数学分析习题

1、习题小组成员：刘浩思、梅卓、韩亚松、陈薇、 石帆、陈越一.选择题每题一分，共 1*10=10分1.函数f(x)所对应的一个原函数为F(x),那么丨与d( f(x)dx)等价A. f (x)dx B. (f (x) c)dx正确的选项是dx =()xA. ln x B. In x c C In | x |3.当a,b,c满足丨条件时， 是有理函数A.a=O,b=O,c=R B.a=O,c=O,b=RD.a=0,c=1,b=1C. F(x) D. F(x) cD. In |x| cf(x)呼的原函数仍x(x 1)C.a=1,b=1,c=14. 以下反常积分收敛的是B.C.In xdxD.ln x

2、dx x5. 如果f(x)在-1,1上连续，且平均值为2,那么：f(x)dx ()A. 16. 假设：e2xdx 3，贝U k=(). o21C In 2D- ln 22x7. 设f (x)是连续函数,且F(x) xe f(t)dt,那么 F'(x)().A.exf(e x)f(x)B.exf(e x)f(x)C.exf(ex)f(x)D.exf(ex)f(x)8. xsi nt2dt () dx aA. sinx2 sin a2B. 2xcosx2C. si nx2D. 2xsi nx2n=()x 0时，etanx ex与xn是同阶无穷小，那么 f(x), g(x)是大于 0 的可导

3、函数，且 g(x)f'(x) f (x)g'(x) 0,那么当啊a<x<b时有A. f(x)g(b)f(b)g(x)B.f (x)g(a)f (a)g(x)C. f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)二.填空题:每题一分，共1*10=10分| x dx的值y f(x)经过点e,-1,且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，那么曲线的方程 f(x)的一个原函数为1口贝y f'(x)f(x)dx 4.sin mxcosnxdx5.limn1 xnd xo6.(x)dxab f (x)dx10xx elimxcos t2 dt0si

4、n xZvF(x),G(x)都是f(x)的原函数，贝U F(x)与G(x)满足的关系是10. xy 4在点(2,2)的曲率是三.计算：每题2 分，共 2*20=40 分2.J sin5 x dx3(l-x)七3.4.dxVl+x26.f e_Ksin 5xdx8.9. 110.e_2x sinBxdx11. :12.-2 (zl)(xZ-x+l) jQX13.山14.rl dx15.116.2xzJTf *ir dx coszx4m 二丄dx17/-1口工 M 119点吨卡dx20.r+°° arctanxh 1+x3+ 8伽卜；)3.证明：假设和 上收敛，和】为常数，那么

5、 k.-巩'心也收敛，且1*(,心|；小血- k-八刃卓i.i工仁工收敛，且 lmi 址 t+qq f(ic)r ，证明A=0.Cf 3、绝对收敛，且二2*8 f (X) =0,证明1 OO- 收敛。6.证明:7. 设f(x)和g(x)在a,b上都可积，请举例说明在一般情况8. 设f(x)在a,b上连续，且 严im v 证明f(x)在3-a,b上恒为09. 利用拉格朗日中值定理证明：丨当x>0时，亠In 1+x)<1 xx成立。答案1. A解析:微分号和积分号在一起时可以互相抵消2. D解析: x有正负之分，要分情况讨论3. B解析:ajc'+bjc 十 cAB_

6、C=-|x(x+l)zXss+lA(x + l)z + bx& + 1) + ex = ax2 + bx + c.形如羞的函数为有理函数，A=B=0,即a=0,c=0.1 ,厂事8 11刑匚正 dx= L 臣 dx=； 1= 1收dx In x1 x发散。In xdxix Inxd In x发散。In xdx1 xIn xd In x-I n2x2发散。5. C解析：I2八:表示围成的面积ss=2*2=4.2x2ke k e136. C 解析：寸0 -y 2 2，k=In 27. A解析：设G(x)为f(x)的原函数F(x)二 G(e_x) G(x),F (x) = £ (e

7、x) G (x) = f(e_x)(e_K) f(x).8. C 解析：同7题。tan x 19. C 解析：一 二 一.-,时，.xt 0 时eUn5t_Jt - 1 tanx x / Iim'x 0.tan x-x 与是等价无穷小。.占疋等价无穷小时，z i, . n=3.10. A 解析：考虑单调性gwU_U 二 r, a<x<b 时有蚀、f(K)、f(b)斶 eW g(b)选 A二.填空题：1.x|x|/2+c 2.y= 山列1,9 1 cos (m + n)xcos ；'m-nx3. ； _ +c 5. 0 6. 0 7.e22 m+nm-nV28. -1

