数学分析上册练习题

1、1.3.4.5.6.、填空题x sin x limx x2.limn假设 y x(x 1)(x2)(x3)，那么 y设函数f(x)在()上可导，且lim xs in 1xx假设函数f(x)ln(xan2 bn 52，那么 a3n 2(0)=f (x) 0, f(0)3,那么 f(x)a,x0,e),x0 在()连续，那么、选择题1.以下函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理的有。1,2 ;B.y 4x3 5x21 0,1 ;C. y ln 1x20,3 ；D.2xy C1,1 oA.函数f ( x)在点X。处有定义B.lim f(x)x x°A，但 A f()C.函数f(x)在点X。

2、处连续D.函数f (x)在点X°处可微3.设yf (x)是可微函数，那么df (cos2x) 丨.A.2f(cos2x)dxB. f (cos2x)sin2xd2xC.f (cos2x)sin 2xd2xD . 2 f (cos2x)sin 2xdx4.当xx°时，f x 0 ；当x x°时，fx 0,那么点x0 一定是函数f x2 .假设函数f (x)在点x0处可导，那么)是错误的.(极小值点的C.驻点 D.以上都不对A.极大值点B.o(A)数列xn收敛;(C)lim xnna ;6.设f(x)sin x,|x|(A)连续占AZC八、，(B)5 .设 |im |

3、 xn | a，那么x那么可去间断点;(B)lim xna ；n?(D)数列Xn可能收敛，也可能发散。(C)跳跃间断点；(D)第二类间断点。7.假设函数f (x)在(a, b)上连续，那么f(x)(C)在(a, b)无界;(D)在a, b有界。(A)x0是f的极小值点；(B)x 0是f的极大值点；(C)yf(x)在x 0的切线平行于x 轴；(D) yf (x)在 x0的切线不平行于x轴9设yf (x)在X。可微，记x xX°，那么当x0时，y dy (A)是x的高阶无穷小；(B)与x是同阶无穷小；(C)与x是等价无穷小；(D)与x不能比拟。&设f(x)是奇函数，且lim丄&#

4、174;0 ,那么X 0 x 三、解答题1. limn1n2172设t sin t1 costdx23. 设,为可导函数，y .( (x)2( (x)2，求 y ；4. lim ( . n 22 n 1. n)n四、1.设f xg xx0,x 0,且 g 0 g 00, g 04,试求 f0 .x 02.设a12 , an1. 2 an , n 1,2,证明：数列 已 的极限存在并求其值。3.设k0 ,试问k为何值时，方程arctanx kx 0存在正实根五、1. 1假设函数 f (x)在a, b上可导，且 f (x) m，证明；f(b) f (a) m(b a);2假设函数 f (x)在a,

5、 b上可导，且 |f(x)| M，证明：|f(b)f(a)| M (b a),3证明：对任意实数x ,x2，都有 | sinx1sin x2| |x2x1|。2.设函数(x)在点a连续，f(x) x a (x),求f (a)和f (a)，问在什么条件下f (a)存在。六、按函数作图步骤，作函数 f x x 2arctanx的图像。、填空题1.lim -x 0 12xcosx1； 2.函数y cosxsin的连续区间为 x3. 数集S x|x为0, 1内的无理数，其上下确界分别为 ;4. 数列 (1)n-的全体聚点为；n 15. 设函数 f(x)在(，)上可导，且 f (x) cosx,f(0)

6、1,那么 f(x) 6. lim x(j1x2 x); 7 lim xsin xx 0x28.设曲线y ax 与曲线y In x相切，那么 a ；9 设 E x|x22，那么sup E:inf Exa,x0,10.假设函数f(x)c在(，)连续，那么 aln(xe),x0二、选择题1.设 nimuna,那么当n时,un与a的差是(A)无穷小量(B)任意小的正数(C)常量(D)给定的正数2.设函数f (x)在(a, b)内连续，Xo(a,b)， 且f (xo)f (xo) 0，那么函数在x xo处A取得极大值B取得极小值C一定有拐点(x。，f(X。)D可能有极值，也可能有拐点。3. 设f (x)

7、是偶函数，在 0点可导，那么f (0)丨(A) 1 (B)-1(C) 0 (D)以上都不对.4. 函数 f (x)3 8x x2，贝U(A)在任意区间a,b上罗尔定理成立；B在0,8上罗尔定理不成立；C在0,8上罗尔定理成立；(D)在任意闭区间上罗尔定理不成立.15. 函数f (x) xsin在点x 0处x(A)有定义且有极限；(B)无定义但有极限；(C)有定义但无极限；(D)无定义且无极限sin x6.设f(x)芮，那么x 0是函数f的(A)连续点；(B)跳跃间断点； (C)可去间断点； (D)第二类间断点。7.假设函数f在(a, b)上连续，那么函数f在(A) (a, b)有界；(B) (

8、a, b)无界；(C) a, b有界(D) (a, b)的任一闭区间上有界。8.设 f(x) x(x 1)(x2)(x3)，那么方程 f (x)0在(0,3)上(A)没有根；(B)最多有两个根；(C)有且仅有三个根；(D)有四个根。9 设f在a,b上二阶可导，且f 0,那么F(x) 丄一血在(a, b)上 x a(A)单调增；(B)单调减；(C)有极大值； (D)有极小值。10设f在a, b上可导，X。a,b是f的最大值点，那么(A) f(xo)0； (B) f(X。)0； (C)当X。(a, b)时 f(x。)0； (D)以上都不对。三、解答题1.设(x)在点a处连续，函数f(x) |x a

9、 | (x),求f (x)在点a处的左右导数。 并求f '(a)存在的条件.2设y(x 1)(x2 2)x3lim 2X2xax1 x0.4.求极限Xm05.求极限limn1 112n n6.设y(X 1)(x2 2)7.求极限lim (tan x)s'n x ；x 08.求极限limXX2l n(1丄)X1.证明：2.设X1 3,Xn1 Xn 6(n1,2,).证明数列x收敛，并求其极限.3.按N定义证明2i. 5n n 2 lim n 3n224.设f(x)在(0,1)内有二阶导数，且f(1) 0 ,有 F(x)x2f(x),证明：在(0,1)内至少存在一点使得:5.证明：

10、当0 x -时,tan xx。x sin x6给定两正数a1与b1(a1bj,作出其等差中项a2印一虹与等比中项b2a1b1 ,2四、sin x tan x 2x令an 1-anbn .证明:lim an与lim b皆存在且相等。nn8.7设a1,a2,a3为正数，i 23，证明：方程在区间(1，2)与(2, 3)内各有一个根。2,假设f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导,aix ia2X 2f (a)f(b)0,证明:(a,b)使得：f ( ) f()五、1、设 f (X)X4s in21 X1证明：x 0是f的极小值点;2说明f的极小值点x 0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。2、设函数f (X)在区间I满足利普希茨条件，即存在常数L 0,使得任意两点x1, x2都有f(x2) f (x1)L x-!