流体力学第2章

1、宏伟的三峡工程宏伟的三峡工程混凝土重力坝，坝顶总长3035米，坝顶高程 185 米，正常蓄水位175 米，总库容393 亿立方米。泄洪坝段每秒泄洪能力为11万立方米，年均发电量849 亿度。双线五级船闸，可通过万吨级船队；单线一级垂直升船机，可快速通过3000吨级客货轮 流流体体静静力力学学研究内容：流体平衡规律及应用研究内容：流体平衡规律及应用流体作用力的种类、特点、计算、度量和应用流体作用力的种类、特点、计算、度量和应用研究方法：数学方法研究方法：数学方法微元法、反正法、连续函数的泰勒级数微元法、反正法、连续函数的泰勒级数基本原理：受力平衡方程基本原理：受力平衡方程力与力矩平衡方程、达郎贝

2、尔原理力与力矩平衡方程、达郎贝尔原理Fluid Statics 独立完整、严格符合实际、无需验证独立完整、严格符合实际、无需验证 对理想流体和粘性流体都适用对理想流体和粘性流体都适用工程应用：求应力分布和合力工程应用：求应力分布和合力流体内部应力空间分布规律、承压面上的合力流体内部应力空间分布规律、承压面上的合力2-1 平衡流体上的作用力平衡流体上的作用力 2-2 流体平衡的微分方程流体平衡的微分方程2-3 重力场中的平衡流体重力场中的平衡流体2-4 静压强的计算与测量静压强的计算与测量2-5 平衡流体对壁面的作用力平衡流体对壁面的作用力v质量力质量力v表面力表面力沿切线方向的表面力沿切线方向

3、的表面力沿法线方向的表面力沿法线方向的表面力平平 衡衡重力场中的平衡重力场中的平衡（流体对地球无相对运动）（流体对地球无相对运动）相对平衡相对平衡（流体对运动容器无相对运动）（流体对运动容器无相对运动）重力重力惯性力惯性力直线运动惯性力直线运动惯性力曲线运动惯性力曲线运动惯性力离心力离心力哥氏力哥氏力与流体微团质量大小有关，且集中作用在与流体微团质量大小有关，且集中作用在微团质量中心上的力。微团质量中心上的力。2-1 平衡流体上的作用力zyxoRVGImF 作用在流体微团上的质量力作用在流体微团上的质量力 质量力加速度或单位质量力质量力加速度或单位质量力mamdFv1 1、质量力、质量力gGM

4、aIM2rRMRIGmF)(kjiaFZYXdMdMdmm或)(kjiaFZYXMMmm X X、Y Y、Z Z- -单位质量分力单位质量分力kjiaZYXdMdFmm2-1 平衡流体上的作用力v 2 2、表面力表面力大小与表面面积有关大小与表面面积有关, ,且分布且分布作用在流体表面上的力。作用在流体表面上的力。 结论:作用在平衡流体上的任一点的表面力只有沿受压表面内法线方向的压应力，即流体静压强。(反正法)沿表面内法线方向的压力沿表面内法线方向的压力沿表面切向的摩擦力沿表面切向的摩擦力ndApFnsdAF易流动性易流动性! 对平衡流体对平衡流体0dydu0F无拉F( (液体自由表面处除外液

5、体自由表面处除外) )zyxoFAT流体受力与固体受力有何不同？流体静压力是合力矢量流体静压力是合力矢量, ,其大其大小和方向与受压面密切相关小和方向与受压面密切相关2-1 平衡流体上的作用力v3 3、流体静压力与压强、流体静压力与压强点压强的定义点压强的定义平均流体静压强的极限称该点平均流体静压强的极限称该点流体静压强或压应力流体静压强或压应力),(zyxzyxoFA),(zyxpp dAdFAFpA0lim用压强表示的静压力用压强表示的静压力面积微元矢量面积微元矢量 ndAAd是单位外法向矢量是单位外法向矢量nnpdAFdAnpdAF类似于已知压力分布，求合力？试证明：流体静压强没有方向性

6、，是标量试证明：流体静压强没有方向性，是标量dzzOCdyyOBdxxOAzyx000limlimlim压强的标量性质压强的标量性质证明：证明：建立几何模型。在流体中取以建立几何模型。在流体中取以dx、dy、dz（无穷小量）无穷小量）为棱边的四面体流体微元为棱边的四面体流体微元思路？（四个方向：（四个方向：x x、y y、z z方向，任意方向；方向，任意方向； 已知条件：力平衡方程；已知条件：力平衡方程； 求证条件：若各方向上的值相等，则与方向无关，是标量求证条件：若各方向上的值相等，则与方向无关，是标量 证明方法：微元法）证明方法：微元法）平衡流体的微元四面体平衡流体的微元四面体OzyxAB

