中考专题复习—反比例函数

1、数学：运动变化型问题专题复习(苏科版九年级)【考点导航】运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大， 题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题 的热点题型之一，常以压轴题的面目出现.解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等 式、函数模型.【答题锦囊】例1 如图在Rt ABO, / C= 90° , AG= 12, BG= 16,动点P从点A出发沿AC边向

2、 点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P, Q分别从点A, C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动. 在 运动过程中， PC展于直线PQ对称的图形是 PDQ设运动时间为t (秒).(1)设四边形PCQDJ面积为y,求y与t的函数关系式；(2) t为何值时，四边形 PQBAI梯形？(3)是否存在时刻t ,使得PD/ AB若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t,使得PDL AR若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0wtw1； 1vtw2; 2vtw3; 3vtw4)

3、;若不存在，【思路点拨】A州呀DQ AB,依据题意,QQCA积 y=2SAPCQ 考虑到 CQ= 4t ,A所以四边形P(P酒寸，有PQ/ AB,于B请简要说明理由.因为关于直线对称的两个三角耳要判定四边形PQBA1梯形,PC= 12-3t,可建立y与t的函I4t一；16一 、一 12 3t是可列方程12712第(3)、(4)小题是存在性探索题，先假设存在符合条件的结论，然后从假设出发利用 相似三角形的性质列方程进行求解.【标准解答】由题意知 CQ= 4t, PC= 12-3t,1 一 2 Sa pcq = -PC CQ 6t224t2,. PCQf PDQ于直线PQ对称,y=2& P

4、CQ12t2 48t.当CP CACA=12,12 3t12PQBAi梯形,CQ .隽时，有PQ/ AB,而AP与BQ不平行，这时四边形 CBCB=16, CQ= 4t, CP= 123t ,4t4,解得 t = 2.16，当t=2秒时，四边形 PQB罐梯形.设存在时刻t,使得PD/ AB,延长PD交BC于点M如图1,若 PD/ AB 则 / QMDZ B,又. / QDMIZ C=90° , RtAQMD RtAAB(C从而QM QD,AB AC. QDCQ：4t, AC= 12,AB= 122 16220,若PD/ AB则CP CMCA CB若能，求出此时长，所以x y 9的周,

5、再设法列方程组求解.(1)求y与x的函数关系式，并求出 x, y的取值范围；(2)当PQ / AC时，求x, y的值；(3)当P不在BC边上时，线段 PQ能否平分梯形 ABCD的面积? 值；若不能，说明理由.【思路点拨】作梯形ABCD204t t/曰 12 3t3 t得3-,1216'12解得t =上.1112，当t=养秒时，PD/ AB(4)存在时刻t ,使得PDL AB时间段为：2vtw3.例 2 如图 2,直角梯形 ABCD 中，AB / CD, / A=90°, AB=6 , AD=4 , DC=3 ,动点 P从点A出发，沿A-D-C-B方向移动，动点 Q从点A出发，

6、在AB边上移动.设点动的路程为x,点Q移动的路程为y,线段PQ平分梯形ABCD的周长.过 C 作 CE，AB 于 E ,贝U CD=AE=3图 CE=4 ,可得 BC=5 , 所以梯形 ABCD的周长为18.PQ平分ABCD的周长，因为0 w y W 6 ,所以3< x< 9 , 所求关系式为：y x 9,3<x<9.依题意，P只能在BC边上，7wxw9.PB 12 x, BQ 6 y, PQ / AC ,ABPQ BCA ,BP BQBC 函，加 12 x 6 y即,即 6x 5y 42 ,56x y 9,8712解方程组得x ，y .6x 5y 421111梯形AB

7、CD的面积为18.当P不在BC边上，则3< x< 7,1(a)当 3Wx 4 时，P 在 AD 边上，SA APQ -xy - z1 /Al 32 J如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有 gxy 9.可得：x y 9, xy 18.x 3. 一 一.解得 (x 6, y 3舍去).y 6;1、(b)当 40 x 0 7时，点 P 在 DC 边上，此时 Sadpq - 4(x 4 y).1如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有-4(x 4 y) 9,x可得C2xy 9,2y此方程组无解.17.(1)因为P点是切点，所以无论线段 AB发生怎样的变偌; 终是OP .抓住这一点，

