刚体定轴转动定律

1、关于刚体定轴转动定律现在学习的是第一页，共36页复复 习习质点的角动量质点的角动量力矩力矩FrM LrmvsinLrmv 角动量定理角动量定理dLMdt角动量守恒定律角动量守恒定律若若0ML常常矢矢量量sinMrF 00ttMdtLL现在学习的是第二页，共36页本章主要内容本章主要内容1 1 刚体的运动刚体的运动2 2 刚体的角动量刚体的角动量3 3 刚体受到的力矩刚体受到的力矩4 4 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律5 5 刚体的动能定理刚体的动能定理6 6 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律现在学习的是第三页，共36页6.1 6.1 刚体的运动与描述刚体的运动与描述 质点的运动只代表

2、物体的平动，物体实际上是有形质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的。的。 刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（大小都不变的固体称为刚体（rigid body ）。）。 刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，

3、刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。刚体同质点一样，也是一个理想化模型。现在学习的是第四页，共36页一、刚体的运动一、刚体的运动 固联在刚体上的任一条固联在刚体上的任一条直线，在各个时刻的位置始直线，在各个时刻的位置始终保持彼此平行的运动，叫终保持彼此平行的运动，叫做刚体的平动。做刚体的平动。 1.平动平动 刚才的动画演示了一个圆柱体的平动。在运动过刚才的动画演示了一个圆柱体的平动。在运动过程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相同的。程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相同的。 而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都而且在任何时刻，各个

4、质点的速度和加速度也都相同。这时我们可以选取刚体上任一点的运动来代表相同。这时我们可以选取刚体上任一点的运动来代表刚体的运动。刚体的运动。 现在学习的是第五页，共36页2.转动转动 如果刚体上所有各点绕同一如果刚体上所有各点绕同一直线（转轴）作圆周运动，则称直线（转轴）作圆周运动，则称为刚体的转动。为刚体的转动。 转动时，轴外各点转动时，轴外各点在同一时间间隔内走过在同一时间间隔内走过的弧长虽然不一样，但的弧长虽然不一样，但角位移全同。角位移全同。现在学习的是第六页，共36页固定转轴：转轴不随时间变化固定转轴：转轴不随时间变化 刚体定轴转动刚体定轴转动瞬时转轴：转轴随时间变化瞬时转轴：转轴随时

5、间变化 一般转动一般转动现在学习的是第七页，共36页3.刚体的一般运动刚体的一般运动 例如，一个车轮的滚动，例如，一个车轮的滚动，可以分解为车轮随着转轴的可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转平动和整个车轮绕转轴的转动。动。 在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为质在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心轴的心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心轴的转动（应用转动定律）。转动（应用转动定律）。现在学习的是第八页，共36页一个汽车轮子在一个汽车轮子在地上的滚动地上的滚动A、B、C、各点的运各点的运动都不相同动都不相同绕过o 轴的转动oA

6、BCo o轮子的平动ABCoABCoABABCCo刚体的运动平动转动刚体的运动平动转动平动：刚体上所有点运动状态都相同平动：刚体上所有点运动状态都相同转动：各质元均作圆周运动转动：各质元均作圆周运动现在学习的是第九页，共36页二二. 刚体平动的描述刚体平动的描述 刚体的平动刚体的平动可用质心运动来代表整体的运动可用质心运动来代表整体的运动1。质心的位矢。质心的位矢设设N N个质点个质点m m1 1, ,m m2 2, , ,m mN N， 对应的位矢对应的位矢Nrrr21, iiicmrmr iicxmMx1定义定义：质心的位矢质心的位矢 iicymMy1 iiczmMz1 xdmMxc1 y

7、dmMyc1 zdmMzc1质心质心 重心重心现在学习的是第十页，共36页2。质心运动定理质心运动定理质心的速度质心的速度：dtrdVcc )1(iirmMdtd dtrdmMii 1iivmM 1质心的加速度质心的加速度：dtVdacc )1(iivmMdtd dtvdmMii 1iiamM 1设设m mi i 受力受力内内外外、iifF则：则：iiiifFam 对所有质点求和对所有质点求和： iiiifFam0合外合外F MMcaMF 合合外外 质心运动定理质心运动定理即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点，即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点， 所受的力是质点系受的