7、Cnzpypxpnp流体处于平衡状态，则流体处于平衡状态，则 0PFddm微元质量力：XdxdydzXdVdFmx61)(ZdxdydzZdVdFmz61)(YdxdydzYdVdFmy61)(微元表面力：cos21PxABCpdydzpdnxcos21PyABCpdxdzpdnycos21PzABCpdxdypdnz斜面斜面ABCABC外法线方向的单位矢量为外法线方向的单位矢量为n，与三个坐标轴正向的夹角分别为与三个坐标轴正向的夹角分别为 ,OzyxABCnzpypxpnp2-1平平衡衡流流体体上上的的作作用用力力dxdyABCdxdzABCdydzABC21cos21cos21cos因为因

8、为所以所以dydzppdydzpdydzpdnxnx21)(2121Pxdxdzppdxdzpdxdzpdnyny21)(2121Pydxdyppdxdypdxdypdnznz21)(2121PzkjiPdxdyppdxdzppdydzppdnznynx21)(21)(21)(kjiFdxdydzZdxdydzYdxdydzXdm616161综上所述综上所述OzyxABCnzpypxpnp021)(61021)(61021)(61dxdyppZdxdydzdxdzppYdxdydzdydxppXdxdydznznynx2-1 平衡流体上的作用力若若 ，四面体缩为一个点，则从，四面体缩为一个点，

9、则从任何方向作用于一点上的流体静压强均相等。任何方向作用于一点上的流体静压强均相等。略去高阶无穷小量，可得略去高阶无穷小量，可得nzyxpppp0dzdydx，（1 1）垂向性，即）垂向性，即 ( (用反证法证明用反证法证明) )（2 2）各向同性，各向同性，即即 ( (与固体完全不同与固体完全不同) )压强的两个特点压强的两个特点pp且),(zyxfp 与固体中应力有何不同？原因是什么？2-2 流体平衡的微分方程（1）为什么要找为什么要找“f”？固体力学中为何不先如此？固体力学中为何不先如此？（2）怎样找怎样找“f”？（3）找到找到“f”又有什么作用？又有什么作用？提出提出三个问题三个问题压

10、强特点压强特点1 1已清楚，现在需要已清楚，现在需要 确定确定P=f(x,y,z) 中的中的“f ”答：答：研究对象性质不同。研究对象性质不同。流体质点的受力不完全相同，是分布力，不宜作为集中力处理；流体无固定形状，而固体有固定形状和体积，受力位置确定，容易作为集中力处理。 解决问题的过程不同。解决问题的过程不同。对流体而言，先确定压强空间分布规律，总的受力可用数学方法解决。固体不必如此； 解决问题的着眼点不同。解决问题的着眼点不同。研究流体用相对微观方式研究内部质点受力；研究固体是用宏观方式研究整体受力； 解决问题的用途不同。解决问题的用途不同。确定压强的空间分布规律，是为了解决流体对固体边

11、界（如容器或壁面）的作用力。答：答：已知什么已知什么流体质点，连续介质，流体平衡流体质点，连续介质，流体平衡 求求 什什 么么压强与位置坐标的关系压强与位置坐标的关系 用什么方法用什么方法微元体受力分析法微元体受力分析法 用什么规律用什么规律力平衡方程、达郎贝尔原理力平衡方程、达郎贝尔原理质量力：质量力：ABCDABCD面上的总压力为：面上的总压力为：EFGHEFGH面上的总压力为：面上的总压力为：kjiFZYXdxdydzmdydzdxxpp)21(dydzdxxpp)21(v4 4、欧拉平衡方程式、欧拉平衡方程式思路怎样找压强与空间位置的关系？（显然，利用微元法，但前面的微元体不行；（显然

12、，利用微元法，但前面的微元体不行； 已知条件：力平衡方程；求证条件：已知条件：力平衡方程；求证条件： ）),(zyxpp OzyABCDExFGHK K2dxxpp2dxxppdxdydz微元六面体设微元六面体的中设微元六面体的中心压强为心压强为),(zyxp0)21()21(dxdydzXdydzdxxppdydzdxxpp平衡方程式：平衡方程式：或者01gradpF欧拉平衡方程式普遍适用任何流体欧拉平衡方程式普遍适用任何流体01pFkzpjypixppgradp01xpX01ypY01zpZ整理后得同理平衡微分方程平衡微分方程HamiltonHamilton算子算子kzjyix2-2 流流