8、易得线段AB长的最小值；(2行四边形有三种可能，但只有两种可能符合条件.；、P O到直线AB的距离始 、O、A、P为顶点的平x所以当x 3时，线段PQ能平分梯形 ABCD的面积.例3 如图3,在平面直角坐标系中，以坐标原点 。为圆心，2为半径画。O, P是 。上一动点，且P在第一象限内，过点P作。的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于 点B.(1)点P在运动时，线段 AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；(2)在。上是否存在一点 Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】【标准解答】（1）线段AB长度的

9、最小值为4,理由如下：连接OP因为AB切。于P,所以OPLAB,取AB的中点C,则 AB 2OC .当OC OP时，OC最短，即AB最短，此时 AB 4 .（2）设存在符合条件的点 Q,如图4,设四边形APOQ为平行四边形，则四边形 APOQ为矩形.又因为OP OQ ,所以四边形 APOQ为正方形，所以 OQ QA, QOA 45 ,在 RtA OQA 中,根据OQ 2, AOQ 45 ,得Q点坐标为（J2, J2）.如图，设四边形APQO；平行四边形.因为 OQ/PA, APO 90 ,所以 POQ 90 ,又因为OP OQ ,所以 PQO 45 ,因为PQ / OA,所以PQ y轴.设PQ

10、 y轴于点H,在RtA OHQ中,根据OQ 2, HQO 45，得Q点坐标为（J2,d2）.所以符合条件的点 Q的坐标为（J2, J2）或（无,收）.例4 如图7，一张三角形纸片 ABC / ACB=90 ,AC=8,BC=6.沿斜边 AB的中线 CD把这张纸片剪成 AC1D1和 BC2D2两个三角形（如图7所示）.将纸片 AC1D1沿直线D2B （AB）方向平移（点 A.DDB始终在同一直线上）,当点Di于点B重合时，停止平移.在平移过程中，CD与BG交于点E, AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.当AG）平移到如图7所示的位置时，猜想图中的DiE与D2F的数量关系，并证明你的猜想;设

11、平移距离 D2D1为x, AC1D1与 BC2D2重叠部分面积为 y,请写出y与x的函 数关系式，以及自变量的取值范围；对于（2）中的结论是否存在这样的 x的值，使重叠部分的面积等于原ABC面积的1 ,-.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.4AD）=GD=C2D2=BD2,所以AD2=BD,因为 ADG和 BD2C2是等腰三角形，所以4ADF和BDE也是等腰三角形. AC1D1与 BC2D2重叠部分是一个不规则的几何图形， 因此将它转化 成规则图形.探究其中的数量关系， 建立y与x的函数模型.在的基础上，将之转化成方 程问题. D1E D2F .因为 C1D1/ C2D2，所以 C1AF

12、D2.又因为 ACB 90 , CD是斜边上的中线，所以 DC DA DB ,即 C1D1 C2D2 BD2 AD1所以，C1A,所以 AFD2 A所以，.同理：.又因为，所以.所以因为在中，所以由勾股定理，得即又因为，所以.所以在中，到的距离就是的边上的高，为 .设 BEDi的BDi边上的高为h,由探究，得BC2D2s BED1,所以24 5所以 h 24(5 x).25又因为 CC2 90 ,所以 FPC2 90 .又因为 C2b , sin b 4,cosB 3.55所以 PC2 3x,PF -x ， 55而 y Sbcd2 SbedSFCP所以y18 2x251 Sabc 12(5 x

13、)222524x(0 x56 2 x 255).1 一(3)存在.当y Sabc时, 418 2 x2524 x55整理，得 3x 20x 25 0.解得，X ,x2 5.351即当x 或x 5时，重叠部分的面积等于原ABC面积的一.34【中考预测】A与点E重L如图8，有两个形状完全相同的直角三角形ABC EFG叠放在一起(点合)，已知 AC= 8cm, BC= 6cm, Z C= 90° , EG= 4cm, / EG已90° ,。是4EFG斜边上的 中点.如图8，若整个 EFG从图的位置出发，以 1cm/s的速度沿射线 AB方向平移，在 EFG平移的同时，点 P从4EF

