232双曲线的简单几何性质

1、2.3.2双曲线的简单几何性质K?:sHrz(r()¥E基础巩固IJICIHUGONGGU=双曲线4-12=1的焦点到渐近线的距离为(A)2(B)2(C)(D)1解析：因为双曲线4-12=1的一个焦点为F(4,0),其中一条渐近线方程4璀为y=Gx,所以点F到Ex-y=0的距离为2=2万.故选A.1. 下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是(C)y2x2(A)x2-=1(B)1-y2=1y2/(C)-x2=1(D)y2-1=1解析：双曲线4-x2=1的焦点在y轴上且渐近线方程为y=士2x,选C.3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于七则

2、双出线C的方程是(B)X2y2X2y2(A)=1(B)'-=1x2y2x2y2(C)-=1(D)-=13解析：依题意得,c=3,e=',所以a=2,从而a2=4,b2=c2-a2=5,故选B.2. 实轴长为2,虚轴长为4的双曲线的标准方程是(D)x2-=1x2y2-1=1x2y2y2x2A-讶=1或2-讶=1y2x2x2-4=1或y2-4=1解析:2a=1,2b=4,焦点在x轴时，双曲线的标准方程是x2-'=1,焦点在r2y轴时，标准方程为y2-4=1,故选D.2已知双曲线-3=1(a>0)的离心率为2,则a等于(D)史史(A)2(B)(C)(D)1解析:由双曲线

3、方程知b2=3,从而c2=a2+3,c2/+3又e=2,因此/=/=4,又a>0,所以a=1.故选D.X2护设Fi,F2分别为双曲线/-"=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PFi|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为(D)(A)(B)-(C)4(D):解析：由双曲线的定义知(|PFi|-|PF2|)2=4a2,£b所以4a2=b2-3ab,即具七3-«=4,bb解得日=4(日=-1舍去).cr£1+一因为双曲线的离心率e=疽,所以en'i7.故选D./直线l经过P(1,1)且与双曲线x

4、=1交于A,B两点，如果点P是线段AB的中点，那么直线l的方程为(D)(A)2x-y-1=0(B)2x+y-3=0(C)x-2y+1=0(D)不存在解析:当斜率不存在时，方程为x=1,与双曲线相切不符合题意,当斜率*1-3=L2yl_存在时，设A(x1,yi),B(x2,y2),代入双曲线方程得2两式相减得I好-好壶(由-男)，整理求出k=2,则直线方程为y=2x-1,联立直线方程与双曲线方程消元后检验<0,方程无解,所以不存在.故选D.7j若在双曲线“盘=1(a>0,b>0)的右支上到原点。和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是(C)(A)(声,+8)

5、(B)(1,汞)(C)(2,+)(D)(1,2)解析：由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线c£H上，其方程为x=%依题意，在双曲线己妇（a>0,b>0）的右支上到原c点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线X=与右支有两个交点，故应满足2>a,即h>2,得e>2.故选C.7>7»3. 已知双曲线“盘=1（a>0,b>0）的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为（扼,0）,贝ija=;b=.b解析：由2x+y=0,得y=-2x,所以a=2.又c=扼,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.答案:12已知双曲线标准方

6、程为"上=1（a>0,b>0）,一条渐近线方程为y=3x,则双曲线的离心率是./bb-?i?_解析：因为双曲线7=1（a>0,b>0）的渐近线方程为y=士。x,所以。=3,三月町L厂则离心率e="=,：="=.答案:x2y2与双曲线16-9=1有相同渐近线，且经过点（3相,-3）的双曲线的标准方程是.x2y2解析：设所求双曲线的方程为1&-9=入（入乒0）,因为所求双曲线经过点（3,-3）,(3®(-寸所以-'-=入，II所以入如x299所以所求双曲线的标准方程为-*=1.X299答案：-*=1x2y2过双曲线元-

7、宜=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为否，这样的直线有条.解析:依题意得右焦点F(5,0),所以过F且垂直于x轴的直线是x=5,仁史史代入20-'=1,得y=±2,所以此时弦长为邕X2=占.当直线不垂直x轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比扼长.因为两顶点间距离为4展，即左右两支上的点的最短距离是4展，所以如果交于两支的话，弦长不可能为扼,故只有一条.答案：1分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程：双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0);yio双曲线过点(3,9忠)，离心率e=3.x2y2解:(1)设双曲线的标准方程为上俨=1

8、(a>0,b>0).由已知得a=Sc=2,X2、OOO.O一.、一.O再由a+b=c,得b=1.故双曲线C的标准方程为3-y=1.10I。>一?_、一QQOOO.、_.、一一(2)由e=9,得。=9,设a=9k(k>0),则c=10k,b=c-a=k.于是,设所x2y2y2x2求双曲线方程为独-k=1,或9k-*=1,把(3,9成)代入，得k=-161与k>0矛盾;y2X2把(3,9膜)代入，得k=9，故所求双曲线的标准方程为'I-9=1.4. 已知双曲线的中心在原点，焦点Fi,F2在坐标轴上，离心率为成且过点(4,-一).求双曲线方程；若点M(3,m)在