13、体体平平衡衡的的微微分分方方程程01dzzpdyypdxxpZdzYdyXdx),(zyxdp所以称欧拉平衡方程式的综合形式欧拉平衡方程式的综合形式，或压强微分公式压强微分公式。)()(rdFZdzYdyXdxdpv5 5、压强微分公式、压强微分公式两边乘以微分线段dx、dy、dz后相加欧拉方程式欧拉方程式010101zpZypYxpX),(zyxpp是否求出是否求出? ?2-2 流流体体平平衡衡的的微微分分方方程程v6 6、质量力的势函数、质量力的势函数则称则称U=U(x,y,z)为为质量力势函数质量力势函数或或质量力有势质量力有势zUZyUYxUX,满足满足zXxZyZzYxYyX,对欧拉

14、方程各式交叉求导得对欧拉方程各式交叉求导得全微分之充全微分之充要条件要条件ZdzYdyXdxdU存在某一个坐标函数U=U(x,y,z)，其全微分 dU 等于单位质量力所做的微元功rdFZdzYdyXdxdU2-2 流流体体平平衡衡的的微微分分方方程程 例例2-1 2-1 试求重力场中平衡流体的质量力势函数，并试求重力场中平衡流体的质量力势函数，并说明其物理意义。说明其物理意义。gdzZdzYdyXdxdzzUdyyUdxxUdU设基准面z=0处,即零势面上的势函数值U=0积分可得重力场中平衡流体的力势函数为gzUz zz zx xo oy y-g-g重力场的质量分力重力场的质量分力 解解 如图

15、所示，单位质量分力为 X=Y=0，Z=-g,则微元功是：)(rdFdUdp)(00UUpppp 、0分别是基准点和任一点的压强分别是基准点和任一点的压强)(0UU 是从基准点到任一点，单位质量力做的功，是从基准点到任一点，单位质量力做的功，只与质量力有关，与初始压力无关只与质量力有关，与初始压力无关势函数的物理意义CgzU帕斯卡原理帕斯卡原理2-2 流流体体平平衡衡的的微微分分方方程程水水abF工件工件水压机原理水压机原理在平衡状态下常密度流体中，任意一点的压强变化在平衡状态下常密度流体中，任意一点的压强变化必将等值地传递到流体的其它各点上。必将等值地传递到流体的其它各点上。000)(ppUU

16、pp（1 1）作用在静止常密度流体上的质量力必须是有势）作用在静止常密度流体上的质量力必须是有势力，即只有在有势的质量力作用下流体才能平衡。力，即只有在有势的质量力作用下流体才能平衡。（2 2）在有势质量力的作用下，流体中任一点的静压）在有势质量力的作用下，流体中任一点的静压强可由坐标唯一地确定。强可由坐标唯一地确定。结论结论2-2 流流体体平平衡衡的的微微分分方方程程（3 3）帕斯卡定律：在平衡状态下常密度流体中，任）帕斯卡定律：在平衡状态下常密度流体中，任意一点特别是边界的压强变化将等值地传递到流体的意一点特别是边界的压强变化将等值地传递到流体的其它各点上。其它各点上。),(000zyxf

17、p)UUpp000)(ppUUppZdzYdyXdxdUzUZ,yUY,xUXdUdp1 1、等压面也是等势面、等压面也是等势面。 质量力势函数等于常数的面叫作等势面质量力势函数等于常数的面叫作等势面CUUUppdUdp)(00，2 2、等压面与质量力加速度矢量垂直、等压面与质量力加速度矢量垂直。 两矢量点积为零，说明两矢量相互垂直。两矢量点积为零，说明两矢量相互垂直。00sadZdzYdyXdxm2-2 流流体体平平衡衡的的微微分分方方程程流体中压强相等各点所组成的平面或曲面叫等压面。流体中压强相等各点所组成的平面或曲面叫等压面。v7 7、等压面微分方程式、等压面微分方程式0)(ZdzYdy

18、Xdxdp0rdFZdzYdyXdx等压面微分方程0,dpCp等压面上等压面上等压面的四个性质3 3、重力场中的等压面是水平面、重力场中的等压面是水平面。4.4.两种不相混合的平衡液体的交界面是等压面两种不相混合的平衡液体的交界面是等压面。aa12a amAB两种平衡液体的交界面两种平衡液体的交界面证明证明：假定密闭容器与地球有相对：假定密闭容器与地球有相对 运动，两种不相混合的液体运动，两种不相混合的液体 在容器中处于平衡状态。在容器中处于平衡状态。 如果如果a-aa-a不是等压面，不是等压面， 则则A A、B B两点的压强差从两种两点的压强差从两种 平衡液体中分别写为平衡液体中分别写为所以

