数列求和7种方法(方法全-例子多)

1、数列求和的根本方法和技巧配以相应的练习一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法合并法求和利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个根本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的根底.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大局部数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的根本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用以下常用求

2、和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法2、等比数列求和公式：Snna1a1(1 qn)1 qn13、Snk-n(n1)k 12n.3r1 “25、Snk二 n(n1)k 12例1 1log3x1+23求XX xlog231、等差数列求和公式：S吟型晋d(q 1)a1 anq1 q(q1)4、Snnk2k 11n(n 1)(2 n 1)6nX的前n项和.解：由 log3 xlog 3 xlog 2 3log 3 2由等比数列求和公式得Snx x2x3利用常用公式例 2设 Sn= 1+2+3+ +n, n N*,求 f(n)解:由等差数列求和公式得 SnSnf(n) (n 32)Sn 1n 34

3、164Vn，即题1.等比数列x(1 xn)1 x2dSn(n 32)Sn 1n(n 1),2nn2 34n 642 50n= 8 时，f (n)max50的最大值.Sni(n1)( n 2)利用常用公式504"-1S n = 2 n1,贝U -,b =题 2 .假设 12+22+(n-1)2= an3+ bn2+ cn，那么 a=個一1)雄2/-3旳"+讯1 11解：原式=r'答案："一二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列例 3求和：

4、Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1 解：由题可知，(2n 1)xn1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列 xn 1的通项之积设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn 设制错位一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4n 12x (2nn1)x错位相减再利用等比数列的求和公式得：(1 x)Sn 1n 11 x 2x(2n1 x1)xn2 46例4求数列一，一2 2解：由题可知,设Sn2Sn练习题答案:练习题答案:n 1S (2n 1)x(2nSn 2(1 x)算前n项的和.1)xn (1 x)2 ' '2n歹的通项是等差数列2n的通项

5、与等比数列4尹423f 的通项之积22222一得(12)Sn26尹_6_2422Sn2n尹2n盯2歹12 n 1n 22歹2n2门12 2nnn 12 21 ""，求数列 an°一2 一2心=沪2 一郭+ 1Sn = 一 1*21 352 JUs 2B这是推导等差数列的前设制错位错位相减的前项和Sn.的前n项和为、反序相加法求和n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列反序，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1 an).例 5求证：C0 3Cn 5C；(2n 1)C： (n 1)2n证明：设 Sn C0 3Cn 5C2(2n 1)C：把式右边倒转过来得S

6、n (2n 1)C：(2n 1)C： 13cn反序又由Crm Cn m可得Sn (2n1)C0(2n 1)cn3C；1C：+得 2Sn(2n2)(C0 C1Cn 1 nCnn)2(n1) 2n反序相加Sn(n 1)2n例 6求sin21sin2 2 sin2 3sin2 88sin2 89的值1解:解：设 S sin21 sin2 2将式右边反序得S sin2 89又因为 si nx+得22S (sin 1S= 44.5sin 2 88cos(90sin2 3sin 2 88 2 “sin 89sin2 3sin22x), sin2 x cos2 x2 2 2cos 1 ) (sin 2 co

7、s 2 )1、卄+/8 ?+/厂9，而110丿1先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边证明：=_；的值.sin212 2(sin 89 cos 89 ) = 89=右边反序反序相加2利用第1小题已经证明的结论可知,两式相加得:£ 二 1练习、求值：1只F+12 '尸+戸'' +ltf+l3四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可a1 (_2 a例7求数列的前n项和：11,1a7,3n2 , -1 解：设 Sn (11)(a将其每一项拆开再重新组合得1Sn

8、 (1-a当a= 1时,Sn4)7)3n 2)1n 1a(3n1)n)(13n 2)1na1丄a例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.当a 1时,(3n1)n分组分组求和(3n 1)n(3n 1)n2解：设 akk(k 1)(2k 1)2k33k2nSn k(k 1)(2kk 11)n(2 k313k2k)将其每一项拆开再重新组合得n3Sn= 2kk 1k2=2(1323n3)3(122n2)(1 2n)n2(nn(n 1)(2 n 1)n(n21)分组分组求和2n(n 1) (n2)五、裂项法求和重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的.通项分解裂项如:1anf(n 1)f(n

