大学物理 第4章 功和能

1、第第 4 章章 功与机械能功与机械能4.1 4.1 功功 动能动能4. 2 动能定理动能定理4.3 4.3 保守力做功与势能保守力做功与势能4. 4 引力势能引力势能4. 5 机械能守恒定律机械能守恒定律4. 6 守恒定律的意义守恒定律的意义4. 7 碰撞碰撞风力提水机风力提水机一、恒力的功一、恒力的功（常力沿直线做的功）（常力沿直线做的功） A=Fcos SrFA记作MMFF S功等于质点受的力和它的位移的点积功等于质点受的力和它的位移的点积讨论讨论： 功是标量，只有大小正负之分。功是标量，只有大小正负之分。 当当0 0，力对物体做正功，力对物体做正功。 当当 = /2时，时， dA=0，力

2、对物体不做功，力对物体不做功。 当当 /2 时，时，dA b 。(1)求求质点在质点在A (a,0)点和点和B(0,b)点时的动能。点时的动能。解：解：(1)j tbi tarsincosj tbi tarsincostbytaxsincostbvtavyxcossin由由(2)求求质点所受的作用力以及当质点从质点所受的作用力以及当质点从A运动到运动到B的的 过程中分力过程中分力 、 所做的功。所做的功。yxFFAxyaormBbtA(a,0)点：cos t=1 sin t=0B(0,b)点：cos t=0 sin t=1tbvtavyxcossin2222212121mbmvmvEyxKA2

3、222212121mamvmvEyxKBj tmbi tmajmaimaFyxsincos)2(22j ymi xm222202021maxdxmdxFWaaxx2202021mbydymdyFWbbyyAxyaormBbt例例1：在光滑水平桌面上，有一弹簧振子系统，劲度系数在光滑水平桌面上，有一弹簧振子系统，劲度系数k =200N/m，把振子从平衡位置拉长为，把振子从平衡位置拉长为x1=4cm，问问在在弹性限度之内，再拉长弹性限度之内，再拉长4cm ，外力需作多少功？外力需作多少功？解法一，解法一，W 外外= W弹弹 kxdx =kxdx）（）（外JkxkxkxdxWxx2222122108

4、40400802021212121解法二，解法二，W外外=EP=)(1084212122122Jkxkx例例2：用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把钉子钉入木板钉子钉入木板1cm。第二次敲击时，保持第一次敲击钉。第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？由于两次锤击的条件相同，锤击后钉子获得的速由于两次锤击的条件相同，锤击后钉子获得的速度也相同，所具有的初动能也相同；由度也相同，所具有的初

5、动能也相同；由动能定理动能定理钉入过程是钉入过程是阻力作功阻力作功= 钉子动能的增量钉子动能的增量，两次动，两次动能增量相同，能增量相同，两次阻力作功相同两次阻力作功相同。解：解：以钉入方向为以钉入方向为X轴，板面为原点。阻力与深度成正轴，板面为原点。阻力与深度成正比，则有比，则有f = -kx（k 为阻力系数）；令第一次钉入为为阻力系数）；令第一次钉入为x1=1cm ，第二次钉入为第二次钉入为x2 。由两次作功相等，可得：由两次作功相等，可得：2110 xxxkxdxkxdx21222xx 122xx 取cmxxx41012第二次钉入分析：分析：4.3.1、重力、引力、弹力等保守力、重力、引

6、力、弹力等保守力 与耗散力与耗散力 重力的功重力的功m 在重力作用下由在重力作用下由 a 运动到运动到 b，取地面为坐标原点，取地面为坐标原点. 不管是沿不管是沿acb，还是沿还是沿adb ，结果都一样，即重力作功与路径结果都一样，即重力作功与路径无关；无关；cXYZOab gmrddbabaGkdzjdyidxkmgrdgmW)()()(abzzmgzmgzmgdzba)(mgzWG4、3 4、4 保守力作功保守力作功 势能势能 引力势能引力势能 万有引力的功万有引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以，以M 所在处为原点所在处为原点 , M 指向

