(完整版)大一高数复习资料(免费)

1、高等数学期末复习资料第1页（共9页）第一章函数与极限第一节函数函数基础（高中函数部分相关知识）（）邻域（去心邻域）（）Ua,x|xaoUa,x10 xa第二节数列的极限数列极限的证明（）K题型已知数列xn，证明limAaxK证明N语言1.由xna化筒得ng,Ng2.即对0,Ng，当nN时，始终有不等式xna成立，limxnax第三节函数的极限xx0时函数极限的证明（）K题型已知函数fx,证明limfxAXx0K证明语言1.由fxAg化筒得0 xxg2.即对0,始终有不等式limfxg，fxAA当0成立，xx0时,Xx0 x时函数极限的证明（)K题型已知函数fx,证明limfxAxK证明X语言1

2、.由fxA化W#xg,Xg2.即对0,Xg,当|xX时，始终有不等式fxA成立，limxfxA第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）函数fx无穷小limfx0函数fx无穷大limfx高等数学期末复习资料第2页（共9页）无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设fx为有界函数，gx为无穷小，则limfxgx0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若fx为无穷大，则f1x为无穷小；反之，若fx为无穷小，且fx0,则f1x为无穷大K题型言十算：limfxgx（或x）xx01.fxM函数fx在xx0的任一去心邻域Ux0,内是有界的；（.fxM,函数fx在xD上有界；）2.limgxxx00即

3、函数gx是xx0时的无穷小；(?mgx0即函数gx是x时的无穷小；）3.由定理可知limfxgx0 xx(limfxxgx0)第五节极限运算法则极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式px、qx商式的极限运算mm1pxa0 xaxam设：1qxb0 xnnxnbnnm则有limPnmqx禺0nmfx0gxgxfxlimgx0,fx0 xx0gx00gxfx0fx0（特别地，当lim一（不定型）时，通常分xx0gx0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）x求值limX3x2高等数学期末复习资料第3页（共9页）K求解示例解：因舄x3,

4、从而可得x3,所以原x31lim3x3x3x3limx3x解：limx2x32x1lim2x12x2xlim2x12x其中x3为函数倘若运用罗比达法则求解0 x30 x3解：limlimx3x29Lx3的可去间断点x9（详见第三章第二节）lim2x1lim2x12x122T2x122x12xlim12x1T212x1TT12xlimx12,2T-12x12limx12x1e连续函数穿越定理（定理五）若函数x29（复合函数的极限求解）（）x是定义域上的连续函数，那2x2lim_2x12x1e么，limfx%flimxx%-3x3第七节等价无穷小()UsinUtanUarcsinUarctanUe

5、U1无穷小量的阶（无穷小的比较）1.ln(1U)K求解示例li-r第六节极限存在准则及两个重要极限第一个重要极限：sinxlim1x0 xx0,一,2sinxxtanx.limlimx0sinxx01lim1x0sinxxlimx0sinxx（特别地，limxx0sin(xx%)x。1)单调有界收敛准则（P57)(第二个重要极限：limx1xxe（般地，limfxgxlimflimfx0)夹迫准则（P53）（）1x1sinx.limx0 xXlimgx苴中 xlimx2x2x1-122.-U1cosU2(乘除可替，加减不行)ln1xxln1xlim2x0 x解：因为x0,即xIn1x3x0,所

6、以原式J1xxlimx0 xx3ln1xlim20 x2Jx1limx0 x3J1xlimx0 xx3第八节函数的连续性函数连续的定义（）limfxlimfxfxx0 xx0间断点的分类（P67）（）xln1x3x13xo第-类间断点 （左右极限存在） 跳越间断点 （不等） 可去间断点 （相等）第二类间断点-即河兀无穷间断点（极限为）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）K题型设函数fxex0axx0择数a,使得K求解示例fx成为在R上的连续函数?f020e1ee1f0a0af0a应该怎样选2.由连续函数定义limfxlimfxf0e高等数学期末复习资料第4页（共9页）高等数学期末复习

