全国中学生物理竞赛真题汇编光学参考答案

1、1.参考解答全国中学生物理竞赛真题汇编光学参考答案3 / 30图荡解19-5由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴平行。由S射向Li光心的光线的光路图如图预解19-5所示。由对称性可知i2由几何关系得1 i260由图可见ii1 又从FSQ的边角关系得tan y / f 代入数值得arctan(14.3/30.0) 25.49 由、与式得1 30 , i155.49根据折射定律，求得sin i1sin r11.65 评分标准：本题20分1 .图预解19-5的光路图4分。未说明这是两个左右对称性的结果只给2分。2 .、式各给 2分，式给3分

2、，式给1分，式给4分。3 .把酒杯放平，分析成像问题。1 .未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为ni和桎=1。在图1中，呐画片中心，由P发出经过球心C的光线PCM过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PCM 角的另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i ,折射角为r,半径CATPO勺夹角为，由折射定律和几何关系可得nisin i = rbsin r （1）=i + （2）在APA伸，由正弦定理，有R sin 考虑近轴光线成像,PC sin i、i、r都是小角度，则有no(5)R . =i PC由（2）、（ 4）、（ 5）式、n。、ni、R勺数彳1 及 PC PO CO 4.8cnW得=

3、 1.31 i （6）r = 1.56i 由（6）、 （ 7）式有r （8）由上式及图1可知，折射线将与PO长线相交于P, P即为P点的实像.画面将成实像于 P处。在4CA叶，由正弦定理有RsinCPsin r(9)(11)(13)又有 r= +（10）考虑到是近轴光线，由（9）、 （ 10 ）式可得 r CP Rr又有OP CP R (12)由以上各式并代入数据，可得OP 7.9 cm由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O岚7.9 cm处。已知Oi11杯口平面的距离为 8.0cm,当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。2 .斟酒后，杯底凸球面两侧

4、介质分别为玻璃和酒，折射率分别为m和亮，如图2所示，考虑到近轴光线有n1 .r i （14） 血代入巾和n2的值，可得r = 1.16i (15)与(6)式比较，可知 r ac 时，即 sina osina c=cosi-即& =戈- 5可万时，或nAsinaJd 一成时，由点o发出的光束中，只有a i c的条件，才能射向端面，此时出射端面处a的最大值为 a m a x = a c = 90 i c .若a0ac,即nAsinaoV ,题/时，则由点。发出的光线都能满足ii c的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处a的最大值为a max = a o.端面处入射角 a最大时，折射角 0也达最大

5、值，设为 0 max ,由式可知 n f s i n 0 max = n as i na max .由、式可得，当 aoVac时，有 nF=n as i na o/sin。max, 当aoac时，由至式可得， nF=nACOS i c/sin。max= /sin。max, Omax的数值可由图11上的几何关系求得 S i n 0 max= ( d 2 d 1) /2) /加为一司)/2如一也)(10)于是当a o a c时，n f的表达式应为n f= n a s i n a o ( 2十(用 1)/ ( d2di)/2),(11)当 aoRac 时，有n f= J瘾瘾（一出）/2十他-/（ d

6、2-di）/2）.（12）2 .可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得h 1 、h 2,、d J、d 2,，这里打撇的量与前面未打 撇的量意义相同.已知空气的折射率等于1,故有当 a o V a c时，有1= n a s i n a o ）一的引- 瓦）/ （ d 2， d/）/ 2）,（13）当ac 时，有 1=瘾（4），2十陶一一尸 /（ d2，d/）/2）,（14）di ）/ （d2di）此结果适用于 a。为任何值将（11）、（12）两式分别与（13）、（14）式相除，均得 n f = （ （ d 2(15)小色-Q2l血-犷/4田一五”2产+3厘了 , /

7、 / ,的情况.7. 1.对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图复解18-1-1所示，图中C1为左端球面的球R n 1光线PF1射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心C2一定在端面顶点B的左方，C2B等于球面的半径 R2,如图复解18-1-1 .仿照上面对左端球面上折射的关系可得BF11 1R2(3)又有 BF1 L AF1 （4）由（2）、（3）、（4）式并代入数值可得& 5 cm （5）即右端为半径等于 5 cm的向外凸的球面.2.设从无限远处物点