14、G的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边 GF上向点F运 动，当点P到达点F时，点P停止运动, EFG也随之停止平移.设运动时间为 x (s), FG 的延长线交AC于H,四边形OAHP勺面积为y (cmf)(不考虑点P与G F重合的情况).(1)当x为何值时，OP/ AC(2)求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.(3)是否存在某一时刻， 使四边形OAH而积与 ABC面积的比为13 ： 24?若存在，求 出x的值；若不存在，说明理由.(参考数据：1142 = 12996, 1152 =13225, 1162 = 13456 或 =, =, =)2.如图 9 ,在平面直角坐标系

15、中，两个函数1 y -x26的图象交于点A.动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作AB的解析式；(2)若S梯形OBCD= -,求点C的坐标;3y=x,图8PQ x y 3 3 x (1)求直线(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与 OBAf似.若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.4.如图11,在锐角ZXABC中, 边上的任意一点，过点D作x(0 x 6),以DE为折线将 ADE翻折，所得的 A DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y (点A关于DE的对称点A落在AH所在的直线上).(1)分别求出当0 x<3与3 x 6时

16、，y与x的函数关系式;(2)当x取何值时，y的值最大？最大值是多少?5.如图 12,在 ABC 中，/ C=900, AC=4cm /Bq=5cm，点 D 在 BC 上，且 CD=现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发Kcm ,/ BC交AD于点P以1cm/s的速度，沿C移动；点Q以s的速度沿BC向终点C移动.过点P作 动点运动时间为x秒.(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;(2)当点Q在BD (不包括点B、D)上移动时，设EDQ的面积为y(cm2)，求y与月份X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围;? T"P(3)当x为何值时，EDQ为直角三角形.6.如图13,在平 面

17、直角 坐标系中，已知 点A(0,4j3)，点B在x正#W上Z ABO 30°.动点P在线段AB上从点A向点B以每秒J3个单位而速度公J E设运动时间为t秒.在x轴上取两点 M , N作等边ZXPMN .(1)求直线AB的解析式；(2)求等边4PMN的边长(用t的代数式表示B ,并鄱Q等边DAPMN的顶点图12动到与原点O重合时t的值;(3)如果取OB的中点D ,以OD为边在RtzXAOB内部作如图14所示的矩形ODCE , 点C在线段 AB上.设等边 4PMN和矩形 ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0 0 t 0 2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值.7.如图 15,已知

18、Rtz ABC 中，CAB连接BE交AC于点P .(1)(2)(3) 为圆心，求PA的长；以点A为圆心，AP为半径作。A,30°, B且 AE155 ,过点A作AE ±试判断曲E3W。A是否相切，粥兑4理由;如图16,过点C作CD，AE ,垂足为D .以点A为圆心，r为半径作O A；以点CR为半径作。C.若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持。A和。C相图15图16切，且使D点在。A的内部，B点在。A的外部，求r和R的变化范围.8.已知抛物线y ax2(1)求抛物线的解析式;(2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动白动圆，问。 P在运动过程中，是否存在 OP与坐标

19、轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若。Q的半径为r,点Q在抛物线上、O Q与两坐轴都相切时求半径 r的值.9.如图17,在平面直角坐标系中，点 P从点A开始沿x轴向点。以1cm/s的速度移动, 点Q从点O开始沿y轴向点B以2cm/ s的速度移动，且 OA=6cm OB=12cm如果P, Q分别 从A,。同时出发.设 POQ勺面积等于y,运动时间为x,写出y与x之间的函数关系，并求出面积的最大 值；几秒后 POQW4AOB相似；几秒后以PQ为直径的圆与直线 AB相切.10.如图 18,在等腰梯形 ABCD43, AB/ DC AB= 8cm, CD= 2cm,