19、交界面所以交界面a-aa-a必须是等压面、等势面。必须是等压面、等势面。2-2 流流体体平平衡衡的的微微分分方方程程如果容器对地球无相对运动，则重力场中两液体如果容器对地球无相对运动，则重力场中两液体的交界面不但是等压面而且是水平面的交界面不但是等压面而且是水平面。，dUdp10dpdUdUdp2dU)(0125.5.正压流体的等压面、等密度面、等温度面重合正压流体的等压面、等密度面、等温度面重合)(p0p0pF0p0p0p0pFh封闭容器封闭容器敞口容器敞口容器下面的哪些情况不符合帕斯卡原理?v帕斯卡原理的重要应用：放大作用力帕斯卡原理的重要应用：放大作用力水压机、油压机、液压千斤顶、液压制

20、动闸水压机、油压机、液压千斤顶、液压制动闸关于等压面的几个问题 气体与液体交界的气体与液体交界的自由表面是等压面自由表面是等压面 等压面一定是水平面等压面一定是水平面2.2.下图中的等压面有哪些？下图中的等压面有哪些？1.1.下面的说法是否正确？下面的说法是否正确？gfbaedc水水油油阀门阀门2-2 流流体体平平衡衡的的微微分分方方程程1.1.容器作匀加速直线运动容器作匀加速直线运动 液体运输2.2.容器作等角速度回转运动容器作等角速度回转运动 旋风分离器、袋式除尘器、离心铸造v8 8、平衡微分方程的应用、平衡微分方程的应用zyag水平基础运动方向max例题例题2-12-1等加速槽车（或等加

21、速槽车（或 汽车油箱）中的自由液面汽车油箱）中的自由液面。盛有液体的容器沿着与水平盛有液体的容器沿着与水平基面成基面成 角的斜面向下以匀角的斜面向下以匀加速度加速度 作直线运动。作直线运动。a求：求：容器中自由液面的形状容器中自由液面的形状 和和等压面等压面的形状的形状解解将运动坐标系取在容器上，原点在自由液面上。 液体的每个质点均受有两种质量力： 与运动方向相反的虚拟惯性力 ，重力 。aIMgGMzyag水平基础水平基础运动方向运动方向max0ZdzYdyXdx将（1）式代入到等压面微分方程式结论结论：等压面(包括自由表面)是与水平基面成倾角 的一族平行平面,这族平面与单位质量力 的方向垂直

22、.ma单位质量力为:gakjiaZYXm) 1 (sincos0gaZaYX单位质量分力为:2-2 流流体体平平衡衡的的微微分分方方程程0)sin(cosdzgadyatgagadydzsincos（等压面的斜率）特例0gatgv不可压缩流体的静压强基本公式不可压缩流体的静压强基本公式重力场中的平衡流体是重力场中的平衡流体是流体静力学流体静力学的主要研究对象的主要研究对象Cpzz、p为平衡流体中任何一点的铅直坐标及静压强，常数可由边界条件确定。它有重要的实用价值它有重要的实用价值。dzgdzdp重力场中流体的欧拉平衡方程0)(0pzddpdz或 连续、均质的不可压缩流体，密度或重度是恒连续、均

23、质的不可压缩流体，密度或重度是恒定常数，在流体连续区域内积分，则定常数，在流体连续区域内积分，则0pzx0h分不可压缩和可压缩两种情况测压管水头测压管水头，单位重量液体，单位重量液体具有的总势能具有的总势能ABp0p0p0zhzphp单位重量流体的位置势能或位置水头zp单位重量流体的压强势能或压强水头物理意义：平衡流体中各点的总势能物理意义：平衡流体中各点的总势能包括位置势能和压强势能是一定的。包括位置势能和压强势能是一定的。12120p2p2zapap1p1z静压强基本公式的物理意义静压强基本公式的物理意义如图,1、2两点的静压强基本公式：2211pzpzphhzpzpp0)(如图,A、B两

24、点的静压强基本公式：pmgmghp或EpmgmgzCpz量纲都是量纲都是 L,L,都都代表代表一定的液柱高度。一定的液柱高度。0p流体静压强由两部分组成：静压强基本公式中的积分常数静压强基本公式中的积分常数C C可以用平衡可以用平衡液体自由表面上的边界条件来确定。液体自由表面上的边界条件来确定。00,ppzz00pzpz或 hpzzpp000)(不可压缩流体的静压强分布规律不可压缩流体的静压强分布规律物理意义物理意义静压强分布图静压强分布图0pHH自由液面上的压强自由液面上的压强单位截面上液柱重量单位截面上液柱重量h0p静压强与容器的形状无关静压强与容器的形状无关。0pzx0hhp若 则 a0