7、资料第5页（共9页）求yfx在xa处的切线与法线方程第九节闭区间上连续函数的性质零点定理（）K题型证明：方程fxgxC至少有一个根介于a与b之间K证明K题型求函数f1x的导数K求解示例由题可得fx为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且fx0;f1x1.（建立辅助函数）函数xfxgxC在闭区间a,b上连续；2.ab0（端点异号）3.由零点定理，在开区间a,b内至少有一点,使得0，即fgC0(01)4.这等式说明方程fxgxC在开区间a,b内至少有一个根复合函数的求导法则（）K题型设y|n严in、EJx2a2，求y解：y1arcsinx21r22e.xaarcsin/xHe第二章导数与微分第一节

8、导数概念K题型3已知函数f xex1x0*在x0axbx0处可导，求a,bK求解示例30,f0e01e0121.f0e1f0af0bf0e012f0f0a12.由函数可导定义f0f0f0b2高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（）a1,b2arcsinx21e.x22a1x212.x2a212xarcsin12Lx12xarcsinJx21.x212ae2arcsin/1e-=2xx2.x2a2xarcsin.；x21e.x22ax2122厂22xxa1.x1x2a21arcsinx21e-=第四节高阶导数fn1n(或也dxny.n1dx求函数yln1x的n阶导数()（或：过yfx图像上点

9、a,fa处的切线与法线方程）K求解示例2311x121x、积与商的求导法则3.函数商的求导法则（定理三）高等数学期末复习资料第6页（共9页）函数和（差）、积与商的求导法则（）1.线性组合（定理一）：（uv）uv特别地，当1时，有（uv）uv2.函数积的求导法则（定理二）：（uv）uvuvuuvuv2vv第三节反函数和复合函数的求导法则yn（1）n1（n1）!（1x）n第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导（等式两边对x求导）（）K题型试求：方程yxey所给定的曲线C：yyx在点1e,1的切线方程与法线方程K求解示例由yxey两边对x求导即yxey化W#y1eyyy己十1e1e1.切线万

10、程：y1x1e1e反函数的求导法则（）1.yfxy|xafa2.切线方程：yfafaxa法线方程：yfa1xafa第二节函数的和（差）高等数学期末复习资料第7页（共9页）exxtyt法线方程：y11参数方程型函数的求导K题型设参数方程，求典dxx0,函数fx在闭区间间0,上可导，并且f2.由拉格朗日中值定理可得,0,x上连续，在开区x0,x使得等式d2ydx2ln1ln1dxtK求解示例1.也2.dxt第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dyfxdx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理引理（费马引理）（）罗尔定理（）K题型现假设

11、函数fx在0,上连续，在0,上可导，试证明：0,使得fcosfsin0成立K证明1.（建立辅助函数）令xfxsinx显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间0,上可导；2.又.0f0sin00fsin00即03.由罗尔定理知0,使得cos）证明不等式：当x化ft!得In011x又-x1成立,11即证得：当x1时，exex第二节罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）等价无穷小的替换（以简化运算）判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件1.2.1,-In1x1xx,A.属于两大基本不定型（fx则进行您算：limxagx-）且满足条件,0fxlimxagx（再进行1、

12、2步骤，反复直到结果得出）B.不属于两大基本不定型型（转乘为除，构造分式）求值：limxlnxx0（转化为基本不定型）解：Um0 xlnxlnxlim0lnxlim0lim0f拉格朗日中值定理（K题型K证明1.（建立辅助函数）令函数显然函数fx在闭区间sin0成立1x1xx1,x上可导，并且fx2.由拉格朗日中值定理可得,1e1e成立,x1.ee1时,1.limxax0（一般地，xm0Inx0,其中R）ex,则对x1,1,x上连续，在开区间xe；型（通分构造分式，观察分母）1求值：lim01sinx1,x使得等式K求解示例1解：limx0e,1sinxxlimx0ex,即证得:证明不等式：当化