7、指向 m 的方向为矢径的正方的方向为矢径的正方向。向。m 受的引力方向与矢径方向相反。受的引力方向与矢径方向相反。可见，万有引力是保守力。可见，万有引力是保守力。l drrMmGl dfWbarrbaf 30rdrrMmGbarr30 )()(00barMmGrMmG rdrl drl drcos确定两个质点，则确定两个质点，则M、m 不变，不变，功功Wf 仅是位矢大小仅是位矢大小r 的函数，的函数，而与路径无关。而与路径无关。Mmr rabrdrbrarl dF 弹力的功弹力的功保守力：保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的始某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种

8、力称为保守力末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力XOab 弹力和弹力作功，只决定于振子在弹力和弹力作功，只决定于振子在X轴上的坐标，而轴上的坐标，而与路径无关。与路径无关。)2121(22abxxskxkxkxdxWba典型的保守力：典型的保守力：重力、万有引力、弹性力、静电力。重力、万有引力、弹性力、静电力。取物体的平衡位置为取物体的平衡位置为x 轴的原轴的原点点：Fk i x 物体由物体由A 点移动到点移动到B 点的过程中弹性力所作的功：点的过程中弹性力所作的功：保守力（保守力（conservative force）定义有两种表述）定义有两种表述 表述一（文字叙述）：表述一（文字叙述

9、）： 作功与路径无关作功与路径无关,只与始末位置有关的力只与始末位置有关的力 称为保守力称为保守力 表述二（数学表示）表述二（数学表示） ：0rfLd保保守力的环流为零。保守力的环流为零。描述矢量场基本性质的方程形式描述矢量场基本性质的方程形式0rdFWl保即rdFrdFrdFBDAADBACB保保保由于0rdFrdFrdFBDAlACB保保保ABDC此即保守力作功的特点此即保守力作功的特点普遍意义：普遍意义：环流为零的力场是保守场，如静电环流为零的力场是保守场，如静电场力的环流也是零，所以静电场也是保守场。场力的环流也是零，所以静电场也是保守场。环流不为零的矢量场是非保守场，如磁场。环流不为

10、零的矢量场是非保守场，如磁场。证明第二种表述：证明第二种表述：如图，水平桌面上有质点如图，水平桌面上有质点 m m ，桌面的摩擦系数为，桌面的摩擦系数为 求：两种情况下摩擦力作的功求：两种情况下摩擦力作的功 rfAbarabd圆弧mRab sfbard Rmg RmgrfAbarab2d直径1）沿圆弧；）沿圆弧；2）沿直径）沿直径解：解：rfrd)()(barsfd与保守力相对应的是与保守力相对应的是耗散力耗散力典型的耗散力：典型的耗散力：摩擦力摩擦力由系统内部质点之间的相对位置决定的状态函数由系统内部质点之间的相对位置决定的状态函数规定：规定：系统相对位置变化的过程中，成对保守内力系统相对位

11、置变化的过程中，成对保守内力作功之和等于系统势能的减少量作功之和等于系统势能的减少量。4.3.2、势能、势能保守力的功可以表示为某种仅与物体位置有关的保守力的功可以表示为某种仅与物体位置有关的标量函数在初始和终了位置的数值之差标量函数在初始和终了位置的数值之差势能势能 :dbCaWFr(规定规定)()pbpapEEE保守力作的功，与路径无关保守力作的功，与路径无关, 是位置的单值函数；是位置的单值函数；那么，我们可以引入仅是位置的单值函数的能量，那么，我们可以引入仅是位置的单值函数的能量，叫作势能，也叫作位能。叫作势能，也叫作位能。1.定义定义 令令选选b点为势能零点，则质点在任意位置点为势能

12、零点，则质点在任意位置a处的势能为：处的势能为： PbPabaEElfAd保保若选末态为势能零点，若选末态为势能零点，质点在某一点质点在某一点 的势能大小等的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所于在相应的保守力的作用下，由所 在点移动到零势能在点移动到零势能点时保守力所做的功。点时保守力所做的功。PEA保即即rfEaPad势能参考点保)(2 2、势能、势能 E EP P )()(abbaGmgzmgzW)2121(2122kxkxWs)()(00abfrMmGrMmGWPPaPbbaEEErdFW）（保保重力势能以地面为零势能点重力势能以地面为零势能点mghEP重引力势能以无穷远为零势能点