8、射入的平行光线用、表示，令过 。，过A,如图复解18-1-2所示，则这两条光 线经左端球面折射后的相交点M ,即为左端球面对此无限远物点成的像点.现在求 M点的位置。在 AC1M中图复解1*13sin(1) sin 1 sin( 11)又 nsin 1 sin 1 已知1,1均为小角度，则有AMRi1(1 1)n(8)与（2）式比较可知， AM AF1 ,即M位于过F1垂直于主光轴的平面上.上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线.容易看出，从M射出C2的光线将沿原方向射出，这也就是过 M点的任意光线（包括光线、）从玻璃棒射出的平行光线的方向

9、。此方向与主光轴的夹角即为2 ,由图复18-1-2可得CF1 CF由（2）、（3）式可得AF1 R1BF1 r2则AF1 R1BF1 R2(9)R1R2RR22 (10)8 .利用焦点的性质，用作图法可求得小物PQ的像PQ ,如下图所示。9 / 30（1）用y和y分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得乂上(1)yf1v f2(u f1)(vf2)f1f2简化后即得物像距公式，即u , v , f1 , f2之间的关系式f1f2uV1 (2)（2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板,入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图复解19-5-2所示。图中1为入射角，2为与之相应的出射角，为平行板

10、中的光线与法线的夹角。设透镜的折射率为n,则由折射定律得n1 sin 1 nsinn2 sin 2 （3）对傍轴光线,2 1,得 sin 1n1, 、2 1 (4)n2（3）由物点Q射向中心O的入射线，经L折射后，出射线应射向Q ,如图复解19-5-3所示,:图复解19-5-2Qni个L |吊2图复解19-5-3u在傍轴的条件下，有y tan 1 u式相除并利用y1, 一 tan 2 v4)式，得2 (5)y uyvn1n2(6)用（1）式的y / y f(uf1）代入（6）式，得f1un1(u f1)v n2即f1n1uvn2u n1v用(1)式的y/y (v f2)/f2代入(6)式，得(

11、v f2)un1f2vn2即f2un2u nv从而得f1，f2, n1，n2之间关系式f2f1n2(9)n19 .图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为i和i ,折射光线与坐标轴的交点在P。令轴上OP的距离为x, MP的距离为1,根据折射定律，有sin isin in (1)在OMP中l2由式（1）和式（2）得x nl再由式（3）得lsiniR2sin i2x2Rxcosi (3)(R22x 2Rx cosi)设M点到Ox的距离为h ,有h Rsin iRcosiR2 R2 sin2i , R2h2R2x2

12、2x . R2h22xjR2h R2 0 (4)解式（4）可得n2 ；R2h2n R2 n2h2n2 1(5)为排除上式中应舍弃的解，令0,则x处应为玻璃半球在光轴 Ox上的傍轴焦点，由上式n(nn2 1n n -R或Rn 1 n 1由图可知，应有x R,故式（5）中应排除土号中的负号，所以 x应表示为x n2 R2 h；n R2 n2h2 n 1上式名出x随h变化的关系。h h0 ,其中折射光线与 Ox轴交点最远处因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有的坐标为Xon2jR2 h0 n,R2 n2h2 n2 1在轴上x 9处，无光线通过。随h增大，球面上入射角i增大，当i大

13、于临界角 匕时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角ic相应的光线有，JhC Rsin ic R- n这光线的折射线与轴线的交点处于n2R1!13 / 30xc2n 1在轴Ox上R XXc处没有折射光线通过。由以上分析可知，在轴 Ox上玻璃半球以右Xc XX0 (9)并指出在Ox轴上x X0处无光线通过，给 6分；得到式（9）并指出Ox上有光线段的位置，给 4分。10.1 .考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于 P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心 O、Q、Q的连线平行于3个光源的连线，Q位于z轴上，如图1所 示.图中MM表示组合透镜的平面,6、S2、S3为三

14、个光束中心光线与该平面的交点.S2O2 = u就是物距.根据透镜成像公式可解得12u L . L2 4fL2因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utanh即u 2h.在上式中取“一”号，代入f和L的值，算得(2)u (6 3尤)h = 1.757 h 此解满足上面的条件.分别作3个点光源与P点的连线.为使 3个点光源都能同时成像于 P点，3个透镜的光心。、Q、Q应分别位 于这3条连线上（如图1）.由几何关系知，有- - L u 11 O1O2 O2O3 h （2）h 0.854h（3）L 2 4即光心。的位置应在S1之下与S1的距离