20、 AD= 6cm.点P从点A出发，以2cm/s的速度沿 AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD时,DA向终点A运动(P、Q两点中，有一个点运动到终点所有运动即终止).设P、Q同时出发并运动了 t秒.(1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角才!形时，求 t的值;BQ(2)试问是否存在这样的t ,使四边形PBCQ勺面积是梯形ABCD面积的一半若存在，求出这样的 存在，请说明理由。参考答案t的值，若不6 1P图171. ( 1) RtAEFG Rt ABC ,EG FG 4 FG-,-ACFG=BC 4 6 :8=3cm.当P为FG的中点时,OF3/ AC.OP/ EG , EG/

21、 AC ,53= ( s). 当 x 为时，OP/ AC .(2)在RtEFG中，由勾股定理得：EF = 5cm EG/ AH , . EFS AFH .EGEFFGAH4AF5AHAH=x 54 .一(x5FH3FH3+ 5) , FH= (x+ 5).过点。作OD± FP ,垂足为D .点。为EF中点，1 、- . OtD= EG= 2cm2. FP= 3-x ,一S 四边形 OAHP = S/AFH - SaOFP1 八- AH- FH OD- FP2_3_1 一 一(x+5), (x + 5) X2X(3 x)x2 +25"x+35(0<x<3).(3)

22、假设存在某一时刻x,-13、，c则 S 四边形 OAHP= X Sa ABC使得四边形 OAHF®积与 ABC面积的比为13 : 24.旦x2 +2517°x+ 3 =513 x24 6x2+85x250 = 0解得 x 1 = , x 2=20<x< 3,50（舍去）.s)时,四边形OAHF®积与 ABC面积的比为13： 24.y2. ( 1)由yx1 ，可得x6 y2.A (4, 4)。(2)点 P在 y=x 上，OP=t, 2，. 2则点P坐标为（t,t）22点Q的纵坐标为t ,并且点Q在y221t-x6,x 12 .2t .22点Q的坐标为（P

23、Q 12 322 t当 12 3i!t fit时，t 34222当0 t 3J2时，S =4(12 3-21)-t2 6 2t.222-当点P到达A点时，t 4<2 .当3 a t 4在时，S (12 返t)2 9t2 36j2t 144(3)有最大值，最大值应在220 t 3衣中，当t 272时，S的最大值为12.(4) t 12但. 33. (1)直线AB斛析式为：y= x+ 3 3 .(2)方法一：3设点C坐标为(x, x+<3 ),3那么。&x, CD= -x+/3 ._ OB CD CD一 S梯形 OBCD 二2=x2 J3 .6由题意：x2 <3 =413

24、,63解得x1 2,x2 4 (舍去)./ & C ( 2).3方法二：13 3S aob -OA OB2S Acd<36由OR得/ BAO=30 , AD,；写 CD1一 S acd = CDX AD=2<32 V3CD =26V3AD=1 , OD= 2 . C ( 2 , ).3(3)当/ OB2Rt/时，如图若 BOFA OBA则/ BOR=Z BAO=30 , BP'3 OB=3, Pi (3,若 BPQA OBA贝U/ BPQ=Z BAO=30,OP=OB=1.3- P2 (1, <3 ).当 Z OPB= Rt Z 时 过点P作OPLBC于点P(

25、如图)，此时 PBA OBA Z BOP=Z BAO 30 ° 过点P作PIVLOA于点M方法 t 1在 RQPBO 中，B一OB= 2<32，O 之 3 BF -.2在 RtPMO中, OMk 1oP= 3 ;运）/ OP附 30° ,方法二：设P4. ( 1)当0 分为zAEDDEAFDEBC即DEAH '3 x2又 Q FA FA3 2y 4x2(0x< 3)-3x+ V3 ),3* 3x+ 33由/ BOP= / BAO得 / PO璃 / ABOPM x 3 . tan / POM=3OM xOA 一 tan / ABOC=<3 .OB3x

26、+玉3 = N3 x,解得3,一，3此时，P3 （-,4若 PO/ OBA依口图),则/ OBPh BAO= 30° , / PO附 30° .3 P4( _4x03时，由折叠得到的 4AED落在4ABC内部如图（1）,重叠部当3 x 6时，由折叠得到的 4AED有一部分落在 4ABC外，如图(2),重叠部分为梯形EDPQ又Q DE / PQ 3 o3o27(2)当0 X03时，y的最大值：y1 -x2-32；444当3 x 6时，由 y9x2 18x 279(x 4)2 944可知：当x 4时，y的最大值：y2 9Q yi y2,当x 4时，y有最大值：y最大9 .5.