13、。引力势能以无穷远为零势能点。rMmGEP引弹性势能以弹簧原长为零势能点弹性势能以弹簧原长为零势能点221kxEP弹iiiPghmE质点系重力势能的计算质点系重力势能的计算mc势能零点势能零点chiiihmgmhmhiiiccPmghE imih例：均质细棒的重力势能例：均质细棒的重力势能ol总长总长l lm总质量总质量势能零点势能零点lhc21c2mglEP（地面附近）（地面附近）4. 5. 1 质点系的功能原理质点系的功能原理质点系的动能定理：质点系的动能定理：W外外+W内内=EkB - EkA因为因为 W内内=W保内保内W非保内非保内所以所以 W外外+ W保内保内W非保内非保内= EkB

14、 - EkA 又因为又因为 W保内保内EPAEPB所以所以 W外外 W非保内非保内 (EkB+EPB )-(EkA +EPA)定义定义 EEk + EP - 机械能机械能即即 W外外 W非保内非保内EB - EA质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守力的功的总和等于其机械能的增量。称为功能原理。力的功的总和等于其机械能的增量。称为功能原理。4.5、机械能守恒定律、机械能守恒定律3. .确定势能确定势能0点，以及始末两态的机械能点，以及始末两态的机械能E0、E。2. .受力分析，不考虑保守力和不作功的力。受力分析，不考虑保守力和不作功的力

15、。1. .确定研究对象，必须是质点系。确定研究对象，必须是质点系。4. . 列方程求解。列方程求解。EWWiniini内非外11例：例：质量为质量为 m 的物体从一个半径为的物体从一个半径为 R 的的1/4 圆弧型表圆弧型表面滑下，到达底部时的速度为面滑下，到达底部时的速度为 v,求求 A 到到 B 过程中摩过程中摩擦力所做的功？擦力所做的功？221mvEB选择选择 B 点为重力点为重力 0 势点，势点，A、B 两点的机械能：两点的机械能：mgREAABEEW阻mgRmv221阻内非WWini1可以看出，用功能原理计算最简单。可以看出，用功能原理计算最简单。foRABn由由功能原理功能原理：E

16、WWiniini内非外11以物体和地球为研究对象，受力分析，不考虑保守力重力以物体和地球为研究对象，受力分析，不考虑保守力重力和不作功的力弹力和不作功的力弹力N，只有摩擦力只有摩擦力-内部非保守力内部非保守力 f f 作功，作功， 01外iniW 一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量守恒定律给另一个物体。这就是普遍的能量守恒定律。4.5.2、 能量转换和守恒定律能量转

17、换和守恒定律孤立孤立系统内有非保守力做功时，机械能不守恒，系统内有非保守力做功时，机械能不守恒，能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。4.5.3、机械能守恒定律、机械能守恒定律W外外0W非保内非保内0则则EB EA常量常量如果如果在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。W外外 W非保内非保内EB - EA0 非保内非保内外外WW说明：说明：1、机械能守恒的条件：、机械能守恒的条件：作用于质点系的外力和非保守作用于质点系的外力和非保守内力不作功内力不作功 （W外外+W非保内非保内= 0

18、）或只有保守内力作功。）或只有保守内力作功。2 2、系统的总机械能不变。而质点系内的动能和势能之、系统的总机械能不变。而质点系内的动能和势能之间的转换是通过系统内的保守力作功来实现的。间的转换是通过系统内的保守力作功来实现的。3、要区分功、能两种概念，、要区分功、能两种概念， 功是能量变化的量度，能是物体具有的作功本领。功是能量变化的量度，能是物体具有的作功本领。 能是状态量，功是过程量。能是状态量，功是过程量。例例1：一自动卸货矿车，满载时质量为一自动卸货矿车，满载时质量为m ，从与水平，从与水平成倾角成倾角 = 30o斜面上的斜面上的A 由静止下滑。设斜面对车的由静止下滑。设斜面对车的阻力

19、为车重的阻力为车重的025倍。矿车下滑距离倍。矿车下滑距离l 时，矿车与缓时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大形变冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹力作用，时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹力作用，使之返回原位置使之返回原位置A 再装货再装货。试问。试问要完成这一过程空载要完成这一过程空载时与满载时车的质量比应为多大？时与满载时车的质量比应为多大？分析：分析：矿车在下滑和返回的全过程中受到重力、弹力、阻力矿车在下滑和返回的全过程中受到重力、弹力、阻力和支持力作用。若取和支持力作用。若取矿车、地球和弹簧为系统矿车、地球和弹簧

