圆锥曲线难题汇编..

1、圆锥曲线难题汇编我经过反思与整理，写成此文。一、 圆锥曲线的光学性质1 1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；（ 见图 1.1）椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在Fi处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热.1 2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；（ 见图 1.2） 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用2 3 抛物线的光学性质： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都

2、平行于抛物线的轴（如图1.3 ）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物5

3、 / 12线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的.、，图 12 ,、， 人，、图 1.3 一要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实欣问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明3 . 1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l与曲线c交于P,_Q两点，当直线l连续变动时，.P,.Q两点沿 着曲线渐渐靠近，一直到_P“Q重合为一点M，此时直线l称为曲线c在点M 处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：2.2圆锥曲线光学性质的证明2七1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：警a2证明：由b21y0 yb2

4、2x2 a1。2b2（1 占）a1。当x a时，过点P的切线斜率k一定存在，且k y|x X0对式求导：2yy2b22" xo ab2x。切线方程为yy。b2x。2a y。2a y。(x Xo)2 x 丁点P（x。，y。）在椭圆 a2 y b21上,2X0故-2a2四1b2代入得x°x2ay°y b2而当xa 时，yo 0切线方程为x a,也满足式x°x故Fa等1是椭圆过点",）的切线方程.22预备定理2.若点P,y。）是双曲线% + 1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为:x°x2"a2, y证明：由TTb2x2a丫。丫d

5、至 1222 xy b (- 1) a对式求导：2yy'2b2-x。. a.k y'lb2x。xX0a2y。切线方程为y y。b2x。(x Xo)丁点P（xo,y。）在双曲线x2a2y。氏1上，%xy°y代入得手铲 0当xa时，过点p的切线斜率k 一定存在，且k y I功而当xa时,y。 0切线方程为x a,也满足式故x2xa,1是双曲线过点PM,y。）的切线方程.预备定理3.若点Plxoy。）是抛物线y2 2Px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是y0 y p(x X0)证明：由y2 2px,对x求导得：2yy' 2p k 丫'屋0 -p- y。当y

6、0 0时，切线方程为y y (x x。) y。即 y°y y2 px px0而 y； 2Px°y0y p(x x0)而当y° 0,x° 0时，切线方程为x° 0也满足式故抛物线在该点的切线方程是 yv p(x x0).定理1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点 P处的法线平分（图 2.1 ）22椭圆上一点设 F2PD 求证：已知：如图，椭圆C的方程为二 当1, Fi,F2分别是其左、右焦点，l是过 a bP(x0,y0)的切线，l'为垂直于l且过点P的椭圆的法线，交x轴于D,FiPD,22证法一i：在C: -y2- 1 上，P(

7、x0,y0) a b则过点P的切线方程为：警警a b则 l'：仔）x争x0%/f法线l '与x轴交于D(c)2x0,0)a2cc2x0al是通过点P且与切线l垂直的法线,2.c|F1D| cyxo C,| F2D | a2.| F1D |acm2| F2D | a cx0又由焦半径公式得：|PF1| a ex0,| PF21 a eM. ijiDj iPFij. i2D i-pFTi.PD是F1PF2的平分线90证法二：由证法一得切线l的斜率k y,|x %bYa2 V。,而PFi的斜率kiPF2Xo c的斜率k2y。Xo C9 / i2l到PFi所成白角满足22 2 2 2.