15、为SO1 h O1O2 0.146h （4）同理，Q的位置应在S3之上与S3的距离为0.146 h处.由（3）式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于 0.854 h,才能使S、&、&都能成像于 P点.2.现在讨论如何把三个透镜 L1、L2、L3加工组装成组合透镜.因为三个透镜的半径 r = 0.75 h,将它们的光心分别放置到Q 0 Q处时，由于O1O2 =O2O3 =0.854 h2r,透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足（3）式的要求.由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况.图2图2画出了 L1、L2放在MM平面内时相互交叠的情况

16、（纸面为MM 平面）.图中C、C2表示L1、L2的边缘，S1、S2为光束中心光线与透镜 的交点，W、W分别为C、G与OQ的交点.&为圆心的圆1和以S2 （与。重合）为圆心的圆 2分别是光源 S和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为utan 0.439h（5）根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜.首先，圆 1的K 点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知O1k陌 0.439 0.146 h 0.585h r 0.75h （6）故从S发出的光束能全部进入 L1.为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分.下面举出一种对透镜进行加工

17、、组装的方法.在O和O之间作垂直于OO且分别与圆1和圆2相切的切线QQ和NN .若沿位于QQ和NN之间且与它们平行的任意直线 TT对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合 就得到符合所需组合透镜白上半部.同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将 L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜.这个组合透镜可以将S、Q、&发出的全部光线都会聚到 P点.现在计算QQ和NN的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件.设透镜L1被切去部分沿 OQ方向的长度为xi,透镜L2被切去部分沿 OO方向的长度为X2,如图2所示，则对任意一条切割线 TT , xi、X2

18、之和为2可看出，沿QQ切割时,（8）X1达最大值（X1M） , X2达最小值（X2m）,d X1 x2 2r O1O2 0.646h由于TT必须在QQ和NN之间，从图X1Mr S1O1 _代入r,和范的值，得X1M0.457h代入式，得X2m d X1M0.189h（9）由图2可看出，沿NN切割时，X2达最大值（X2M）, X1达最小值（X1m）,X2M r代入r和 的值，得X2M0.311h（10）Xim d X2M0.335h（11）由对称性，对L3的加工与对Li相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同.评分标准：本题20分.第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，第2问10分，

19、其中（5）式3分，（6）式3分，式2分，（8）式、（9）式共1分，（10）式、（11）式共1分.如果学生解答中没有（7） （11）式，但说了 “将图 2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证QQ=OQ=0.854 h,再给1分，即给（7） -（11）式的全分（4分）.1 . 11.圆筒内光学元件的相对位置如图1所示.各元件的作用如下：圆筒轴S狭缝狭缝S:光源的光由此进入分光镜，观察到的谱线就是狭缝的像.透镜L1：与狭缝的距离为f1,使由狭缝射来的光束经 L1后成为与圆筒轴平行的平行光束.分光棱镜：使由L

20、1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行光束.透镜L2：使各种单色平行光束经 L2成像在它的焦平面上，形成狭缝的像（即光谱线） 观察屏P:位于L2焦平面上，光源的谱线即在此屏上.透镜L3：与P的距离 f3,是人眼观察光谱线所用的放大镜（目镜）2 .已知钠黄光白谱线位于 P的中央，S的像位于L2的焦点上，由此可知，对分光棱镜系统来说，钠黄光的入 射光束和出射光束都与轴平行，由于棱镜系统是左右对称，因此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的，在中间 棱镜中的光路应该与轴平行，分光元件中的光路图如图2所示，左半部的光路如图 3.用i1、r1、i2、2分别表示两次折射时的入射角

21、和折射角，用n1、n2分别表示两块棱镜对 D线的折射率，由图 3可以看出，在两棱镜界面上发生折射时，i2 2,表明出 % ,即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃制成，两侧棱镜用冕牌玻璃制成， 故有n nD=1.5170 , n2 nD =1.7200.由几何关系可得(1)Ii2(2)由折射定律可得sini1 n1sinr1 (3)nsini2 isinr2 (4) 从以上各式中消去i1、i2、r1和r2得1 2sin2 2n2 (5)解（5）式得. 2sin 一224n1n2 1214 n1n2（6）以 n1 1.5170, n2 1.7200 代入，得 123.6o 12.1. D s l2