9、双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上.解：因为离心率e*所以设所求双曲线方程为3=*(入乒0),则由点(4,-面)在双曲线上,知入=42-(-山°)2=6,所以双曲线方程为x2-y2=6.证明：若点M(3,m)在双曲线上，则32-m2=6,所以m=3,由双曲线x2-y2=6知Fi(-2,0),F2(2,0),*T所以MF】m弓=(-2侄-3,-m)(2鹏-3,-m)=(-2海-3)x(2很-3)+m2一一2=-12+9+m=0,所以mf"n,故点M在以F1F2为直径的圆上.5. 斜率为k的直线过点P(0,1),与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.(1) 求实数k

10、的取值范围；若以AB为直径的圆过坐标原点，求k的值.名师点拨：(1)将直线方程与双曲线方程联立，消去一个未知数，利用判别式0求实数k的取值范围;(2)由于以AB为直径的圆过坐标原点，所以/AOB=90,所以赫命=0,所以X1X2+yy2=0,由此建立关于k的方程，求k的值.-/-y2=1.22解:(1)由y1=版?(3-k)x-2kx-2=0,3好手0,?-顶k扼,且k乒士必.故实数k的取值范围为(-成，-促)U(-w气点)U(侄,成).(2)设A(x1,yi),B(x2,y2),由题意知OAOB,所以x1x2+yy2=0,2k2而x+x2='',x1x2=-：?yy2=1,2

11、所以1-3-矽=0?k=±1.能力提升;NENGLITISHENG=x2y2x2y2已知a>b>0,椭圆Ci的方程为#'=1,双曲线G的方程为#-护=1,Ci与G离心率之积为万，则G的渐近线方程为(C)(A)膜x士y=0(B)x士2y=0(C)x士彝y=0(D)2x士y=0杼砂解析：椭圆C的离心率为ei=仇，*+b2双曲线G的离心率为e2=一一,3-b23+护时由题意可得Q-住=2,可得a2=2b2,即a=b,b又双曲线的渐近线方程为y=±ax,即为x士v2y=0.故选C.6. 已知Fi,F2分别是双曲线心=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

12、若在双曲线的右支上存在一点M,使得(瀛+°勺上财=0(其中O为坐标原点)，TT且|"】|=必|"勺，则双曲线的离心率为(D)很+1(A)-1(B)'崩+1(C)(C)(C)(D)+1解析：因为"=0M_睥七所以（珈+。）.映=（伽+。）.（0M-叽）=o,即办'-。腭=0,所以|。弓|=|办|=c,在/MFF2中，边F1F2上的中线等于T|FiF2|的一半，可得MF1L因为严|=例"气所以可设|航|=打入>0）,|吓|=相入,得（相入）2+入2=4c2,解得入=c,TT所以|财七|=鹏巩M|=c,所以根据双曲线定义得TT2

13、'2a=|"牛|M|=（点_i）c,所以双曲线的离心率eM=+i.故选D./护已知双曲线E*-"=1（a>0,b>0）,若矩形ABCD勺四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|,贝UE的离心率是.2b2解析：由题2Xa=3X2c,得e=2.答案:2已知双曲线C的渐近线方程是y=±2x,右焦点F（3,0）,则双曲线C的方程为C的方程为,又若点N（0,6）,M是双曲线C的左支上一点，则FMN长的最小值为解析：因为双曲线C的渐近线方程是y=±2左x,右焦点F（3,0）,所以tbly_x2-8=1,设左焦点F&

14、#39;(-3,0),广必ci=i,c=3f=/十占2?仇=2厘所以双曲线C方程为由双曲线定义可得MF=2a+MF=2+MF,所以FMN勺周长为FN+MN+MF=FN+MN+MEaAFN+FN+2a=；+2=6+2.答案:x2-=16.+2探究创新=2'TaNiJTLICTMUAMG5iiKT已知双曲线C与椭圆百+不=1有相同的焦点，实半轴长为8求双曲线C的方程；若直线l：y=kx+膜与双曲线C有两个不同的交点A和B,且赫命>2(其中。为原点)，求k的取值范围.解：(1)由椭圆方程知，椭圆的焦点坐标为(2,0),(-2,0),贝成曲线C的焦点坐标为(2,0),(-2,0).必y2设双曲线C的方程为/-护=1(a>0,b>0),因为a=®,c=2,所以b=1,故双曲线C的方程为3-y2=1.(2)将y=kx+牒代入3-y2=1得(1-3k2)x2-6kx-9=0,13好主0,-