数学分析-第一章§1-2

1、第一章函数与极限§ 0.集合设S1, S2是两个陈述句命题或条件“ SS2 ：如果S成立，那么S2成立.'S!S2 ：由条件s1可推出S2;反过来,由S2也可推出s1.“：任给“ ：存在或找到例.x,使 1 X 5.2 2x, y,使得 x y 1.x, y,使得 x y.x,y,都成立x y.具有某种性质的事物的全体叫集合 . 属于集合的每个个体叫作该集合的元素注.用大写字母表示集合，小写字母表示集合中的元素.设A是一个集合，a是A中元素，记作a A.“ 表示属于.假设a不是A中元素，记作a A.“ 或“一表示不属于.列举法描述法 A x x具有性质P .注.集合中元素之间

2、没有次序关系，同一元素重复出现不具有任何特殊意义.设A, B是两个集合，假设a A a B,那么称A是B的子集，或B包含A,或A包含于B,记作A B或 B A.称不包含任何元素的集合为空集，记为.性质.1.含于任何一个集合 A,即 A.2. A A.3. A B, B C A C.假设AB且BA,那么称A与B相等，记为A B假设AB且AB,那么称A是B的真子集.给定两个集合A, B,集合x x A 或 x B称为A与B并，记作A B;集合x x A并且x B称为A与B的交，记作A B;集合x x A并且x B称为A与B的差，记作A B.设A是X的子集，X A称为A的关于X的补集,记作AC有时A

3、：.运算性质ABBA, AB B A.ABCA BC,ABCAB C.ABCA BA C ,ABC A B A C .4. A是X的子集，A ACX , A AC.5. A, B是X的两个子集，A B A BC.6. de Morgan 公式对偶律A B CACBC, A B C ACBC.假设集合S由有限个元素组成，那么称S为有限集，规律排成一个序列，即这个集合可表示成a1 ,a2 , a3 , ,an，,那么称其为可列集注.无限集必包含可列子集，但无限集不一定是可列集给定可列个集合a1,A2,A3, ,An,定义它们的并为AnAlA2Ann 1x n N ,使得 x An .定理.1.可列

4、个可列集之并也是可列集.定理.2. Q是可列集.设A, B是两个集合，AB x, y x A 并且 y B称为A与B的Descartes 乘积集合.注.A与B可以相同也可以不同，甚至其元素可以是完全不同类型的.做一直线,给定方向，原点和单位长，实数就和 直线上的点有一一对应关系，称此直线为实数轴.N 01,2,3,.N中有两种运算：加法和乘法.它对这两种运算封闭 即N中任两个元素作加法与乘法运算，其和与积均 在N之中.但对这两种运算的逆运算不封闭.Z 0, 1, 2,3,.Q m m Z,n N ,(m,n)1 .n有理数集Q具有以下性质(1) .对于加，减,乘,除(除数不为零)封闭.(2)

5、.满足交换律，结合律，分配律：a b b a, a b b a ；a (b c) (a b) c, a (b c) (a b) c; a (b c) a b a c ；其中a,b,c是Q中任意三个元素.(3) .对Q中任意两个元素a,b,以下三种情况a b, a b, a b有且只有一种情况成立，并且这种大小关系还满 足以下条件：对Q中任意四个元素a,b,c,d,a < b, b < c ? a < c ；a < b, c< d ?a+cvb + d ；a 0, b c ? a b a c.假设一个数集合满足条件(1)和(2),就称这个集合为域.Q称为有理数域.满

6、足条件(3)的数域称作有序域.命题1.1.有理数域是有序域.S称为在数轴上稠密，如果对任意一个(a,b) R,都有 S (a,b).命题1.2.有理数集在数轴上稠密.例1.无理数加有理数为无理数.无理数乘有理数为无理数.注.无理数+无理数=?有理数+有理数=?无理数无理数=?有理数有理数=?命题1.4.无理数集在数轴上处处稠密.R.任意的x R,总可以写成x m 0. a1a2 an ,其中m是x的整数局部，即不超过x的最大整数， 记作x.小数局部记作x. an是x的小数局部 的第n位小数.xnm O.ae2an, xn总是有理数且0 x x n110n任何一个无理数都是一串有理数的极限x1,

7、x2, ,x n,是按自然数顺序编了号的一串数 称之为序列或数列 ，记作xn . Xi表示第一项 x2表示第一项，xn称为通项.定义.称序列xn是单调递增的，如果Xn Xn i, n 1,2,.称序列xn是有上界的，如果存在M R,使得xn M，n 1,2,.xn是R中任意一个单调递增有上界的序列，那么存在R中数a,使得xn a且lim xn a .n定义.假设有序数域满足以下要求，那么称之为完备的: 任何一个单调递增的有界序列一定有极限.注.完备性也称连续性，实质上说明了 R对极限 运算是封闭的.注刻画完备性有多种方法，彼此等价.注.Q不完备.注.R是数域，称为实数域.实数域是有序域.实 数