22、.-d附1、2两问的参考解法：1 .求S经双缝产生的干涉图像的零级亮纹P0的位置设P。点的坐标为y。，它也就是光源S与S分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离，即PoPOyy00y0由双缝到p0点的光程差因D d ,则1 S2B S1P0 ,从S1作82 Pl的垂线交于 H点，三角形OP0P0与三角形S1HS2相似,1 dy d yD D从S2作S S1的垂线交于 G, S到双缝的光程差2 Ss2 函（附 2） 三角形SOS与三角形 GGS2相似，因l d ,则2SS2SG GS1G对满足零光程差条件的 P0而言,SS2S2P0SS1SP0（附4）2.在线光源情况下，可以导出双缝干涉的相邻两亮

23、纹的间距为（附5）s值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源.不难证明，它们经双缝产生干涉条纹的间距y均如（5）式所示.宽度为 w的扩展光源是由一系列s值不同的、连续分布的、相互独立的线光源构成.因此扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产生干涉条纹的强度相加而成.当扩展光源宽度为 缘点有w时，对于光源最边（附6）代入（4）式15 / 30（附7）（附8）由于扩展光源各部分产生的干涉条纹的光则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了 一个条纹间距.5）式和（7）强分布都相同，各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光强相等，变得一片模糊而无法分辨.由（ 式，求得为使条纹能被分辨

24、，扩展光源允许的最大宽度（附9）解法17 / 30第2问的结果，其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光aa与bb分别在屏幕上产生两套干涉条纹 的相对位置错开的程度.由对称性考虑，平行光束aa中两条光线a和a在观察屏上P0的光程差为0,即平行光aa产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在P0处.现讨论以倾角斜入射的平行光束 bb通过整个光学装置后，在观察屏上某点发生干涉时的光程差.光束bb中的光线b入射M的光线经 M反射到达光线b从Mi点算起，所经光程为 M菽 MIS光线b入射M2的光线经M反射到达S2,光线b从M2点算起，所经光程为 M2M4而2 .由对称性可得M1M3 M7S1 M 2M 4

25、 M4S2（1）也就是说从M和M算起，光线b和b到达s与S2的光程是相等的，但是光线 b和b在到达M和M时，二者的相位 却不同.由M2作斜入射光线bMi的垂线交H点，M2与H相位相等，因此，斜入射的两条平行光线 b和b到达 s和&时的相位差是光程差 HM7引起的y （坐标原点取1 M2M4s2HM1M3sHM1 h （2）从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪，经双孔后发出的相干光在观察屏上坐标为 在R上）的P点上引起的光程差（3）dDy其零级亮纹所在位置F0对应的光程差0 ,故P0的坐标D/ ,、yo h （4）d这也就是平行光aa与bb产生的干涉条纹的零级亮纹（也是两套条纹）错开

26、的距离（5）因在线光源情况下，可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为(6)当二者错开一个条纹间隔时，即y y,代入（6）式（星光波长采用 一），得远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔，在屏上观察到干涉条纹的清晰度下降，由小到大调节M、M2距离h,当屏幕上条纹消失时，记下此时h的值代入（7）式就可确定扩展光源角直径的大小.注：实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源，通过调节h使屏幕上的干涉条纹消失， 即各处强度完全相等时,通过数学计算，用迈克尔逊测星仪测量得的星体角直径1.22.h解法二如图3所示，对 M、M而言，找出 G对M3的中间像G由物像的对称性可知 函 函，丙 丽，故FS1

27、FG GS1图3与光线a到S2处引起的光程差S和对M1所成的像Si以及光线a在M、M的反射点F和即从光线a上一点到G和到G的光程相 等.同理可证，从光线 b上一点到和到S1 的光程相等；对M、M （未画出）而言，从光 线a上一点到S2和到 S2的光程相等；从光 线b上一点到S2和到 S2的光程相等.因此，光线a到S1处 a、a垂直双孔屏，故图4la与没有反射镜 M、M时两光线到6、S2处的光程相等.因la 0（1）通过双孔S1、S2后，光线a、a在P0的光程差la 0（2）平行光束bb斜入射时，可从Si、&处求b、b两光线到达Si、S2处的光程差lb.由S2作bSi的垂线82H（见图4）,lb

