r+1阶子式全为阶子式全为0，则，则A中所有中所有r+1阶子式全为阶子式全为0， 从而从而r(A)=r.结论结论2. 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩.结论结论3. 矩阵矩阵A的标准形是唯一的的标准形是唯一的.结论结论4. ).()(,BrArBABA 是同型矩阵是同型矩阵设设初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成阶梯形矩阵，阶梯把矩阵用初等行变换变成阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.的的秩秩