8、 9.F(X)-G(X)=C10.1.原式=J Y +x dx = f x2 dx - f dx = f xz dx - J dx + l+xl+-x£f dx - x3 - x + arctan x + C1-bX23原式 J sin4xdcos x = f(l cos2x)2 dcos x 二-cos5 弓? r:+ -cos3x £0S X + C 33.r-T- rt 1 r 8x-FS j r dx 1 f d(94x)原式二汀芋益张二j扁命+討肓寺-arcsi 皿一蛊£Vg+c4.令 x=tan t原式j彗心畔轴2J tan4t J sdn4t1 si

9、n2tsin4tdsin t3sin3t +2x3 + 3xxn + 1 = t.x = VT7!原式(n 为-小-1* If 1二 J tVtl dt=nJ (t-l)tdt1 I Xn二評 Iml+cmE HCTE H8LHQv<e>OH a + h OH ) +<<4 w + XZ 川a %Md+ s + Q + %)(»+总匡Q+woIHISlfrilg+也宥起盘.xpf xg u'sf 胃 耐 xg 叨 8 g 丨制-xg 口妬 I HwpMaJxs S J S + 同2 xg «H xp Qo)xg sen s J早9制£

10、;sH笊MIn |+ In 1 日-arctanx+C原式=4t2dtt+厂 2+4H + Ct2 +t二 2 低4 坂 + 4 In | x d- 1| + C10原式1e 2xdcos 5x5 01(e2 x cos 5 x02e 2x cos 5xdx )50142x .-e sin5xdx525 0故 U'-二；11.一 -“ 二广 . 丄 _ -"u35710512)-_匸-13- -二二二V1 x = t-2tdt原式订原式=-兀 _t)lnsiriO t)dt = Flnsintdt令L . .71?.匚'-217原式In x limx 11In x 1

11、-18tanx3 x原式limx 0x221 sec x lim2x 0 3x2limx 0x23x2V2+4x = t+c4o四.证明题：1. 证：由于-；,而i二h收敛，故i也收敛2l+xJJ-人 T+对分又arctanx在1, +上单调有界，因此又Abel判别法，广十少arc tans .“人,， 八、收敛4分签qp2. 证明：因为上、. 二匸二.】.=1 1分广+七&1厂十8 J所以当p-q>1时，一收敛，从而.收敛2尸十81尸十8 k©分当p-q'1时，.；发散3分，从而_: 也发散。4分3. 证明：令 ' 'fl,' d

12、9;.=nv.I i二捍I *00严卜I一I g X. 士Hiig?雹上1 分，贝匚J .' 飞=二.，.-.：-.亠.-.-2 分=： li以上 T8 ，匚._ _ ' . ： :3分=:比乞心-心J g(X)dx故收敛。4分4. 证明：假设 A 0,不妨设A>0,那么由 血£：+J& = A知，对 >0,M>max0,a,当 x>M时，有|f(x)-A|<2 分所以f(x)>A-=，于是 -=IJ U也=匸片花"仁 ：(-'d：(3分)而匕.X、讣匚工发散，故J j I - :-. 1 d. ：,发散，

13、这与矛盾，因此A=0. 4分5. 证明：由1廿仏一 +亠辱=0知，山使得当x>A时，总有 | f(x)|<1(2分)即m<=|f(x)|,因为积分d(x)收敛。故.(.hx'r clx收敛。4 分6. Uf.，令4(x.' = sinI1_1xJir(x) = cos x原式+ (n - 1)-Fl 1sm Xxcosxsinn_2xcos2xdx-n 1 sm xcosx+ (n 1)sinn_2x(l 一 sin2x) dxsin4x)dxn-2jj)=-sinnixcosx+(n-l)(I T -sinI1_1xcosx+(n亡 n4分7 .例如. J ,那么f(x)dx =乙丿0g(x)dx = 2,f(x)g(x)dx = 2f所以.:二丨 8.证明：反证法 假设f(x)在a,b上连续，可知在a,b上连续，且二I,'-八与0矛盾，所以f(x)在a,b上恒为0.9.证：设 ft)=ln(1+t)，那么 f't)=1 t因为In 1+t丨在0,x上连续。在0,x)上可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，0，x