8、所有外力。所受的力是质点系受的所有外力。注：注：质心上可能既无质量，又未受力。质心上可能既无质量，又未受力。 iiicmrmr2现在学习的是第十一页，共36页角位置角位置角速度角速度dtdtt lim0角加速度角加速度220limtddtdtdt pro转 动 平转 动 平面面三三. 刚体（定轴）转动的角量描述刚体（定轴）转动的角量描述现在学习的是第十二页，共36页6.2 6.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律一一. 刚体定轴转动所受力矩刚体定轴转动所受力矩 力矩力矩一般定义一般定义：FrM M此处此处即可是对某点也可是对某轴而言即可是对某点也可是对某轴而言当刚体作定轴转动时，力矩就当刚

9、体作定轴转动时，力矩就可以用标量来表示。可以用标量来表示。o o 习惯上习惯上把定轴用把定轴用z表示表示力矩力矩表示为表示为zM现在学习的是第十三页，共36页o o .P1） 在垂直在垂直o o o o 的平面内的平面内FF sinMrF2） 不在垂直不在垂直o o o o 的平面内的平面内Fo o .PrrFF/F/FFF对刚体绕对刚体绕o o 轴轴转动无贡献转动无贡献计算力矩时只需考虑计算力矩时只需考虑 的力矩的力矩F 总可分解成两个分量总可分解成两个分量：FFroor5zziMM合外力矩合外力矩现在学习的是第十四页，共36页o o FFF r1 。一个质点的情况。一个质点的情况 F nF

10、法向力法向力nF对轴的矩为零对轴的矩为零切向力切向力Fmamr 对轴的矩对轴的矩2zMrFmr 二二. 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律见右下平面图见右下平面图现在学习的是第十五页，共36页（刚体类似于多质点系刚体类似于多质点系）设某刚体绕固定轴设某刚体绕固定轴Z Z轴转动轴转动Zmi取质量元取质量元m mi i，其到转轴的距离其到转轴的距离 r ri iiriFifi i 受力如图示受力如图示， 根据牛顿定律根据牛顿定律：iiiiamfF各质元加速度不同各质元加速度不同，但角加速度相同但角加速度相同 iiiiiiamfFsinsin用用 r ri i乘以上式：乘以上式： iiiiiiiiia

11、rmfrFrsinsin ra 2sinsiniiiiiiiirmfrFr将所有质元相加：将所有质元相加： 2sinsiniiiiiiiirmfrFrfifj0|iiFr )(2iirmM 合合外外ro2。连续质量分布刚体的情况。连续质量分布刚体的情况现在学习的是第十六页，共36页定义定义2iirmJM合合外外 )(2iirm刚体对定轴（刚体对定轴（z z 轴）的轴）的 转动惯量转动惯量则有则有zdMJJdt 定轴转动定律定轴转动定律由由zMJ 与牛顿定律比较与牛顿定律比较：MJ 或或amF aJ mFMm 反映质点的平动惯性反映质点的平动惯性J 反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性现在学习的

12、是第十七页，共36页3。理解注意。理解注意是是合外力矩合外力矩 这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加速度与这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。量成反比。JdJdtzdLdt1nziziMM 内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因而不内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因而不能改变刚体的角速度。能改变刚体的角速度。这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例（1）zM（2）（3）现在学习的是第十八页，共36页质量连续分布质量连续分布质

13、量离散分布质量离散分布对刚体定义对刚体定义转动惯量转动惯量单质点单质点单位：单位：kgm22Jr dm2Jr dm2i iiJm r质量元质量元dm第第 i 个质点的质量个质点的质量imr 到转轴的距离到转轴的距离dmir 到转轴的距离到转轴的距离im2Jmr三三. 转动惯量及计算转动惯量及计算现在学习的是第十九页，共36页质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分

14、布的刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量。体才能用积分计算出刚体的转动惯量。dmdl dmdsdmdV现在学习的是第二十页，共36页 如图套两个质点的细杆长如图套两个质点的细杆长l ， 杆绕空端转动，杆绕空端转动，分析整个系统绕分析整个系统绕 o 点的转动惯量。将两质点换位再点的转动惯量。将两质点换位再作计算。作计算。解：普通物理学教案例题1 ：o 2mm由由2i iiJm r232ml( )22122lJmmlo m 2m 294ml( )22222lJmml结论：结论：21JJ现在学习的是第二十一页，共36页 J 与刚体的质量分布有关与刚体的质量分布有关 J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关