9、)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n3an45anan7an8an例9求数列n(n 1)an(2n )2(2n 1)(2 n1)的n(n 1)(n2)2 n(n 1)n 21n(n 1) 2n2(n1) nn(n1)(An B)(A n C)解：设an那么Sn(n1C B( An2 ' .2.3 In 、n 1=(.2 -1)(3例10在数列an中,an解:an，那么 Sn 1(n 1)2n ' n1(n 1)2nAn的前n 1 n2n n 12 2数列b n的前n项和11111Sn 8(1-)(-；)(-)22 33 4n项和.裂项裂项求和&#

10、39;又bn(-n-，求数列bn的前n项的和.an an 1=)裂项裂项求和8n111cos1cos0 cos1cos1 cos2cos88cos89.2 .sin 1111cos0 cos1cos1 cos2cos88cos89sin 1tan(n 1) tan n)sn cos(n 1)111cos0 cos1cos1 cos2cos88cos891(tan 1tan 0 ) (tan 2tan1 )(tan 3tan 2 )例11求证:解：设S Stan 89 tan 88 sinn 1=8(1 "裂项裂项求和1 (tan 89sin 1tan 0 )=sin 1cot1 =啤

11、sin 1答案:22 3 «-1-2 J原等式成立1 1 1 +-h - +练习题1.lx4弘丁 珈帥十1)111 1+ + . +练习题2。*-仪+恥+习_六、分段求和法合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.解：设 Sn= cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178°

12、 + cos179° cosn cos(180 n )找特殊性质项- Sn= cos1 ° + cos179 °+ cos2° + cos178 °+ cos3° + cos177°+ + cos89° + cos91 °+ cos90°合并求和=0解：设S2002= a-ia2 a3a2002由a11, a23, a32, an2 an 1an可得a41, a53, a(6 2,a7髭 a83,a92,a101, a113, a122,a6k11, a6k 23, a6k3 2,a6k 41

13、, a6k 53,a6k 62a6k 1 a6k 2a6k 3a6k 4a6k 5a6k 60找特殊性质项S2002 = a1a2a3a2002合并求和=(a1a 2a3a6)(a7a8a12)6k 1a6k 2a6k 6 )1993a1994a1998 )a1999a20ooa2001a2002=a1999a2000a2001a2002=a6k 1a6k 2a6k 3a6k 4=5在各项均为正数的等比数列中，假设a5a69,求 log 3 a1log3 a2log 3 a10 的值.解：设Snlog 3 a1log 3 a2log 3 a10由等比数列的性质m n p1 qa manapaq

14、找特殊性质项例 14和对数的运算性质loga M loga N log a M N 得Sn(log 3 a1log 3 a1o) (log 3 a2log 3 a9)(log 3 a5 log 3 a6)合并求和=(log 3 a1 a10)(log 3 a2 a9)(log 3 a5 a6)=log 3 9log 3 9log3 9练习、求和:g = _ 1) + (# _ 2)4-3(-总)练习题1 设 =+(T)£"1),那么鸟=答案：2 一 "'.练习题 2 .假设 Sn =1-2+3-4+(-1)n-1 n，那么 S17+S33 + S 50 等

15、于 ()A.1B.-1C.0D .2< _ m (闻为彳勵解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：Sn=L ?答案：A练习题 31002-99 2+98 2-97 2+ +22-12 的值是A.5000B.5050C.10100D.20220解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050.答案：B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的方法.15求 1 111111111之和.n个1解：由于11111-9999!(10k1)k个 19k个 19二

16、1 11111111 1n个1=1(10191)1 2(10 1)9丄(103 1)91(10n 1)9=1(10110210310n)丄(1 111)99n个1找通项及特征分组求和=1 10(10n 1) n910 19=(10n 1 10 9n)例16数列an: an(n 1)(n,求(n1)(anan 1)的值3)n1解： (n 1)(anan 1)8(n1)-11 找通项及特征(n1)(n3)(n 2)(n4)8 -11 设制分组(n 2)(n4) (n 3)(n 4)11 11=4 (-)8(-)裂项n2n4n3n41 (n 1)(anan 1) 4(n 1n 1 n2宀)1 18 ( ) n 1 n 3 n 4分组、裂项求和,11、c14 ()834413提高练习：1.数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn 14an2(n1