8、 2ay。 b Xo b cx。-2 2r2(a b )x°y。 a cy。y。b x。,ki kXo c a2 yotan ' 21 kkib X)yo1 /V2(x。 c)a y。2 2P（x0,y。）在椭圆C:今 与1上 a b1 . b2, tan 'k k2 b21 kk2 cy。CVo同理，PF2到l所成的角满足tan/. tan ' tan而，（。,一）2证法三：如图，作点F3 ,使点F3与F2关于切线l对称，连结Fi , F3交椭圆C于点P'下面只需证明点P与P'重合即可一方面，点P是切线l与椭圆C的唯一交点，则|PFi| IP

9、F2I 2a,是l上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为l上的其它点均在椭圆外）另一方面，在直线l上任取另一点P''|P'Fi| |P'F2| |P'Fi| |P'F3| IEF3I |P''Fi |P'RI即P,也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而 P与P,重合即 而得证定理2双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分(图 2.2);22已知：如图，双曲线C的方程为二4i, Fi, F2分别是其左、 a b右焦点，l是过双曲线C上的一点P(xo,yo)的切线，交x轴于点D,设FiPD 求

10、证：两焦点为 Fi( c,0) ,F2(c,0)(c2P(xo, yo)在双曲线上则过点P的切线警邛 a2b22切线l与x轴交于D(,0) o xo2 a,F2PD由双曲线的焦半径公式得cc|PFi| x° a|,|PF2| -x a|双曲线的两焦点坐标为F(cQ),(c,0)故 |DFi| | 旦 11cx° a|,|DF2| | 且仔小Xoax° aa|，IPFilIPF2Il-xoa_a|DFi|,c .|- xo a| aIDF2I切线l为FPF之角分线。定理3抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分(图2.3)。已知

11、：如图，抛物线C的方程为为y2 4cx, 直线l是过抛物线上一点P(xo,yo)的切线，交 x 轴于 D, DPF , PDF ,反射线PQ与l所成角记为，求证：证明：如图，抛物线C的方程为C : y2 4cx ,点P(Xo, yo)在该抛物线上，则过点P的切线为 yoy p(x xo)切线l与X轴交于D( xo,O)焦点为F(c,0),(同位角)2 .|PF| /(xo c)2 y2 |xo c|,|DF|xo c|PF | |DF |通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证 明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢?三、圆锥曲线的光学性质的应用3. 1解决入射与反射

12、问题例1.设抛物线C:y 818)7 / 12图 3.1.2 x, 一光线从点A(5, 2)射出，平行C的对称轴，射在C上的P点，经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标为Q点的坐标为图3V 01 I 7. 0)、解：如图，直线AP平行于对称轴且A(5, 2), .则P点的坐标为(4, 2) 反射线PQ过点F(1,0)_8解得：t1517 / 1222例2.已知椭圆方程为216 1，若有光束自焦点N3, 0)射出，经二次反射回到A点，设二次反射点为B, C,如图3.1.2所示，则ABC勺周 长为。22解：:椭圆方程为1中，C2 25 16 92516.A3, 0)为该椭圆的一个焦点自A(3,

13、 0)射出的光线AB反射后，反射光线AC走过另一个焦点A (-3 ,0)图 3.1.3故 ABC的周长为 AB BA' A'C CA 4a 4 5 2022例3.双曲线C：、工1,又A C,已知A(4, 882收),F(4 , 0),若由F射至A的光线被双曲线C反射，反射光通过P(8 , k),则k 解：入射线FA反射后得到的光线AP的 反向延长线定过双曲线的另一个焦点 F '( 4,0).一. k 3,2128 2解决一类“距离之和”的最值问题张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的 路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上

14、的结论，但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅 以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。 我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见 到而又觉得复杂的一类最值问题。22例4.已知椭圆C: 土 L 1, Fi、F2为分别是其左右焦点，点 Q（2, 1）, P259是C上的动点，求|MFi|+|MQ|的取值范围。（一）分析猜想：（1）经计算，Q2, 2）点在椭圆内，由于椭圆是封闭图形，因此|MFi|+|MQ| 应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。（2）同样根

15、据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得： 从Fi射出被椭圆反射后经过点 Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种 情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图 3.2.1 ,光线从Fi Pi Q, 二是被下半椭圆反射（如图3.2.2 ,光线从Fi P2 F2 Q,究竟哪种情况 距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图 3.2.1中的|PiFi|+|P iQ|<2a（2a 为椭圆长轴长），而图3.2.2中的|P2Fi|+|P 2Q|>2a,可见图3.2.1所示的情 况距离之和更小。但是，最大值又是多少呢？图3.2.2所示的光线又有什么特点呢？将图3.2.1.和图3.2.2中的光线