13、IK题型K证明1.（建立辅助函数）令函数x1时，x0时，In100 xsinxlimLx02xlim1x0sinxxsinx0cosx02xlimx0sinx2x00型（对数求极限法）fxln11limLx0cosx2xsinxlimx02高等数学期末复习资料第8页（共9页）高等数学期末复习资料第9页（共9页）K题型求值：limxxx0K求解示例解：设yxx,两边取对数得：lnylnxxxlnxInxTxlnx一lnx对对数取x0时的极限:limlnylimlim一x0 x0Lx011x-x1limlnylimlimx0,从而有limylimeyex0e1x01x0 x0 x0 x1型（对数求

14、极限法）1K题型求值：limcosxsinxxx0K求解示例解：令ycosxsinxx,两边取对数得lnyC0Sx,x0（1）0（2）0（3）通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单调性（单调区间）（）K题型试确定函数fx2x39x212x3的单调区间K求解示例1.函数fx在其定义域R上连续，且可导0010-fx6x218x12对lny求x0时的极限，limlnyx0lncosxsinxlimx0v00lncosxsinxlimLx0 xc

15、osxsinxlimx0cosxsinx1,从而可得limlnylimy=limeyex0eex0 x0 x,111,222,fx00fxZ极大值极小值Z2.令fx6x1x20,解得：x11,x223.（三行表）0型（对数求极限法）tanx一，1K题型求值：lim1x0 xK求解示例tanx，一.11解：令 y-，两边取对数得 lnytanxln-xx4.函数fx的单调递增区间为,1,2,单调递减区间为1,2K题型3证明：当x0时，exx1K证明3x1.（构建辅助函数）设xex1,（x0）2.xex10,（x0）x003.既证：1当x0时，exx1K题型3证明：当x0时，ln1xxlimx0l

16、nx1Llimx0lnx1limx0 x2secxtanxtanxtan2x0sin2x0limlimx0 xLx0sin2xxlimx02sinx1cosx0,1对 lny 求 x0 时的极限，limlnylimtanxln-x0 x01limlny从而可得 limy=limeyex0e1x0 x0运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）K证明1.（构建辅助函数）设xln1xx,（x0）2.x10,（x0）1xx003.既证：当x0时，ln1xx连续函数凹凸性（）K题型试讨论函数y13x2x3的单调性、极值、凹凸性及拐点高等数学期末复习资料第10页（共9页）高等数学期末复习资料第11页（共9

17、页）1.3x26x3xx22.6x63xxx(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00y/zy1-(1,3)r5n3.y（四行表）2函数fx在其定义域-fx3x23令fx3x1x解得：x11（三行表）1,3上连续，且可导1.2.3.10,4.函数y13x单调递增区间为（函数y为f013x21,极大值在x3单调递增区间为（0,1）,（1,2）,0）,（2,x3的极小值在5;x11,111,3fx00fx极小值Z极大值1812,f12,f34.又.f.f痢八T第七节第八节18maxf12,fxmin函数图形的描绘（不作要求）曲率（不作要求）方程的近似解（不作要求）x2时取到，为f23x在区间

18、（）上凸；x3的拐点坐标为1,3最小值）D，如果XM的某个邻oxUXM13x2函数y在区间（1,2）,（2,2函数y13x第五节函数的极值和最大、 函数的极值与最值的关系（设函数fx的定义域为域UXM等式fx我们则称函数值fXM；令XM则函数fxfxM，fx在点xM,fxM处有极大xM1,M2,xM3,.,xMn在闭区间a,b上的最大值M满足:Mmaxfa,XMI,XM2,XM3,.,Sn,fb；x的定义域为D,如果xm的某个邻域oUxm,都适合不等设函数fUxm使得对x我们则称函数fxm；令则函数fxmminffx在点xm,fxm处有极小值xm1,xm2,xm3,.xmn在闭区间a,b上的最

19、小值m满足:a,xm1,xm2,xm3,.,xmn,fb；求函数fx3xx3在1,3上的最值第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数为Fx，即当自变量xI时，有FxdFxfxdx成立，贝U称个原函数原函数存在定理：如果函数fx（）在定义区间x使得的导函数I上连续,fx的一则在I上必存在可导函数F说：连续函数一定存在原函数不定积分的概念（）在定义区间I上,函数C的原函数称为即表小为:fxdxF（可导必连续）fx的带有任意常数项在定义区间I上的不定积分,fx称为被积函数，fxdx称x则称为积分变量）（称为积分号，为积分表达式，基本