8、域是完备的.(1) 设a,b是R中任意元素，a b a b a b(2) (平均值不等式)对任意n个正数a1,a2, ,an,aiannna1ann丄ana1a2a7，a1 ,a2 , ,an是正数，分别称n1ai1a21anaia2an5n为它们的算术，几何，调和平均值定义.S R称作有上界的集合，如果存在M R,使得 x M, x S.S R称作有下界的集合，如果存在m R,使得x m, x S.既有上界又有下界的集合称作是有界集合.§ 2.函数的概念 1.函数的定义定义.给定实数集合 X,Y.假设存在某种规那么 f, 使得对X中每一个元素x都可以找到丫中 唯一确定的元素 y与之

9、对应，那么称这个对应 规那么f是X到丫的一个函数，记作f : X 丫x y f xy称为在f下x的象，也称为f在x点的函数 值.x称为在f下y的一个逆象(原象).通常称 x为自变量，y为因变量.X称为f的定义域，f (X) y y 丫并且 y f x ,x X称为f的值域，(x, f(x) x X称作函数f的图形。f: X丫本质上是从 X到丫的一个映射.注.(1)对每一个x X ,与之对应的y唯一确定.(2) 只要求有一个变量间的对应规那么，而没有 要求必须有一个解析表达式.1 x QD(x).0 x R QD (x)今后被用来澄清某些概念.(3) 在函数有表达式的情况下，也有可能有多 个，它

10、们是分段给出的，称作分段函数.有时连续 曲线也必须用分段函数表示.1 x 0 sgn(x) 0 x 0.1 x 0x不超过x的最大整数.小数局部x x x.它们满足以下条件(1) x x x 1, x R.(2) x xx,0X1,0x2例 4. f (x)12.(x2)x24x R.(4) R (a,b) x(a,b x类似地表示(a,b),a,b,(,)R a x bR a x b,b),(,b, (a,),a,).(5) 数列xn也是一种函数，f : NR,Xnf(n).(6) 函数f ： X丫简单记成y f (x).没有特别说明，由一个初等表达式给出的函数的定义域，就是使得表达式有意义

11、的实数集合。例5. f(x) x 12 x的定义域是x R x> 1 Ax R x< 2, 即为1,2 o(7) 给定函数 f：X 丫, f (X) 丫，丫 不一 定是值域。(8) 函数的表示除显式表示：y f x =只含x的表达式，分段表示外，还有隐式表示:通过F x,y 0来确定x与y之间函数 关系的方式.参数表示：引入第三个变量t,通过t与x , t与y之间的函数关系，间接地确定X与y的函数关系 即x x t, t a,b .y y t定义 . 给定函数 y f x , x X , 假设对任意的 x1,x2 X , 当 x1 x2 时, f x1 f x2 , 那么称 f 在

12、 X 单调增加 .定义. 给定函数 y f x , x X, 假设对任意的 x1,x2 X , 当 x1 x2 时, f x1 f x2 , 那么称 f 在 X 严格单调增加 .定义. 给定函数 y f x , x X, 假设对任意的 x1,x2 X , 当 x1 x2 时, f x1 f x2 , 那么称 f 在 X 单调减少 .定义 . 给定函数 y f x , x X , 假设对任意的 x1,x2 X ,当 x1 x2 时，f X f x2 ,那么称 f 在 X 严格单调减少 .x X x X. 假设函数 f :X Y 满足f x f x , x X , 那么称 f 是偶函数 ; 假设函

13、数 f :X Y 满足f x f x , x X , 那么称 f 是奇函数 .f是X到丫的映射.假设f的逆象也有唯一性即对 X 中任意两个不同元素 x1,x2 , y1 f x1 , y2 f x2 ,都有 y1 y2, 那么称 f 为单射 ;如果 f(X) 丫,那么称 f 是满射;如果 f 既是单射又是满射 , 那么称 f 是双射 , 又称一一对应 .注. 严格单调递增 ( 减)的函数是单的 思考 . 单射是否一定是严格单调的？f : X 丫既是单射的 y 丫，存在唯一确定的x X ,使得y f (x),这样的由丫到X的对应称 为 f 的反函数 , 记作 f 1 :丫 X.x表示自变量，y表

14、示因变量.y f (x)的反函数 一般表示为1y f 1(x), x 丫.注.y f(x)的图形与x f 1(y)的图形相同， 与y f 1(x)的图形关于y x对称.定义 . 给定两个函数f : X 丫, x y f x ,*g: 丫*Z, y z g y ,假设 f(X) 丫*, 那么可构造一个新函数g f : X Z, x z g f x ,称之为f和g的复合函数.f x T f x ,那么称f是周期函数,T T ,那么称之为f的最小正周期注.周期函数的周期通常指的是最小正周期思考.每个周期函数都有最小正周期吗？X为下性质：,.可以不要求，但必须要求 X有以x X,x T X.4.有界函数和无界函数f : X丫的值域是有界集合，即存在常数A和B,使得f(X) A,B,那么称fx为有界函数,A称为下界，B A和B存在，那么称f x为无界函 数.命题2.1. f : X丫是有界函数的充要条件是存在M 0,使得f(x) M , x X.命题 2.2. 两个有界函数的和 , 差, 积均为有界函数5. 初等函数根本初等函数(1) 常数函数(2) 幂函数 y x(3) 三角函数(4) 反三角函数(5) 指数函数 y ax a