28、 HS1 hsin h（3）说明光线b超前于光线b.邑乂(3)P0处，因为二者到达双孔y0 D tan D由小到大调节反射镜 M、乂之 强度完全相等时，记下此时h的值.P0P0 yo 0 y D当P0P0等于条纹间隔y,即代入（7）式得d由（5）、（9）两式，得h解法三根据第2问的结果，为，（6）（也就是 S1、S2之间的距离） 产光bb在屏幕上零级亮纹位置D P0P0d（9）（10）扩展光源的允许宽度为wh,直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处B与B的距离(8)-,从而扩展光源对双缝中心的张角为d通过双孔6、S2后光线b、b射出的相干光线在屏幕上形成的零级亮纹不可能位于前光线b已超前了光线b,如

29、图5所示，光线b经过S2孔后要多走一段光程来抵消前面的相位差，以达到与光线b在没有光程差的情况下相交于远方屏幕上，形成干涉零级亮纹.该点所对应的b经过S2孔后多走的光程lb S2K 丽 d sin d（4）从lblb可求得平行光束bb经双孔后在观察屏上的干涉零级条纹位置P0 .由（3）式和（4）式，得(5)P0的位置坐标如图3所示，对M、M而言，找出S1又M3的中间像G和对M1所成的像S1以及光线a在M、M的反射点F和G由物像的对称性可知 GS1 GS, , FS1 FS1 ,故FS1 FG G即从光线a上一点到&和到G的光程相等.同理可证，从光线 b上一点到&和到G的光程相等；对 M、M （

30、未画 出）而言，从光线a上一点到S2和到S2的光程相等；从光线b上一点到S2和到S2的光程相等.从分析可知，S1为 经M、M反射的等效像点， 8为S2经M、M反射的等效像点，从而可将测星干涉看作是经双孔6、8的等效杨氏双缝干涉，其缝距为S1S2 h（2）由小到大调节反射镜 M、M之间的距离（也就是 &、S2之间的距离）h,直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等，这时只需将测得的h直接替换（1）式中的d,可得计算星体角直径的公式17 / 30得到与前两种解法相同的结果.13.参考解答-L当发射光束刚好都能射到球面上时，光束的边缘光线应 与球面相切，如图1所示.如为切点，由几可关系可知SO由

31、此求得市二度若光源与A的距离大于乩则有部分光线不能到达球面.全19 / 30部光束能射到球冠上的条件是光源与4点的距禽北 W .(1)2二我时与轴成。角的人射光线的光路图如图2所示，图 中H点位千轴 匕用虚线画出的。昭 与。，40陶成一个球面.8 和8分别衰示人射角和折射角设折射线与球面交于产点，用 伊表示UV与轴之间的夹角，用J表示折射线与轴之间的夹角.对 OPS,由正弦定理可得争=-(2)号加方dinar 由折射定律得. sin。h L5siu。(3)由几何关系得/?= 2伊 - J + a(4)，=0 -q一夕：(5)如果折射线的反向延长线与釉相交，光路图如图3所示.若 对/的正负号作出

32、如下的规定上折射线向靠近轴的方向偏折21 / 30时，/取正值;折射成的方向向远离轴的方向偏折时（即折射线 的反向诞长线与轴的交点在月点的左侧）川取货值，则（5）式 仍成立.此外，山几何关系可知，折射粒能进入光纤的条件是IflwNQfW力可能为负值，这志东产在轴戏以下.而N QOB = arcsiii 七A代人数矗，可处折射线能进入光线的充要条件是I f【W 33.75下面分别讨论三条光线的情况.G）ai = 30P 时“此人射光线的折射线能否进入光纤？由（2）式得珀讯n 2sincc（ = 1,得代人（3）式得8/ 二 aj-csinf y） = 41,81”代人（4）式得.自: 2 - &

33、 4 % = 23.6r因为加 NQ0B%故此折射线能进入光纤.b.此圻射线能否在光芯包层的界面上发生全反射？设光红内光线射至光芯与包层界面时发生全反射的临界角为三则% .点Ein（二 68.（9）因为i =处-/ ,所以当/满足下面条件时折射线即能被全反射:.V W 灯 -68.对 H 21.04（10）现在“=/-口八，二18.境.满足（10）式的要求.故该光 线能经过全反射在光纤中传播.（ii）值2 = 25时由（2）式得4口内士容加门=2ain25& = 57.7,sin 02 = 丁工昌加& & = 34.30P jl、n(U)ft = 1&2 %= 35,好 ，出 式可知，该折射线