20、为系统，支持力不作，支持力不作功，重力弹力为保守力，而阻力为非保守力。全过程中，存功，重力弹力为保守力，而阻力为非保守力。全过程中，存在非保守力作功，系统不满足机械能守恒的条件，因此，可在非保守力作功，系统不满足机械能守恒的条件，因此，可用功能原理去求解。用功能原理去求解。在确定势能零点时，常选取弹簧原长时的位置为重力势能、在确定势能零点时，常选取弹簧原长时的位置为重力势能、弹性势能共同的零点这样解题比较方便。弹性势能共同的零点这样解题比较方便。解解 ：取沿斜面向上为取沿斜面向上为X轴正方向。弹簧被压缩到最大轴正方向。弹簧被压缩到最大 =形变时弹簧上端为坐标原点形变时弹簧上端为坐标原点O。矿车

21、在下滑和上。矿车在下滑和上行的全过程中，按题意摩擦力所作的功为：行的全过程中，按题意摩擦力所作的功为： Wf = （025mg+025mg）（）（l+x）-（1）由由功能原理功能原理，在全过程中，摩擦力所作的功应等于，在全过程中，摩擦力所作的功应等于系统机械能的增量。故有系统机械能的增量。故有Wf =E =EP+EK由于矿车返回原位置时速度为零，故由于矿车返回原位置时速度为零，故EK=0 ，而，而=EP=（m-m）g（l+x）sin =Wf -（2）由式（由式（1）、（）、（2）可解得）可解得 m/m=1/3 。例例2、一陨石从距地面高为一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，处由静止开始落

22、向地面，忽略空气阻力，忽略空气阻力，求：（求：（1）陨石下落过程中，万有引力的功是多少？陨石下落过程中，万有引力的功是多少？（2）陨石落地的速度多大？陨石落地的速度多大？解：解： （1）取地心为原点，取地心为原点， 矢矢 径方径方向向上向向上 . 引力与矢径方向相反。引力与矢径方向相反。abhRodrrMmGrdFWRhRRhR2)11(2hRRGMmrdrGMmRhR)(hRRGMmh（2）陨石落地的速度有多大？陨石落地的速度有多大？解：解：陨石下落时，只有万有引力作功，陨石下落时，只有万有引力作功，机械能守恒机械能守恒在离地面高在离地面高h 处，引力势能为处，引力势能为hRMmGEPh动能

23、为动能为0KhE落到地面时落到地面时引力势能为引力势能为RMmGEPR动能为动能为221mvEKR）（）（得由hRRGMhhRRGMvEEEEKRPRKhPh114.6 4.6 守恒定律的意义守恒定律的意义 现代物理学已确定地认识到现代物理学已确定地认识到, ,守恒定律与自然界的时空对称性相联系。守恒定律与自然界的时空对称性相联系。1.动量守恒动量守恒空间平移对称性（空间的均匀性）：空间平移对称性（空间的均匀性）：任一给定的物理实验（或物理现象）的发展过程和该实验所任一给定的物理实验（或物理现象）的发展过程和该实验所在的空间位置无关。在的空间位置无关。2.角动量守恒角动量守恒空间转动对称性（空

24、间的各向同性）：空间转动对称性（空间的各向同性）：任一给定的物理实验（或物理现象）的发展过程和该实验装任一给定的物理实验（或物理现象）的发展过程和该实验装置在空间的取向无关，即把实验装置转一个方向，该实验进置在空间的取向无关，即把实验装置转一个方向，该实验进展过程完全一样。展过程完全一样。3.能量守恒能量守恒时间平移对称性（时间的均匀性）：时间平移对称性（时间的均匀性）：任一给定的物理实验（或物理现象）的发展过程和该实验开任一给定的物理实验（或物理现象）的发展过程和该实验开始的时间无关。始的时间无关。结论：相应于每一种对称性存在着一个守恒定律。结论：相应于每一种对称性存在着一个守恒定律。回顾回

25、顾1、变力作功、变力作功dsFrdFWBABAABcos正确写出积分表达式，即元功正确写出积分表达式，即元功dsFdWcos统一积分变量；统一积分变量；建立坐标系，正确定出积分上下限（即建立坐标系，正确定出积分上下限（即A、B）2、质点动能定理、质点动能定理222121ABvvBABABAmvmvvdvmrddtvdmrdamrdFBA即即KEW3 3、质点系的动能定理、质点系的动能定理KiiKiiKEEEWW初末内外4、保守力的功、保守力的功= 相应势能的增量的负值相应势能的增量的负值PEW保）（重力的功ABhhmghmghgdhmBA2）（）（万有引力的功ABrrrMmGrMmGdrrMm