20、积分表（）不定积分的线性性质（分项积分公式）（）k1fxk2gxdxk1fxdxk2gxdx第二节换元积分法第一类换元法（凑微分）（）（dyfxdx的逆向应用）xdxfxdx高等数学期末复习资料第12页（共9页）高等数学期末复习资料第13页（共9页）卡1】求dxaxK求解示例1解：dxaxdxxadx、2x1zdx1x一arctanaa第三节分部积分法分部积分法（）设函数ufx,vg分部积分公式可表示为:x具有连续导数，则其udvuvvduK求解示例1解：d2x1.2x1C第二类换元法（去根式）（）（dyfxdx的正向应用）对于一次根式（a0,bR）：1d2x,2x1d2x2.2x1、axb：

21、令t.axb,于是t2bx,a则原式可化为t对于根号下平方和的形式（a0)：2x：令xatant(2t)2,xarctan,则原式可化为a对于根号下平方差的形式（aasect0)：a.Va2x2：令xasint(x于是tarcsin,则原式可化为aacostb.Jx2a2：令xasect(0a是tarccos,则原式可化为x12xK求解示例1解：dx2x1解：a2x2dx1tsin2t2atant；=dx（一次根式）1t2x1121x-t-22dxtdt.a2x2dx1,-tdtdtttasint(一t)22.xtarcsinadxacost2Ct2（三角换元）22.acostdtsintco

22、stC2a1cos2t2dt分部积分法函数排序次序：运用分部积分法言十算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序;就近凑微分：（v使用分部积分公式：“反、对、藉、三、指”dxdv)udvuvvdu展开尾项vduvudx,判断a.若vudx是容易求解的不定积分，则直接言十算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b.若vudx依旧是相当复杂， 无法通过a中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数求exx2dxK求解示例解：exx2dx2x2xxedxxde2xexe

23、xdxx2ex2xdK求解示例解：exsinxdxxecosxxecosxxecosx即:x2xedxxeexsinxdxxedcosx2xex2excosxcosxdxxecosxdxecosxxxesinxsinxdex xesinxesinxdxxxx esinxdxecosxesinxx1xesinxdx-esinxcosx2第四节有理函数的不定积分有理函数（方Px设：Qx对于有理函数mpxaxnqxb0 xPx-,当Px次数时，有理函数sinxsinxdm1a1xn1xambnx的次数小于QPx是真分式；当Px的次数Qx高等数学期末复习资料第14页（共9页）高等数学期末复习资料第15

24、页（共9页）大于Qx的次数时，有理函数是假分式Qx有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）Px将有理函数的分母Qx分拆成两个没有Qx公因式的多项式的乘积：kxa；其中一个多项式可以表示为一次因式二次质因式而另一个多项式可以表示为l第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质定积分的定义（）fxdxlimfixiIa0i1ii（fx称为被积函数，fxdx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限,a,b称为积分区间）px2p4q0）；定积分的性质（）即：QxxQ2bfxdxaudu般地：mxn则参数aafxdx0aax2成则参数pb，qabkfxdxa（线性性质）k1fxk

25、2gxbkfxdxabdxk1fxdxabk2gxdx八Px则设有理函数Qx的分拆和式为:（积分区间的可加性）bcbfxdxfxdxfxdxaacP2x2xpx若函数fx在积分区间a,b上满足fx0,其中PxP2xM1xN1M2xN221xpxq2xpx2pxqb则fxdx0;a（推论一）若函数fx、函数gb足fxgx,贝Uab（推论二）fxdxax在积分区间a,b上满bfxdxagxdx;bfxdxaMlxNlx2pxq1MI参数A1,A2,.,Ak,N1M2N2MlNl由待定系积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式牛顿-莱布尼兹公式（）（定理三）若果函数Fx是连续函数fx在区间数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解x2-dx（构造法）12x.dxx1x1x