计算机应用基础偏微分方程求解

1、计算机应用基础偏微分方程求解计算机应用基础-偏微分方程求解一一 偏微分方程的分类偏微分方程的分类当当A，B，C为常数时，称为拟线性偏微分方程，可分为为常数时，称为拟线性偏微分方程，可分为三类：三类：椭圆型方程椭圆型方程抛物型方程抛物型方程双曲型方程双曲型方程6.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解二二 偏微分方程边界条件：偏微分方程边界条件： （1）Dirichlet 边界条件边界条件 hu=r 也称为第一类边界条件，对于偏微分方程组，也称为第一类边界条件，对于偏微分方程组，Dirichlet边界边界条件为条件为（2）Neumann边界条件边界条件 6.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解也称

2、为第三类边界条件；当也称为第三类边界条件；当q=0时，则变为第二类边界条件时，则变为第二类边界条件。对于偏微分方程组，。对于偏微分方程组，Neumann边界条件为：边界条件为：其中其中 n为边界外法向单位向量，为边界外法向单位向量，g, q, h, r为在边界上定义的为在边界上定义的函数函数（3）混合边界条件）混合边界条件6.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解6.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解三三 偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法 有限差分法有限差分法 正交配置法正交配置法 MOL法法 有限元法有限元法6.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解四四 采用采用pdepe( )函数求解一

3、维偏微分方程函数求解一维偏微分方程边界条件的函数描述：边界条件的函数描述：6.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解【例6-1】6.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解6.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解6.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解function c, f, s=c7mpde(x, t, u, du)c=1 ; 1 ; y=u(1)-u(2) ;F=exp(5.73*y)-exp(-11.46*y) ;s=F*-1; 1f=0.024*du(1); 0.17*du(2);偏微分方程求解程序偏微分方程求解程序 “c7mpde”6.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解functio

4、n pa, qa, pb, qb=c7mpbc(xa, ua, xb, ub, t)pa=0; ua(2); qa=1; 0;pb=ub(1)-1; 0; qb=0; 1; 边界条件程序边界条件程序”c7mbc.m”function u0=c7mpic(x)u0=1; 0;x=0: 0.05: 1; t=0: 0.05: 2; m=0; sol=pdepe(m, c7mpde, c7mpic, c7mpbc, x, t); surf(x, t, sol( :, :, 1)6.1 偏微分方程组求解偏微分方程组求解求解函数：求解函数：ME_5_1.m, 结果如下结果如下6.2 6.2 二阶偏微分方

5、程的求解二阶偏微分方程的求解一一 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程6.2 6.2 二阶偏微分方程的求解二阶偏微分方程的求解adaptmesh 和和assempde函数用于求解椭圆型偏微分方程的解，调函数用于求解椭圆型偏微分方程的解，调用格式如下：用格式如下： u, p, e, t=adapmesh(g,b,c,a,f) g: 求解几何区域；求解几何区域； b: 边界条件边界条件 u:解向量解向量 p,e,t :网格数据网格数据6.2 6.2 二阶偏微分方程的求解二阶偏微分方程的求解u=assempde(b,p,e,t,c,a,f,u0) U0:初始条件，用于非线性方程求解初始条件，用于非线性方

6、程求解 例例6-2，利用，利用adaptmesh函数求解拉普拉斯方程，其在弧上函数求解拉普拉斯方程，其在弧上满足满足Dirichlet条件：条件： u=sin(2/3*atan2(y,x)6.2 6.2 二阶偏微分方程的求解二阶偏微分方程的求解ME_6_3二二 抛物线型偏微分方程抛物线型偏微分方程6.2 6.2 二阶偏微分方程的求解二阶偏微分方程的求解parabolic函数用于求解函数用于求解抛物抛物型偏微分方程的解，调用格式如下型偏微分方程的解，调用格式如下： u1=parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) b: 边界条件边界条件 u0: 初始条件初始条件 tl

7、ist；时间列表；时间列表 u1:对应于对应于tlist的解向量的解向量 p,e,t :网格数据网格数据6.2 6.2 二阶偏微分方程的求解二阶偏微分方程的求解例例6-3：求解热传导方程：求解热传导方程：6.2 6.2 二阶偏微分方程的求解二阶偏微分方程的求解ME_6_2三三 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程6.2 6.2 二阶偏微分方程的求解二阶偏微分方程的求解6.3 6.3 偏微分方程求解工具箱偏微分方程求解工具箱 启动偏微分方程求解界面 在 MATLAB 下键入 pdetool 该界面分为四个部分 菜单系统 工具栏 集合编辑 求解区域菜单栏工具栏6.3 6.3 偏微分方程求解工具箱偏微分