26、GBA）（弹力的功222121ABxxkxkxdxkxBA若选末态为势能零点，若选末态为势能零点，质点在某一点质点在某一点 的势能大小等于在相应的保的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所守力的作用下，由所 在点移动到零势能点时保守力所做的功。在点移动到零势能点时保守力所做的功。0rfLd保rfEaPad势能参考点保)(4 4、7 7 碰撞碰撞碰撞：碰撞：两物体在运动中相互靠近，或发生接触时，在较两物体在运动中相互靠近，或发生接触时，在较 短的时间内发生较强的相互作用的过程。短的时间内发生较强的相互作用的过程。 碰撞过程的特点：碰撞过程的特点：1 1、各个物体的动量明显改变。、各个物体的动量

27、明显改变。 2 2、系统的总动量守恒。、系统的总动量守恒。正碰（对心碰撞）正碰（对心碰撞）：两球碰撞前的速度在两球的中心连：两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。碰撞时相互作用力和碰后的速度也在这一连线上。线上。碰撞时相互作用力和碰后的速度也在这一连线上。斜碰：斜碰：两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。碰撞过程极为短暂，位置变化也不大，势能没有改变。碰撞过程极为短暂，位置变化也不大，势能没有改变。那么，动能呢？那么，动能呢？碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰撞前后体系的总机械能（动能）守恒。撞前后体系的总机械能（动能）守恒

28、。 碰撞后物体的形变不能完全恢复，体系碰撞后物体的形变不能完全恢复，体系有部分机械能（动能）要损失一部分，有部分机械能（动能）要损失一部分，变为热能。变为热能。碰撞后物体不再分开，以相同的速度共碰撞后物体不再分开，以相同的速度共同运动（或静止）。体系损失的机械能同运动（或静止）。体系损失的机械能最大。最大。弹性碰撞：弹性碰撞：非弹性碰撞非弹性碰撞:完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：1. 压缩阶段压缩阶段2. 恢复阶段恢复阶段微观粒子：微观粒子：碰撞碰撞 散射散射 设设 和和 分别表示两球在碰撞前的速度，分别表示两球在碰撞前的速度， 和和 分别表示两球在碰撞后的速度，分别表示两球在碰撞后的速度，

29、和和 分别为两球分别为两球的质量。应用动量守恒定律得的质量。应用动量守恒定律得10v20v1m2v2m1v对心碰撞（或称正碰撞）对心碰撞（或称正碰撞）2211202101vmvmvmvm10v20v1f2f1v2v1m2m1m1m2m2m碰撞后碰撞后碰撞前碰撞前碰撞时碰撞时二、弹性碰撞与完全非弹性碰撞二、弹性碰撞与完全非弹性碰撞1. 弹性碰撞弹性碰撞 对心碰撞或正碰撞对心碰撞或正碰撞1 102 201 12 2mvm vmvm v动量守恒：动量守恒：机械能守恒：机械能守恒：22221 102 201 12 211112222mvm vmvm v12102201122mmvm vvmm21201

30、 102122mm vm vvmm211020vvvv201012vvvve 牛 顿 的牛 顿 的 碰 撞 定 律碰 撞 定 律 ： 碰 撞 后 两 球 的 分 离 速： 碰 撞 后 两 球 的 分 离 速度度 ，与碰撞前两球的接近速度，与碰撞前两球的接近速度 成正比，成正比，比值由两球的材料性质决定。比值由两球的材料性质决定。 )(12vv )(2010vv 恢复系数 , ,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，称为碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，称为 完全非弹性碰撞。完全非弹性碰撞。0e , ,机械能有损失的碰撞叫做机械能有损失的碰撞叫做非弹性碰撞。非弹性碰撞。10 e , ,分离速度等于接近速度，称为分离速度等于接近速度，称为完全弹性碰撞。完全弹性碰撞。1e 系统损失的机械能系统损失的机械能2201021212)()1 (21vvmmmmeE2. 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞动量守恒：动量守恒：1 102 2012()mvm v