15、因为质量分布是对转轴而言的，上例也可看作因为质量分布是对转轴而言的，上例也可看作质心离转轴越远转动惯量越大。质心离转轴越远转动惯量越大。 形状和转轴确定后，形状和转轴确定后，J 与刚体的质与刚体的质量有关量有关AlFe讨论讨论影响转动惯量的因素影响转动惯量的因素现在学习的是第二十二页，共36页 求长为求长为L、质量为质量为 m 的均匀细棒对端点轴和的均匀细棒对端点轴和中垂轴的转动惯量。中垂轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题2 ：ABL/2L/2Cx取如图坐标取如图坐标取质量元取质量元dmdx ABLxdm/22103LJxdxmL /2222212LLJxdxm L 12JJ现在学习的是第二

16、十三页，共36页 求质量为求质量为m 、半径为、半径为R 的均匀圆环的转动惯的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：普通物理学教案例题3 ：取质量元取质量元dmdx 2mR2Rdm2JR dmORdm现在学习的是第二十四页，共36页 求质量为求质量为m 、半径为半径为R 均匀圆盘的转动惯均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：普通物理学教案例题4 ：这样的一个圆盘可以视这样的一个圆盘可以视为半径不等的有宽度的为半径不等的有宽度的圆环拼接而成。圆环拼接而成。任取其中一环任取其中一环2dmrdr利用前例环的转动惯

17、量结果利用前例环的转动惯量结果32 r dr 2dJr dm412R302Rr dr JdJ2mR 212JmRRrdr现在学习的是第二十五页，共36页 内半径为内半径为 R1 外半径为外半径为 R2 质量为质量为 m 的匀质的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量。中空圆柱绕其对称轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题5 ：1R2R()22212mrdrRR 2dmrdr ()21222212RRmJrrdrRR ()222112m RR现在学习的是第二十六页，共36页 质量为质量为m 半径为半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量。转动惯量。解：普通物理学教案例题6 ：s

18、inR d 在球面取一圆环带，在球面取一圆环带，半径半径sinrR 224mdmrRdR 2Jr dmsin22302 mRd 223mR现在学习的是第二十七页，共36页 质量为质量为m 半径为半径为R 的匀质球体绕过球心轴的匀质球体绕过球心轴的转动惯量。的转动惯量。解：普通物理学教案例题7 ：MR把球体看作无数个同心薄球壳的组合把球体看作无数个同心薄球壳的组合 23443mdmr drR 233mr drRJdJ223dm r4302Rmr drR225mR现在学习的是第二十八页，共36页 如图所示，滑轮半径为如图所示，滑轮半径为r 。 （设绳与滑轮间（设绳与滑轮间无相对滑动）无相对滑动）若

19、若m2与桌面间的摩擦系数为与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度求系统的加速度a 及张力及张力 T1 与与 T2；若桌面光滑，再求。若桌面光滑，再求。解：普通物理学教案例题8：2m2T1T1mJ1m g2m g 力和力矩分析、力和力矩分析、方法方法1 1 按隔离法按隔离法建坐标建坐标y0对质点用牛顿定律对质点用牛顿定律对刚体用转动定律对刚体用转动定律ar 222Tm gm a 12TrT rJ 111m gTm a限制性条件限制性条件现在学习的是第二十九页，共36页12212/mmagmmJ r 解得：解得：22211212(/)/mmJ rTm gmmJ r 21122212(/)/mmJ r

20、Tm gmmJ r 若桌面光滑，摩擦力矩为零若桌面光滑，摩擦力矩为零现在学习的是第三十页，共36页2m2T1T1mJ1m g2m g y0解法解法2由系统角动量定理由系统角动量定理取取m1 、m2 、 J 为系统为系统外力矩外力矩系统的角动量系统的角动量12 Mm grm gr 2212Lm rm rJ （任一时刻）（对滑轮转轴）（任一时刻）（对滑轮转轴）现在学习的是第三十一页，共36页由角动量定理由角动量定理dLMdt12 m grm gr 2212()dm rm rJdt 由由解得：解得：221212() m grm grm rm rJ /a r 12212/mmagmmJ r 再由牛顿定律可得张力。再由牛顿定律可得张力。2m2T1T1mJ1m g2m g y0这也是定轴转动定律这也是定轴转动定律(整体分析方法整体分析方法)现在学习的是第三十二页，共36页一根一根均质细杆（均质细杆（ m 、L ），一端可在竖直平面内），一端可在竖直平面内自由转动。杆最初静止在水平位置，由此下摆自由转动。杆最初静止在水平位置，由此下摆 角角求角