16、反射路线合并图3.2.3 ,由于|P2Q| +|P2Fi|+|P iQ|+|PiFi|是定值4a（a为椭圆长半轴长）,而|PiQ|+|PiFi|由前面 知最小，由此猜测|P2Q|+|P 2Fi|可能就是最大值。（二）证明|PiFi|+|P iQ|是最小值。如图3.2.2 ,连接QF2,延长交椭圆于心，在椭圆上另取一点P2,由椭 圆定义知：IP2QI-IQF2I+|PF i| = | P2F1I+I P2F2I （*）,因为 |P2F2|A | P2QHQF2I,代入（*）式得 IP2QI-IQF2I+|P 2F1I >| P2F1I+| P2QHQF2I 所 以，|P2Q| +|P2Fi

17、| >| P2F1I +| P2Q|。猜想得证。（三）计算：综上所述，只需求出|F2Q| .（4 2）2 42 2彳0可得最小值为 2a IF2QI 10 2.10最大值为 2a IF2QI 10 2.10. 2例5.已知双曲线C: x2工1 , Fi、F2为分别是其左右焦点，点Q（44）, 32M是C上的动点,求|MF2|+|MQ|的取值范围。分析猜想：经计算，Q点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭 曲线，显然|MF2|+|MQ|可以无限大，故要求|MF2|+|MQ|的取值范围，关键是 求出|MF2|+|MQ|的最小值。根据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从 F1射出经双曲线反

18、射后经过点 Q的光线所经过的路程往往是最短的，再结合 双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反 向延长线经过另一个焦点），可作出从F1射出被双曲线反射后经过点 Q的光 线：连接F1Q与双曲线的交点即为使得|MF2|+|MQ|最小的点，设为P点， 光线从F2 P Q。（见图2（二）证明：如图2:按猜想作出点P,由于所求点P显然不在双曲线 的左支上（此时显然距离之和不会最小），故在右支上另取一点P ,由双曲 线定义知：|PF1|-|PF 2| = | P F1| -| PF2I,即 |PF1|+| P F2I = | P F1| +|PF2| , 因为|PF1|+|PQ|

19、<| PQ| +| PF1| ,两边同加 |PF2| 得：所以|PF1|+|PQ| +|PF2|图 3.2.5点Q（2,1） , M是C上的动点，求<| PQ| +| P F1|+ |PF 2|=| | P Q|+| P F2| ,猜想得证。(三)计算：由题意知 .9 '( 2,0), Q(4, 2)：|PQ| |PF2|FQ| |F1P| |= |F1Q| (|FF| |PF2|)二 |F1Q| 2A=11 2例6.已知抛物线C: y2 4x, F是其焦点,|MF|+|MQ|的取值范围。分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最 大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学 性

20、质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射 光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线 的“最近传播”特点，我们猜想：过 Q与对称 轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距 离之和最小的点，设为P点（见图3.2.6 ）。可 由抛物线的定义证明猜想是正确的。且 |PF|+|PQ| >33. 3.圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用光线反射总是满足反射定律(入射角等于反射角)，光线被曲线反射也 不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的切 线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。以椭圆为例：如图331,1是过椭圆周上一点P的椭圆的切线，m是 P点处的法线，光线从Fi (F2)射出被椭圆反射经过F2 (Fi),满足/1 = /2, 且/ 3=/4。例7.已知1是过椭圆C: 人上 1上一动点P的椭圆C的动切线，过 16 12C的左焦点F1作1的垂线，求垂足Q的轨迹方程。分析：如图3.3.2 ,本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐。由于 1是椭圆的切线，切 点为P,联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：1是/ EPE的外角平分线， 巳关于直线1的对称点F2在F2P的延长线上。这样