27、( 1)在 Rt ADC中,AC 4,CD 3,(2) Q BC 5,CD 3, BD当点Q在BD上运动x秒后，DQ= 2-,则1 15 2y -DQCP-(4x)(2 1.25)-x22 28其中自变量的取值范围是：0vx<(3)分两种情况讨论:当 EQD Rt时,当 QED Rt时，综上所述，当x为秒或秒时，EDQ为直角三角形。6. ( 1)直线AB的解析式为：y x 4也. 3(2)方法一，Q AOB 900, ABO 300,AB 2OA 8、3 ,Q AP 石，BP 873 & ,QAPMN是等边三角形，MPB 900,八PMQ tan PBM ， PBPM (8眄 V

28、3t)旦 8t. 3方法二，如图1,过P分另iJ作PQ y轴于Q , PS x轴于S,可求得AQ - AP -3t , 22-CPS QO 4.3 2PM4 石互8 t ,22当点M与点O重合时，Q BAO 60°,AO 2AP .4 73 2内，t 2 .(3)当00t 01时，见图2.设PN交EC于点H ,重叠部分为直角梯形 EONG,作GH OB于H .Q GNH 60°, GH 2石，HN 2,Q PM 8 t,BM 16 2t,QOB 12,ON (8 t) (16 2t 12) 4 t ,OH ON HN 4t 2 2 t EG,S 1(2 t 4 t) 2&g

29、t;/3 2 而 673-QS随t的增大而增大，当t 1时，“大8m.当1 t 2时，见图3.设PM交EC于点I ,交EO于点F , PN交EC于点G , 重叠部分为五边形 OFIGN .方法一，作GH OB于H ,Q FO 4君2亚,EF 2曲(4节2蜴)2向 273 ,（图3）（图4）EI 2t 2,S SongESfei 道 63 2(2 2)(3 213) 23 63 43-方法二，由题意可得MO 4 2t ,OF (4 2t) V3 , PC 4眄 73t ,PI 4 t ,SA PMN '（8 t）2， SA PIG 理（4 t）2442收 673t 4收3Q 2石0, 当

30、t 时，S有最大值， 2当t 2时，MP MN 6,即N与D 设PM交EC于点I , PD交EC于点G ,S 祗 6222 8H44综上所述：当00t&1时，S 2育6通；当1 t 2时，S2病 673t 4汽；再计算 Sa fmo 2(4 2t)23重合，重叠部分为等腰梯形IMNG ,见图4.当 t 2 时，S 8，3.S的最大值是17、327. ( 1) Q 在 Rtz ABC 中,CAB 30°, BC5,AC 2BC 10.Q AE / BC, APEs"pb .PA: PC AE: BC3:1PA: AC 3:4,PA3 10415万(2) BE与。A相切

31、.Q 在 RtAABE 中，AB 5忠,AE15,AE tan ABEAB155,3ABE60°.Q PABABEPABo90 ，APB90°BE与。A相切.(3)因为AD 5,AB5M ,所以r的变化范围为5 r当。A与。C外切时,10,所以R的变化范围为10 5 阴 R 5；当。A与。C内切时,10,所以R的变化范围为15 R 10 5J3.& (1)由题意，得c3bb 4解得c 5抛物线的解析式为x24x 5(如图1)(2)当。P在运动过程中，存在。 P与坐标轴相切的情况。设点P坐标为(x 0则当。P与y轴相切时，有|x0| 1, x0由 x01,得 y0 12 4 1 5 10Pi (1, 10),由 x0 1 ,得 yo 12 4 1 5 2P2 (1, 2)当。P与x轴相切时有|y01 1抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方。y0=1由 y0 1 ,得 x0 4x0 5 1 ,解得 y0 2 , B (2, 1)综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：P1