25、pp 绘压力分布图绘压力分布图绘挡水面上的压力分布图绘挡水面上的压力分布图（1）由静压方程确定作用面上压强的大小，）由静压方程确定作用面上压强的大小， 根据压强的垂向性确定压强的方向。根据压强的垂向性确定压强的方向。（2）箭头的方向沿作用面的内法线方向，）箭头的方向沿作用面的内法线方向， 线段的长度与该点的压强大小成比例。线段的长度与该点的压强大小成比例。v流体静压强分布图流体静压强分布图（3）平面上的压强箭头尾端连线是一直线。）平面上的压强箭头尾端连线是一直线。 曲面上的压强箭头尾端连线是一曲线。曲面上的压强箭头尾端连线是一曲线。（4）大气压的作用在各个方向上是平衡的，只需绘制）大气压的作用

26、在各个方向上是平衡的，只需绘制 相对压强的分布图。相对压强的分布图。绘曲面上的压力分布图绘曲面上的压力分布图可压缩流体的静压强分布规律可压缩流体的静压强分布规律一般的仪器、设备内一般的仪器、设备内气体压强的分布气体压强的分布hpzzpp000)(0pzx0h对高度有限，气体密度很小对高度有限，气体密度很小C0 pp大大气层的压强分布气层的压强分布对流层对流层,011km,011km： kPa kPa 同温层同温层,1125km,1125km： kPakPa256. 54430013 .101zp3436110006exp.22zpdzgdzdpdzRTpgdpzTT0不可压缩平衡液体的自由液面

27、若与大气连通，则不可压缩平衡液体的自由液面若与大气连通，则v9 9、静压强的计算标准、静压强的计算标准app 0hppa对于压强的大小，从不同的基准算起对于压强的大小，从不同的基准算起就有不同的表示方法。就有不同的表示方法。表压强表压强比当地大气压高的压强真空度真空度比当地大气压低的压强绝对压强绝对压强以绝对真空状态的压强为零点计量的压强ap相对压强相对压强以当地大气压 作为零点计量的压强值MAB压力容器p表压强amppp真空度pppav绝对压强mapppappapp绝对压强vappp0p绝对真空绝对压强、表压强、真空度的关系绝对压强、表压强、真空度的关系当地大气压apatmp标准大气压aat

28、mpp1 1、应力单位、应力单位Pa10barmNP52a或2 2、液柱高单位、液柱高单位。 常用单位有米水柱 、毫米汞柱 不同液柱高度的换算关系由 求得2211hhpO)(mH2(mmHg)1212hh3 3、大气压单位、大气压单位。 标准大气压 是在北纬45度海平面上时测定的数值。C15(atm)为计算方便认为：Pa101bar(atm)51大气压v1010、静压强的计量单位、静压强的计量单位Pa101.013251.01325barm1.033kgf/c760mmHg(atm)521标准大气压M1M3M612345水酒精61h2h3h4h5hap 例题例题2-22-2如图如图03/790

29、, 3/1000,p101300m,5 . 1,m1,m8 . 0,m1,m2 . 1a54321空气酒精水mkgmkgphhhhha求:1、2、3、4、5、6各点的绝对压强以及M1、M2、M6三个压强表的表压强或真空度。v1111、静压强的计算、静压强的计算h水空气ph水p图（1） 图（2）如图（1），表压强为hpm1 1、测压管、测压管 由一根细直玻璃管直接连在需要测量的设备上，由一根细直玻璃管直接连在需要测量的设备上，管上端与大气相通。为避免毛细管作用的影响，测压管上端与大气相通。为避免毛细管作用的影响，测压管的直径一般为管的直径一般为10mm-5hpv如图（2）真空度 1h2happp

30、1h2hap图（1）1212122121hhphhpphphpppaa表压强绝对压强1212hhppphhppava真空度绝对压强2 2、U U型测压计型测压计 当被测压强或压强差的绝对值较大时，可用以水银当被测压强或压强差的绝对值较大时，可用以水银为工作介质的为工作介质的U U型管测压计。型管测压计。2211hpphppa如图（1）apphhpp2211如图（2）12图（2） A U-tube manometer measures the pressure difference between two points A and B in a liquid of mass density .The U-tube contains mercury of mass density .Calculate the difference in pressure if a=1.5m, b=0.75m and h=0.5m.12ahbABMass density1Mass density212Solution. Since 1 and 2 are at same level in the same liqu