8、方程求解工具箱6.3 6.3 偏微分方程求解工具箱偏微分方程求解工具箱5.3 5.3 偏微分方程求解工具箱偏微分方程求解工具箱工具箱求解步骤：工具箱求解步骤： 1. 用用options设置应用模式（可选）设置应用模式（可选） 2. 用用Draw建立几何模型建立几何模型 3. 用用Boundary菜单设定边界条件菜单设定边界条件 4. 用用PDE定义偏微分方程的类型和系数定义偏微分方程的类型和系数 5. 用用Mesh菜单进行三角形网格划分及细化菜单进行三角形网格划分及细化 6. 用用Slove进行偏微分方程求解进行偏微分方程求解 7. 用用Plot以图形方式显示结果以图形方式显示结果【例例6-3

9、6-3】6.3 6.3 偏微分方程求解工具箱偏微分方程求解工具箱求解椭圆型方程求解椭圆型方程采用工具箱求解采用工具箱求解6.3 6.3 偏微分方程求解工具箱偏微分方程求解工具箱利用利用PDE工具箱命令行求解偏微分方程工具箱命令行求解偏微分方程:问题定义及参数初始化问题定义及参数初始化网格化网格化求解求解显示结果显示结果6.3 6.3 偏微分方程求解工具箱偏微分方程求解工具箱6.3 6.3 偏微分方程求解工具箱偏微分方程求解工具箱例例6-5 求解二维动态热传导方程求解二维动态热传导方程6.4 偏微分方程在化工中的应用偏微分方程在化工中的应用在一管式催化反应器中进行乙苯的催化脱氢反应，所用原料为乙

10、苯和在一管式催化反应器中进行乙苯的催化脱氢反应，所用原料为乙苯和水蒸汽的气体混合物。动力学方程为：水蒸汽的气体混合物。动力学方程为：进入反应器，相当于总质量速率为进入反应器，相当于总质量速率为-1.m2。反应管。反应管6.4 偏微分方程在化工中的应用偏微分方程在化工中的应用固定床二维反应器模型固定床二维反应器模型Z为反应管轴向距离，为反应管轴向距离，r为径向距离，方程系数如下：为径向距离，方程系数如下：6.4 偏微分方程在化工中的应用偏微分方程在化工中的应用通过反应计量关系获得各组分的分压：通过反应计量关系获得各组分的分压：温度初始边界条件：6.4 偏微分方程在化工中的应用偏微分方程在化工中的

11、应用质量初始边界条件质量初始边界条件径向边界条件径向边界条件6.4 偏微分方程在化工中的应用偏微分方程在化工中的应用微分方程组的差分格式离散化微分方程组的差分格式离散化一一 隐式差分（隐式差分（Crank-Nicholson)M-1, nM, n+1M+1, nM, nM+1, n+1M-1, n+1M, n+1/2 z r采用差分代替微采用差分代替微分，离散化进行分，离散化进行迭代。迭代。如图，任一节点如图，任一节点的径向与轴向位的径向与轴向位置可表示为：置可表示为：6.4 偏微分方程在化工中的应用偏微分方程在化工中的应用对于点（对于点（M,n+1/2)的各项导数都可以用该处周围六个节点的函

12、数值计算的各项导数都可以用该处周围六个节点的函数值计算的差商表示，如温度可表示为：的差商表示，如温度可表示为：将上三式代入二维模型的物料衡算方程将上三式代入二维模型的物料衡算方程6.4 偏微分方程在化工中的应用偏微分方程在化工中的应用类似的可求得浓度的差分方程类似的可求得浓度的差分方程6.4 偏微分方程在化工中的应用偏微分方程在化工中的应用上两式中上两式中(rA)m,n+1/2是指温度为是指温度为Tm,n+1/2与浓度与浓度cAm,n+1/2条件下的反条件下的反应速率，有：应速率，有：6.4 偏微分方程在化工中的应用偏微分方程在化工中的应用管中心和管壁处的边值条件也可用差分方程表示。管中心：管

13、中心和管壁处的边值条件也可用差分方程表示。管中心：6.4 偏微分方程在化工中的应用偏微分方程在化工中的应用管壁处：管壁处：6.4 偏微分方程在化工中的应用偏微分方程在化工中的应用迭代过程：迭代过程：假设所有节点处浓度和温度的初始值假设所有节点处浓度和温度的初始值C0Am,n和和T0m,n 计算出计算出CAm,n1、2和和Tm,n1、2 ，代入动力学方程求得（，代入动力学方程求得（-rA)m,n+1/2 将（将（-rA)m,n+1/2代入上述方程，得到各节点处浓度和温度的线性方程组，方程的代入上述方程，得到各节点处浓度和温度的线性方程组，方程的系数矩阵均为对三角矩阵，用追赶法求解浓度方程和温度方程，得到各节点处系数矩阵均为对三角矩阵，用追赶法求