34、不能进入QQ右面的光纤. (ii。/ 工 2(r 时”由 式得 疝明N 25m6M 2sin2ir &y = 43.160疝 i = 丁点 iti %”=27.13司d凡 M 2% - %+ 的 = 31. IIP由 式可知，此折射线能进入QQ右向的用纤,一 此时心二% .+玳=-3,疗(13)负号表示折射线的延长线与轴相交于八点的左方，它射至光纤 的匕半部的界面下，如图W所示，U/ I 2L041所以此光线可 以经过拿反射在光纤中传播.一14.I .令d表示平板的厚度，叫和叼分别表示和在平板 中的速度的大小，门和分别表示它们的折射角E和占分别表示它们穿过平板所用的时间，则有I等于光在空气中的

35、速度)，有c ,ni =：“i 由折射定律有(2)Isint = njsinrj sini = sinrz(3)snu二 G而h 2sin a1smi2 n2 J11时，1 t2.一/ M, Y 二；工sjl -黑)时由(4)化筒后得:当sini 时,h d单色光所用的时间较短;当$igi 内,单色光所用的时间较短;当时，力=两种单色光所用的时间相等.2.当nj = 1.55,股=1.52时可得忻必 1.弼 1V nJ + 2因sinx最大为1,由(5)式、(6)式可知，一定是单色光所用的 时间较短,不管入射角是多大.当叫=1.40,叼=L38时可得. 0.983 1由(5) 6)式可知，当人

36、射角i较大时,单色光所用的时间较 短；当入射角i较小时，单色光所用的时间较短，因为/皿 yoc 和 yc， y ocsin i 20GR_ 2 sin i 20rcos r射不能射出柱体.因折射角(4)(5)时，入射光线进入柱体，经过折射后射达柱面时的入射角大于临界角i 20 ,由于发生全反r随入射角i增大而增大.由式（4）知，当r = 0 ,即i = 0 （垂直入射）时，d取最小值当 i 90=1.792.段ODdmin = 2 Rsin（掠入射）时,i 20 = 1.33 Rr 41.8 由图2可见，6是Oz轴与线段的夹角.发生全反射时，有()= i 20 一 r ,e = 6 + 6 =

37、2i 20 = 83.6由此可见，e与i无关，即 e独立于=41.8,由式（8） , （9）两式得(6)OO(11)6 = 83.62.参照所给光路图，可知,j = 0 CO x,设/ CAO a,有如下几何关系:r f cot 2(2)两式联立,可求得x RsinLarctanf。(3)评分标准:正确画出光路图5分，（3）式5分。18. 1.考虑光线仅从 AB面上法线下方入射，如图 1所示，在AB面上发生折射，根据折射定律有sin i0nsin r (1)式中，i0和r分别是光线在 AB面上入射角和折射角，n是棱镜的折射率。在 AC面上发生全反射应满足24 / 30nsini1 1(2)式中

38、，ii是光线在AC面上的入射角，在 ADE中有33 / 30由此可得iir 0(3)将(3)式代入(2)式有nsini1 nsin( r) 1 (4)因为io ,都为锐角，结合(1)式，利用三角函数关系得sin Jn2 sin2 i01 cos sini0 (5)对(5)式两边平方得222sin i0 2cos sini0 (1 n sin ) 0(6)上式取等号时的解为sin i0cos - n2 1sin或sini。 nsin( )(7)式中，已利用了nsin 1由于0 sini01, (6)式的解sin i0应满足0 sin i0 min1,nsin(n )(8)i0取任意值时，光线在 AC面上都发生全从(8)式可看出，当光线仅从 AB面上法线的下方入射时，为零使入射角反射，三棱镜顶角的取值范围为2(9)2 .考虑光线仅从 AB面上法线的上方入射，如图2所示，根据几何关系得i1 r (10)在AC面上发生全反射应满足nsin( r) 1(11)采用1中相同的方法可得(12).22.2sin i0 2cos sim0 (1 n s